8.4.1平面 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《8.4.1平面》教案 一、课标及课标分析 1. 重点：平面的概念、画法、表示方法，三个基本事实和三个推论，以及用符号语言描述空间点、线、面的位置关系。 1. 难点：理解平面的无限延展性，掌握三个基本事实和推论的证明及应用，能够准确运用符号语言进行表达和推理。 二、教材分析 “平面”是立体几何的基础内容，是研究空间点、直线、平面之间位置关系的起始课。本节课主要介绍平面的概念、特征、画法、表示以及三个基本事实和三个推论，这些知识是后续学习空间几何性质、定理以及解决立体几何问题的基石。通过对平面相关知识的学习，学生能够从平面图形的认知过渡到空间图形的研究，初步建立空间观念，为培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力奠定基础。 三、学情分析 学生在之前学习了平面图形的相关知识，对图形有一定的认知基础，但对于从平面到空间的转换，理解起来可能存在困难。在生活中虽然对一些平面的形象有直观感受，但将其抽象为数学概念，并理解平面的无限延展性等特征，对学生来说具有一定挑战性。同时，用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系，以及理解三个基本事实和推论，需要学生具备一定的抽象思维和逻辑推理能力，这也是学生在学习过程中可能遇到的难点。不过，学生已有的生活经验和平面图形知识，为学习本节课内容提供了可利用的素材，教师可引导学生通过观察、类比、分析等方法，逐步掌握本节课的知识。 四、教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从生活中的平面形象抽象出数学中的平面概念，理解平面的特征，培养从具体到抽象的思维能力。 1. 逻辑推理素养：通过对三个基本事实和三个推论的学习，理解其证明过程和应用，培养逻辑推理能力，能够运用这些知识进行简单的推理和论证。 1. 直观想象素养：借助图形和实例，直观理解平面的概念、画法以及点、线、面之间的位置关系，提升空间想象能力，能在脑海中构建出空间几何模型。 1. 数学语言表达素养：学会用图形、文字、符号三种语言准确描述空间点、直线、平面之间的位置关系，提高数学语言的表达和应用能力。 五、教学过程 （一）、检查预习 1. 提问学生：数学中的“平面”与生活中的平面有什么联系和区别？ 1. 请学生回答，根据学生的回答情况进行点评。如果学生回答不全面，引导学生从平面的大小、形状、延展性等方面思考，回顾预习内容，为新课学习做铺垫。 （二）、引入课题 1. PPT展示教室里的桌面、黑板面以及海面的图片，引导学生观察这些平面呈现出的形象。 1. 提问学生：这些平面给我们什么样的直观感受？它们有什么共同特点？引发学生思考，从而引出本节课对平面的深入学习，让学生明确学习平面相关知识对于研究空间几何的重要性。 （三）、合作探究 1. 平面的概念与特征(3分钟)：讲解数学中的平面概念是对现实平面(如光滑的桌面、平静的湖面)加以抽象的结果。强调平面的特征：没有大小、厚薄和宽窄，具有平展性、无限延展性且没有厚度。 通过举例，如想象在一个无限延展的平面上放置物体，帮助学生理解平面的无限延展性。 1. 平面的画法与表示(4分钟)：PPT展示水平放置和垂直放置的平面的画法，讲解当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。介绍平面的表示方法：常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等。也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD、平面AC、平面BD等。 让学生练习画出不同放置方式的平面，并写出其表示方法。 1. 基本事实1(3分钟)：提出思考问题：两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ PPT展示生活中用三角架支撑照相机、自行车等实例，引出基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 强调“有”表示存在性，“只有”表示唯一性，这是确定平面的主要依据。用图形语言和符号语言表示基本事实1，让学生理解其含义，并举例说明在生活中如何利用这一事实确定平面，如确定一个桌面所在的平面。 1. 点与直线、平面的位置关系(2分钟)：讲解直线和平面都可以看成点的集合，点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示。 通过图形示例，让学生熟悉点与直线、平面位置关系的符号表示，如A∈l表示点A在直线l上，B∉α表示点B在平面α外等，并进行简单的练习，如给出一些点、线、面的位置关系，让学生用符号表示。 1. 基本事实2(2分钟)：提出思考问题：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？引导学生思考并得出结论，引出基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。用符号语言表示，强调其作用是判断直线是否在平面内的依据， 通过实例，如教室中黑板的边框与黑板面的关系，帮助学生理解。 1. 基本事实3(1分钟)：PPT展示把三角尺的一个角立在课桌面上的图片，提出问题：三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 引出基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号语言，，且表示，讲解其作用是判断两个平面相交的依据，也是判断点在直线上的依据。 1. 推论(2分钟)：利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”，讲解三个推论： (1) 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 (2) 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 (3) 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。通过生活实例，如用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内，帮助学生理解推论的应用。 （四）、学以致用 1. 例题讲解(6分钟)：例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。 引导学生观察图形，分析点、线、面的位置关系，然后用符号语言准确表示。 (1) 对于图(1)，，表示平面α与平面β相交于直线l；，表示直线a与平面α相交于点A；，表示直线a与平面β相交于点B。 (2) 对于图(2)，，表示平面α与平面β相交于直线l；，表示直线a在平面α内；，表示直线b在平面β内；，表示直线a与直线l相交于点P；，表示直线b与直线l相交于点P。 (3) 例2：已知，，，，，求证：。 引导学生分析证明思路：因为，所以与a确定一个平面β，直线，点。又因为，，所以，且，所以α与β重合，从而得出。强调证明过程中对基本事实和推论的运用。 1. 练习巩固(6分钟)：布置练习题： (1) 下列空间图形画法错误的是（）（答案：根据平面的画法规则判断，找出错误选项） (2) 如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为 （解析：点与直线、平面的关系用∈表示，直线与平面的关系用⊂表示，所以，，） 让学生独立完成，教师巡视，对学生的解题过程进行指导，纠正错误，强化对平面相关知识的理解和应用能力。 （五）、课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容，包括平面的概念、特征、画法、表示方法，点与直线、平面的位置关系，三个基本事实和三个推论。 1. 教师进行补充和完善，强调重点知识，帮助学生构建知识体系，梳理各知识点之间的联系，明确本节课的核心内容和学习要点。 （六）、布置作业和预习 1. 必做题：完成教材P128练习1 - 4；完成课时作业对应练习中的基础和综合部分，巩固平面的相关知识，熟练掌握用符号语言描述位置关系以及基本事实和推论的应用。 1. 选做题：思考在生活中还有哪些现象可以用本节课所学的平面知识来解释；预习下一节内容，初步了解空间中直线与直线的位置关系。 教学反思 在教学过程中，要注重引导学生从生活实例出发，通过观察、思考和讨论，抽象出平面的概念和性质。多利用图形和实例进行讲解，帮助学生理解抽象的知识，尤其是平面的无限延展性和三个基本事实及推论。在练习环节，关注学生对符号语言的掌握情况和推理过程的逻辑性，及时发现并纠正学生的错误。鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，如增加一些拓展性的练习或补充更多的实际案例，满足不同学生的学习需求，提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$