专题05：利用导数解决实际问题 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题05 利用导数解决实际问题 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为： 一设，设出自变量、因变量； 二列，列出函数关系式，并写出定义域； 三解，解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答，回答实际问题. 题型一：面积、体积最大问题 【方法点拨】几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　 【例1】（2022·上海崇明·统考一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米） 【例2】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱如图所示，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． 若，，则仓库的容积是多少？ 若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 【例3】如图，在半径为的圆形为圆心铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点、在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长，圆柱的体积为． 写出体积关于的函数关系式； 当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？ 【例4】（2024上海市陆行中学高三阶段练习）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q． (1)设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数； (2)求△APQ的面积S（km）的最小值． 题型二：利润最大问题 【方法点拨】1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．　　　 【例5】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【例6】（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元） （1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 【例7】某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：，，为常数．当万元时，万元；当万元时，万元． 求的解析式； 求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，， 【例8】某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费百万元，可增加销售额百万元． 若该公司将当年的广告费控制在百万元之内，则应该投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大 现该公司准备共投入百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额为百万元请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大注：收益销售额投入 【例9】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，万元；当年产量不小于万件时，万元已知每件产品售价为元，假若该同学生产的产品当年全部售完． 写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本 当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？取 题型三：成本最小问题 【例10】（2021秋·上海虹口·高三上外附中校考期中）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元） （1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 【例11】（2021·上海·复旦附中高三开学考试）现有一批货物冲上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． （1）把全程运输成本y元表示为速度x（海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 题型四：用料最省问题 实际生活中用料最省、费用最少、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．　 【例12】如图，公园内直线道路旁有一半径为米的半圆形荒地圆心在道路上，为直径，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点，道路上点的右边取一点，使垂直于，且的长不超过米在扇形区域内种植花卉，三角形区域内铺设草皮已知种植花卉的费用每平方米为元，铺设草皮的费用每平方米为元． 设单位：弧度，将总费用表示为的函数式，并指出的取值范围； 当为何值时，总费用最低？并求出最低费用． 【例13】炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　　　　　B. C．－1 D．－8 【例14】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 【例15】某房地产商建有三栋楼宇，，，三楼宇间的距离都为千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．  求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；  当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，单位：元千米，为常数记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值． 【例16】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线在上经测量，左侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式已知点到的距离为米． 求桥的长度； 计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上不包括端点桥墩每米造价万元、桥墩每米造价万元问为多少米时，桥墩与的总造价最低 1.为了办好新淮高中首届“草坪音乐节”，学校计划在直径为400米的半圆形草地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD，如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上，其余为绿化部分，设． 用表示花圃的面积，并写出定义域； 当为何值时，花圃面积最大？最大值为多少？ 2.现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域图中阴影部分为产品做广告，形状为直角梯形点F在曲线段AC上，点E在线段AD上已知，，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分． 求线段AD，线段DC，曲线段CA所围成区域的面积； Ⅱ求厂家广告区域DEFG的最大面积． 3.如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米． (1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域； (2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值． 4．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 5.某市有一特色酒店由座完全相同的帐篷构成如图每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体如图经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为千元，下方圆柱体的侧面隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为千元，设所有帐篷的总建造费用为千元． 求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域； 当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 6．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点). （1）设()，，求用表示的函数关系式； （2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时､分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时､又分别长多少？ 7.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 8.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8<v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？ 9．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为米和米，上部是圆心为的劣弧， （1）求图1中拱门最高点到地面的距离： （2）现欲以点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示，设与地面水平线所成的角为.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为到地面的距离，试求的取值范围. 10．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 8．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 12.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)． (1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 13．学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台点D与点O，C不重合，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知，设建设的架空木栈道的总长为y m． （1）设，将y表示成的函数关系式，并写出的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题05 利用导数解决实际问题 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为： 一设，设出自变量、因变量； 二列，列出函数关系式，并写出定义域； 三解，解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答，回答实际问题. 题型一：面积、体积最大问题 【方法点拨】几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　 【例1】（2022·上海崇明·统考一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大 【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定的位置. 【解析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，， 设曲线段所在抛物线的方程为， 由题意可知，点和在此抛物线上， 代入可得：，. 所以曲线段BC的方程为：. （2）由题意，线段的方程为， 当点在曲线段上时，， 当点在线段上时，， 所以. （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值. 当时，， 当时，是最大值. 因为， 所以当时，取得最大值，此时， 所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大. 【例2】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱如图所示，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． 若，，则仓库的容积是多少？ 若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】解：，正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． ， 仓库的容积 若正四棱锥的侧棱长为， 设，则， ，， 则仓库的容积为 ，， ，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故当时，取最大值； 即当时，仓库的容积最大． 【例3】如图，在半径为的圆形为圆心铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点、在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长，圆柱的体积为． 写出体积关于的函数关系式； 当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？ 【答案】解：连结，， ， 设圆柱底面半径为，则，即， ，其中． (2) 由，得， 因此在上是增函数，在上是减函数． 当时，有最大值． 【例4】（2024上海市陆行中学高三阶段练习）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q． (1)设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数； (2)求△APQ的面积S（km）的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设，则由得：，求出后，代入三角形面积公式，可得答案． （2）利用基本不等式可求面积的最小值． (1) （1）设， 则由得： 即 故； (2)由（1）得：； 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故时，． 题型二：利润最大问题 【方法点拨】1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．　　　 【例5】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【解】 　(1)因为x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2，3＜x＜6. 从而f′(x)＝10【(x－6)2＋2(x－3)(x－6)】 ＝30(x－4)(x－6)． 令f′(x)＝0，解得x＝4或x＝6(舍去)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【例6】（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元） （1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 【答案】（1）；（2）能. 【解析】 【分析】 （1）根据旅游收入等于每天的旅游人数与游客人均消费的乘积，然后去绝对值，从而得到所求； （2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本． 【详解】 解：（1）依据题意，有 （2）当，时， （当且仅当时，等号成立）， 因此，（千元）． 当，时，． 求导可得，所以在上单调递减， 于是（千元）． 又，所以日最低收入为1116千元． 该村两年可收回的投资资金为（千元）（万元）， 因803.52万元万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 【例7】某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：，，为常数．当万元时，万元；当万元时，万元． 求的解析式； 求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，， 【答案】解：旅游增加值万元与投入万元之间满足： ，，为常数． 当万元时，万元；当万元时，万元， 解得，， ． 由题意知： ，， ，， 令，则舍，或， 当时，，在上是增函数， 当时，，在上是减函数， 为的极大值点，也是最大值点， 又， 该景点改造升级后旅游利润的最大值为万元． 【例8】某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费百万元，可增加销售额百万元． 若该公司将当年的广告费控制在百万元之内，则应该投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大 现该公司准备共投入百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额为百万元请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大注：收益销售额投入 【答案】解：设投入百万元的广告费后增加的收益为百万元， 则有， 所以当时，取得最大值， 即投入百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． 设用于技术改造的资金为百万元， 则用于广告促销的资金为百万元， 设由此获得的收益是百万元， 则， 则，令，解得舍去或． 所以当时，取得最大值， 即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 【例9】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，万元；当年产量不小于万件时，万元已知每件产品售价为元，假若该同学生产的产品当年全部售完． 写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本 当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？取 【答案】解：产品售价为元，则万件产品销售收入为万元． 依题意得，当时， ， 当时， ． 当时，， 当时，的最大值为万元． 当时，， ， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，取最大值万元， ， 当时，取得最大值万元， 即当年产量约为万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元． 题型三：成本最小问题 【例10】（2021秋·上海虹口·高三上外附中校考期中）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元） （1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 【答案】（1）；（2）能. 【分析】（1）根据旅游收入等于每天的旅游人数与游客人均消费的乘积，然后去绝对值，从而得到所求； （2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本． 【解析】解：（1）依据题意，有 （2）当，时， （当且仅当时，等号成立）， 因此，（千元）． 当，时，． 求导可得，所以在上单调递减， 于是（千元）． 又，所以日最低收入为1116千元． 该村两年可收回的投资资金为（千元）（万元）， 因803.52万元万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 【例11】（2021·上海·复旦附中高三开学考试）现有一批货物冲上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． （1）把全程运输成本y元表示为速度x（海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 【答案】（1）；（2）35海里/小时． 【解析】 【分析】 （1）分别计算行驶时间和每小时的费用，相乘即得全程运输成本，再写定义域，即得函数； （2）先对函数求导，判断函数在上单调递减，即得时函数取得最小值． 【详解】 解：（1）依题意，速度是(海里/时)，轮船每小时的燃料费，总共行驶（小时）， 所以全程运输成本， 由题意知，函数的定义域为， 即全程运输成本(元)表示为速度(海里/时)的函数为； （2）由（1）知，， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最小值. 故当轮船应以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小． 题型四：用料最省问题 实际生活中用料最省、费用最少、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．　 【例12】如图，公园内直线道路旁有一半径为米的半圆形荒地圆心在道路上，为直径，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点，道路上点的右边取一点，使垂直于，且的长不超过米在扇形区域内种植花卉，三角形区域内铺设草皮已知种植花卉的费用每平方米为元，铺设草皮的费用每平方米为元． 设单位：弧度，将总费用表示为的函数式，并指出的取值范围； 当为何值时，总费用最低？并求出最低费用． 【答案】解：因为扇形的半径为，，， 则，且的长不超过米， 则，可得． 易知，所以扇形的面积为 ，； 在中，，， 所以的面积为； 所以 ，； 设， 则， ， 令，解得， 从而当时，； 当，； 因此在区间上单调递减；在区间上单调递增； 当时，取得最小值， 且； 所以的最小值为元； 答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为元． 【例13】炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．－8 解析：选C　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈【0，5】，故x＝1时，f′(x)min＝－1. 【例14】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x ＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)． 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的极小值同时为最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 【例15】某房地产商建有三栋楼宇，，，三楼宇间的距离都为千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．  求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；  当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，单位：元千米，为常数记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值． 【答案】解：因为三楼宇间的距离都为千米， 所以， 因为楼宇对楼宇，的视角为， 所以， 在中，， 则， 当且仅当时等号成立． 此时， ， 区域最大面积平方千米； 设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为元， 在中，由知 则， 所以， 记， 令， 解得， 当时，，函数为减函数， 当时，，函数为增函数， 所以当时取得最小值， 此时元， 答：四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值为平方千米； 铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为元． 【例16】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线在上经测量，左侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式已知点到的距离为米． 求桥的长度； 计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上不包括端点桥墩每米造价万元、桥墩每米造价万元问为多少米时，桥墩与的总造价最低 【答案】解：由题意得， 则， 米 答：桥的长度为米． 设总造价为万元，，设， 由， 则， ， ，得到舍去， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此当时，取最小值， 答：当米时，桥墩与的总造价最低． 1.为了办好新淮高中首届“草坪音乐节”，学校计划在直径为400米的半圆形草地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD，如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上，其余为绿化部分，设． 用表示花圃的面积，并写出定义域； 当为何值时，花圃面积最大？最大值为多少？ 【答案】解：设半径为r，则米，作，垂足为E， 因为， 所以， 所以， 所以． ， 所以，当时，，递增； 当时，，递减， 所以当时最大， 最大值为． 2.现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域图中阴影部分为产品做广告，形状为直角梯形点F在曲线段AC上，点E在线段AD上已知，，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分． 求线段AD，线段DC，曲线段CA所围成区域的面积； Ⅱ求厂家广告区域DEFG的最大面积． 【答案】解：Ⅰ以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系， 则，，，． 设曲线AC的方程，． 点在曲线AC上，， 曲线AC的方程为，． ，直线DC方程为： 线段DC的方程为：，． 线段AD与DC，曲线短CA所围成区域的面积： Ⅱ由Ⅰ可设，， ，， 则公园的面积为， ，时，，时， 在上是增函数，在上是减函数． 该厂家广告区域DEFG的最大面积为． 3.如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米． (1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域； (2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值． 4．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 5.某市有一特色酒店由座完全相同的帐篷构成如图每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体如图经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为千元，下方圆柱体的侧面隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为千元，设所有帐篷的总建造费用为千元． 求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域； 当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】解：由题意可得，所以， 所以，即； 因为，，所以，则， 所以定义域为， 设，，则，令， 解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，且． 答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元． 6．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点). （1）设()，，求用表示的函数关系式； （2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时､分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时､又分别长多少？ 【答案】（1），；（2）最短，；最长，，. 【解析】 （1）根据题意得，进而得，故，. （2）结合（1），根据余弦定理得，，令，则，设，，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递减，在上单调递增，即可求解 【详解】 解：（1）由于正△的面积为， 所以， 所以， 由于，， 所以， 故，. （2）由余弦定理得： ，. 令，则， 设，， 所以，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以当，即时，取最小值，即取最小值，此时； 当或时，即或时，取最大值，即取最大值，此时或. 【点睛】 本题考查利用导数研究实际问题，余弦定理解三角形，考查运算能力，是中档题. 7.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解】　 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m， 即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0，64)内为减函数； 当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64，640)内为增函数， 所以f(x)在x＝64处取得极小值且为最小值． 此时n＝－1＝－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小． 8.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8<v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5. 设全程燃料费为y元，由题意， 得y＝y1·＝， ∴y′＝＝. 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. 若v0≥16，当v∈(8，16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0】时，y′>0，y为增函数．故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省． 若v0<16，当v∈(8，v0】时，y′<0，y在(8，v0】上为减函数． 故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省． 综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省. 9．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为米和米，上部是圆心为的劣弧， （1）求图1中拱门最高点到地面的距离： （2）现欲以点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示，设与地面水平线所成的角为.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为到地面的距离，试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据及,可求得圆的半径,根据最高点与圆心的关系即可求得到地面的距离. （2）通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质可判断出h取最大值时θ取值范围． 【详解】 （1）过O点作交于,交于,交于.如下图所示: 则即为所求. 因为, 所以 则 所以 即拱门最高点到地面的距离为5米 （2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P． 当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和； 当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离． 由（1）知，在Rt△OO1B中，OB2． 以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P在劣弧CD上时，． 由∠OBx＝θ，OB＝2 ， 由三角函数定义，得O（2cos（），2）， 则h＝2+2，所以当θ即θ时，h取得最大值2+2， ②当点P在线段AD上时，0≤θ． 设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，DB2，sinφ，cosφ． 由∠DBx＝θ+φ，得D（2（θ+φ），2（θ+φ））． 所以h＝2（θ+φ）＝4sinθ+2cosθ， 又当0＜θ时，h′＝4cosθ﹣2sinθ＞4cos2sin 0， 所以h＝4sinθ+2在[0，]上递增． 所以当θ时，h取得最大值5． 因为2+25，所以h的最大值为2+2． 综上，若拱门上的点到地面的最大距离恰好为D到地面的距离，则θ． 【点睛】 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查三角函数的性质，导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是综合题． 10．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 8．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 12.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)． (1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)． 因为次品率p＝，当每天生产x件时， 有x·件次品，有x件正品． 所以T＝200x－100x· ＝25·(x∈N*)． (2)T′＝－25·， 由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)． 当0<x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T取极大值且为最大值．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利． 13．学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台点D与点O，C不重合，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知，设建设的架空木栈道的总长为y m． （1）设，将y表示成的函数关系式，并写出的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$