专题1 集合（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念及其表示、集合间的基本关系、集合间的基本运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 集合（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 注意： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 知识点3 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【考试题型1】与解方程结合进行集合运算 【例1】（2025·河南对口升学高考）设集合，集合，则集合（       ） A. B. C. D. 【考试题型2】考查元素与集合、集合与集合之间的符号关系 【例2】（2024·河南对口高考）已知集合，下列说法错误的（       ） A. B. C. D. 【考试题型3】与解一元二次不等式结合进行集合运算 【例3】（2020年·河南对口高考）集合， ，则等于（       ） A. B. C. D. 【考试题型4】通过题设要求，用列举法表示集合 【例4】（2022年·河南对口高考）设集合是18的全体约数组成的集合，则表示为 . 【考试题型5】通过考查集合的互异性求集合运算中的参数 【例5】（2019年河南对口高考）已知集合,,且,则= . 题型考点一 集合的含义与表示 1．若，则正确的关系式是（       ） A. B. C. D. 2．下列关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 3．集合，，则（ ） A. B. C. D. 4．已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 6．下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 7．给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．设全集是小于的自然数，，则等于（       ） A． B． C． D． 9．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（       ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．设全集，集合，，且，则实数 . 题型考点二 集合间的基本关系 1．若集合 ， ，为 的子集，则的值是（       ） A． B． C． D． 2．已知集合，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 3．设集合，为整数集，则集合子集的个数是（       ） A．3 B．6 C．7 D．8 4．设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 5．已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 6．已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（       ） A． B． C． D． 7．已知则集合的子集的个数是（       ） A． B． C． D． 8．集合，，若，则的值为 . 9．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 10．已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 题型考点三 集合的基本运算 1．若集合，，则（       ） A． B． C． D． 2．若集合，则（       ） A． B． C． D． 3．已知集合则（       ） A． B． C． D． 4．已知全集，，，则（       ） A． B． C． D． 5．设集合，，则（       ） A． B． C． D． 6．已知全集，，，则（       ） A． B． C． D． 7．已知全集，集合，，则 . 8．已知集合,,且,则= . 9．设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则 . 10．已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念及其表示、集合间的基本关系、集合间的基本运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 集合（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 注意： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 知识点3 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【考试题型1】与解方程结合进行集合运算 【例1】（2025·河南对口升学高考）设集合，集合，则集合（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合集合交集的运算即可解得. 【详解】解方程，即，可得或，所以. 解方程，得，所以. 故. 故选：B 【考试题型2】考查元素与集合、集合与集合之间的符号关系 【例2】（2024·河南对口高考）已知集合，下列说法错误的（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【解析】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 【考试题型3】与解一元二次不等式结合进行集合运算 【例3】（2020年·河南对口高考）集合， ，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，即， 解得，所以， 所以=， 故选：A. 【考试题型4】通过题设要求，用列举法表示集合 【例4】（2022年·河南对口高考）设集合是18的全体约数组成的集合，则表示为 . 【答案】 【解析】18的全体约数组成的集合为：， 故答案为：， 【考试题型5】通过考查集合的互异性求集合运算中的参数 【例5】（2019年河南对口高考）已知集合,,且,则= . 【答案】0 【解析】因为， 所以，或， 根据集合的互异性，舍去， 故答案为：. 题型考点一 集合的含义与表示 1．若，则正确的关系式是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系和集合和集合的关系易得答案. 【解析】因为, 所以. 故D选项是正确. 故选：D. 2．下列关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系进行求解即可. 【解析】对于A选项：集合与元素不能相等，故错误； 对于B选项：集合与集合之间应该为，，不能用，故错误； 对于C选项：空集是任何集合的子集，故C选项正确； 对于D选项：元素和集合之间不能用，，故错误； 故选：C. 3．集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由集合间的关系可知 ， 故选：C． 4．已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由集合，， 根据， 所以， 所以中元素的个数是3， 故选：C. 5．已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为， 所以或， 而无实数解， 所以， 故选：C. 6．下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确， 故选：B． 7．给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为是无理数，所以正确， 因为是有理数，所以不正确， 因为空集是集合，所以与不是属于关系，所以不正确， 因为是负整数，所以正确， 故选：C. 8．设全集是小于的自然数，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用列举法表示全集，再根据补集的概念求解. 【解析】因为全集是小于的自然数，， 所以， 故选：C. 9．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（       ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】由元素的互异性知a，b，c均不相等． 故选：D. 10．设全集，集合，，且，则实数 . 【答案】3或-1 【解析】由题意，或m=-1， 故答案为：3或-1. 题型考点二 集合间的基本关系 1．若集合 ， ，为 的子集，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为 的子集， 所以，， 故选：A. 2．已知集合，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合之间的关系，及交集、并集的概念和运算，即可求解. 【解析】因为集合， 所以集合不是集合N的子集，集合N也不是集合的子集，故选项A和B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C. 3．设集合，为整数集，则集合子集的个数是（       ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】， 所以， 所以， 所以子集的个数是， 故选：D. 4．设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】A 【解析】，所以， 所以， 所以， 所以⫋， 故选：A. 5．已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意得：， 则的子集个数为个， 故选：B. 6．已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则，符合，排除B，D两个选项. 若，则，符合，排除A选项， 故选：C. 7．已知则集合的子集的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以集合， 所以集合的子集个数为个， 故选：B． 8．集合，，若，则的值为 . 【答案】0 【解析】因为，所以，显然， 若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，则或（舍去），综上，， 故答案为：0． 9．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】在数轴上表示出集合A，B， 由于，如图所示，则， 故答案为：. 10．已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2). 【解析】解：(1)当时，， ； (2)由，则有：，解得：，即， 实数的取值范围为． 题型考点三 集合的基本运算 1．若集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义即可得解. 【解析】因为集合，，则， 故选：. 2．若集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念即可求解. 【解析】因为集合， 则. 故选：C. 3．已知集合则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得，所以， 又因为，所以， 故选：D. 4．已知全集，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集和交集的定义进行运算即可. 【解析】因为全集，， 所以，又， 所以. 故选：B. 5．设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式得：，即有， 而，所以， 故选：C. 6．已知全集，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集和交集的定义进行运算即可. 【解析】因为全集，， 所以，又， 所以. 故选：B. 7．已知全集，集合，，则 . 【答案】 【解析】由题知，，所以， 故答案为：. 8．已知集合,,且,则= . 【答案】0 【解析】因为， 所以，或， 根据集合的互异性，舍去， 故答案为：. 9．设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则 . 【答案】 【分析】根据补集定义得到集合补集，再与集合取交集得到结果. 【解析】因为全集是所有小写英文字母组成的集合，， 所以为除去以外的其他所有小写英文字母组成的集合， 所以=, 故答案为： 10．已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】解：(1)由已知得； ∵，∴； （2）∵，∴， 当集合时，，即； 当集合时，，即， 综上所述，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$