第一篇 专题一 第4讲 圆周运动 天体的运动-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考物理复习讲义课件（苏京版）（课件PPT+word教案）

第4讲　圆周运动　天体的运动 目标要求　1.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。2.知道开普勒定律，掌握万有引力定律，会分析天体的运动规律，会比较卫星的运行参量。 考点一　圆周运动 1.圆周运动的三种临界情况 (1)接触面滑动临界：Ff=Ffmax。 (2)接触面分离临界：FN=0。 (3)绳恰好绷紧：FT=0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。 2.常见的圆周运动及临界条件 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff=mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtan θ=mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT+mg=m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F=m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff=mω2r 最低点Ff-mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 例1　(2023·全国甲卷·17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T=，质点所受合外力等于质点圆周运动的向心力，根据F合=Fn=mr，联立可得Fn=r3，其中为常数，故题中n=3，故选C。 例2　(2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则(　　) A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C.陶屑只能分布在圆台边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内 答案　D 解析　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力(可近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)时，半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，μ与ω均一定，故r与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C错误，D正确。 例3　(2024·江苏常州市联盟学校调研)磁性圆盘竖直放置，绕固定的水平轴匀速转动，一铁质小物块吸附在距离圆盘中心r处，相对于圆盘静止，则小物块(　　) A.在最高点一定受四个力作用 B.在转一圈的过程中，圆盘对小物块的弹力的冲量为0 C.在转一圈的过程中，圆盘对小物块的摩擦力的冲量方向为竖直向上 D.小物块从圆周的最高点运动到最低点的过程中，摩擦力对小物块做正功 答案　C 解析　在最高点小物块可能受到重力、弹力、磁力三个力的作用，重力提供向心力，故A错误； 在转一圈的过程中，圆盘对小物块的弹力不为0，冲量不为0，故B错误； 在转一圈的过程中，根据动量定理可知，合力冲量为0，磁力与弹力的合力冲量为0，重力与摩擦力的合力冲量也为0，则圆盘对小物块的摩擦力的冲量方向为竖直向上，故C正确； 小物块从最高点运动到最低点的过程中，动能不变，合外力做功为0，弹力、磁力不做功，重力做正功，则摩擦力对小物块做负功，故D错误。 例4　(2024·江苏无锡市四校调研)如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过光滑小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1 kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5 rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度g= 10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求： (1)装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s； (2)装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F； (3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。 答案　(1)0.25 m　(2)2 N　(3) J 解析　(1)当装置转动的角速度为ω时，对小球B分析，在竖直方向由平衡条件有 FT1cos 37°=2mg 在水平方向由牛顿第二定律有 FT1sin 37°=2mω2ssin 37° 解得s==0.25 m (2)装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度为s'，则对小球B在竖直方向由平衡条件有 FT2cos 53°=2mg 在水平方向由牛顿第二定律有 FT2sin 53°=2m(2ω)2s'sin 53° 解得s'= 设细线总长度为L，则装置转动的角速度为ω时对圆环A满足FT1-F=mω2(L-s) 装置转动的角速度为2ω时，对圆环A有 FT2+F=m(2ω)2(L-s') 解得F=2 N (3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，小球B的重力势能变化量为 ΔEp=2mg(scos 37°-s'cos 53°) 动能变化量为ΔEk=×2m[(2ωs'sin 53°)2-(ωssin 37°)2] 解得细线对小球B做的功为 W=ΔEp+ΔEk= J。 考点二　万有引力与宇宙航行 1.开普勒定律理解 (1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1=v2r2； (2)根据开普勒第三定律，=k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r=R； (3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 2.万有引力定律F= (1)r为两质点之间的距离或两个均匀球体的球心间的距离； (2)G为引力常量，由物理学家卡文迪什测出。 3.天体质量和密度的计算 4.卫星的发射、运行及变轨 在地面附近静止 忽略自转：G=mg，故GM=gR2(黄金代换式) 考虑自转： 两极：G=mg 赤道：G=mg0+mω2R 卫星的发射 地球的第一宇宙速度：v===7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 (天体)卫星在圆轨道上运行 G=Fn= “轨高速低周期大” 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 例5　(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 答案　B 解析　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1 G=m2r2 联立得=()3·()2 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。 例6　(2024·江苏苏锡常镇四市二模)如图所示，人造地球卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，若用T、v、a、E分别表示卫星的周期、速度、加速度、机械能这些物理量的大小，则下列关系一定正确的是(　　) A.TA<TB B.vA<vB C.aA<aB D.EA<EB 答案　A 解析　人造卫星所受万有引力提供圆周运动的向心力，有G=m=m()2r=ma，卫星的周期为T=2π，因rA<rB，则TA<TB，故A正确；卫星的线速度为v=，因rA<rB，则vA>vB，故B错误；卫星的加速度为a=，因rA<rB，则aA>aB，故C错误；卫星的机械能为动能和引力势能之和，因两个卫星的质量关系未知，则机械能无法比较，故D错误。 例7　(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　) A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 答案　B 解析　根据开普勒第三定律有=，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； 从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； 鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 专题强化练 [1 选择题]　　[分值：50分] 1~7题每题4分，8、9题每题7分，10题8分，共50分 [保分基础练] 1.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 答案　A 解析　根据万有引力公式F=G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。 2.(2024·江苏省镇江第一中学模拟)如图，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。某一阶段，如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，那么下列说法正确的是(　　) A.衣物通过最高点和最低点时线速度和加速度均相同 B.衣物从最高点运动到最低点过程中一直处于失重状态 C.脱水过程中滚筒对衣物的作用力不始终指向圆心 D.增大滚筒转动的周期，水更容易被甩出 答案　C 解析　衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，在最高点与最低点线速度大小相同，方向不同，加速度大小相同，方向不同，故A错误；衣物运动到最低点时加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误；滚筒对衣物作用力为垂直于接触面的弹力和相切于接触面的摩擦力的分力，该作用力与衣物的重力的合力大小不变且始终指向圆心，故脱水过程中滚筒对衣物作用力不一定指向圆心，故C正确；当衣物做匀速圆周运动时，衣物上的水由于所受合外力不足以提供向心力而做离心运动，因此向心力越大，脱水效果越好。F向=mω2r=mr，因此周期越小，水越容易被甩出，故D错误。 3.(2023·江苏卷·4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 答案　C 解析　根据G=ma，可得a=，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同，故选C。 4.如图甲所示，汽车的后备箱里水平放着一个装有圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，当汽车以恒定速率通过如图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。从汽车行驶方向上看，下列说法正确的是(　　) A.Q和M对P的支持力大小始终相等 B.汽车过A点时，汽车重心的角速度最小 C.汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等 D.汽车过A、C两点时，M对P的支持力小于Q对P的支持力 答案　B 解析　汽车过A、B、C三点时做匀速圆周运动，合外力指向圆弧的圆心，故对工件P受力分析可知，汽车经过A、C两点时合外力向左，经过B点时合外力向右，且汽车过A、B、C三点时圆弧轨道半径不相等，P受的合外力不相等，故Q和M对P的支持力大小不是始终相等，故A错误；汽车速率恒定，由角速度与线速度关系ω=可知，在A点圆弧轨道半径最大，则汽车重心的角速度最小，故B正确；根据合外力提供向心力，有F合=，当汽车以恒定速率通过半径依次变小的A、B、C三点时，工件P受到的合外力大小依次在增大，故C错误；汽车过A、C两点时，P所受的合外力向左，因此M对P的支持力大于Q对P的支持力，故D错误。 5.(2024·江苏南京市、盐城市一模)如图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道Ⅰ上做周期为T1的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道Ⅲ上运行。下列说法正确的是(　　) A.飞船沿轨道Ⅱ的运行周期小于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期 B.飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度 C.飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度 D.相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积 答案　D 解析　根据开普勒第三定律k=，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，可知飞船沿轨道Ⅱ的运行周期大于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期，故A错误；根据牛顿第二定律G=ma，可知飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度，故B错误；根据变轨原理，飞船在轨道Ⅱ上经过B点时需加速做离心运动进入轨道Ⅲ，飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度，故C错误；根据万有引力提供向心力G=m，可得v=，相等时间内，飞船与地心连线扫过的面积为S=vΔt·r=Δt，轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅰ的半径，故相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积，故D正确。 6.(2024·江苏无锡市四校调研)如图所示，半径分别为2R、R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑地一起转动。质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块乙放置在小圆盘的边缘处。它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度ω转动时，两物块均相对圆盘静止。下列说法正确的是(　　) A.小物块乙受到的摩擦力大小为mω2R B.两物块的线速度大小相等 C.在角速度ω逐渐增大的过程中，物块甲先滑动 D.在角速度ω逐渐减小的过程中，摩擦力对两物块做负功 答案　D 解析　小物块乙由静摩擦力提供向心力，则小物块乙受到的摩擦力Ff=2mRω2，故A错误； 两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，故B错误； 根据μmg=mrω2知，临界角速度ω=，两物块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，由于大圆盘的角速度是小圆盘角速度的一半，可知物块乙先滑动，故C错误； 在角速度ω逐渐减小的过程中，甲、乙的线速度逐渐减小，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做负功，故D正确。 7.(2024·江西卷·4)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是(　　) A.=，= B.=，= C.=，= D.=，= 答案　A 解析　探测器在环月轨道做匀速圆周运动，则月球对探测器的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，探测器的质量为m，则半径为r1时有G=m=mr1，半径为r2时有G=m=mr2，再根据动能Ek=mv2，可得动能和周期的比值分别为=，=，故选A。 [争分提能练] 8.(2024·江苏卷·11)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 (　　) A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB C.向心加速度aA<aB D.向心力FA>FB 答案　C 解析　设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误； 又mgtan θ=mrω2=m，r=htan θ=lsin θ，整理有v=，ω=，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，又hB<hA，知ωB>ωA，故A、B错误。 9.如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B(均视为质点)分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来，A比B先滑动的条件是(　　) A.μArA<μBrB B.μArB<μBrA C.> D.< 答案　A 解析　由牛顿第二定律与圆周运动规律得，当A刚要相对圆盘滑动时μAmAg=，解得vA=，当B刚要相对圆盘滑动时μBmBg=，解得vB=，当A比B先滑动时，则有vA<vB，即<，化简可得μArA<μBrB，故选A。 [尖子生选练] 10.(2024·江苏南通市质量监测)如图所示，在圆形伞边缘的A、B两点分别用两根细线挂质量相同的小球，且线长L1>L2。当伞带动两球在水平面内绕竖直柄OO'匀速转动时，细线L1、L2与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，拉力大小分别为F1、F2，小球角速度分别为ω1、ω2，距地面高度分别为h1、h2，不计空气阻力。则(　　) A.ω1>ω2 B.θ1>θ2 C.F1<F2 D.h1>h2 答案　B 解析　当伞带动两球在水平面内绕竖直柄OO'匀速转动，稳定时，两球的角速度大小相等，则有ω1=ω2，故A错误；设细线与竖直方向的夹角为θ，伞的半径为r，根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2(r+Lsin θ)，解得ω2==，由于角速度大小相等，伞的半径r一定，为了保证+Lcos θ为定值，当L大时，则θ大，cos θ小，tan θ大；由于L1>L2，则有θ1>θ2，故B正确；竖直方向根据受力平衡可得 Fcos θ=mg，则有F=，由于θ1>θ2，则有F1>F2，故C错误；根据ω2==，为了保证+Lcos θ为定值，当L大时，则θ大，cos θ小，tan θ大，则有Lcos θ大；由于L1>L2，则L1cos θ1> L2cos θ2，可知悬挂在A点处的小球位置更低，则有h1<h2，故D错误。 [2 计算题]　　[分值：40分] 1.(6分)(2023·江苏卷·13)“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。 答案　ω0r　mr 解析　发光物体的速度为v0=ω0r 发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为f=mr 2.(10分)(2024·江苏盐城市联盟校调研检测)如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ=37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8.求： (1)(2分)弹簧的劲度系数k； (2)(4分)弹簧为原长时，小球的角速度ω0； (3)(4分)当杆的角速度ω=时弹簧的长度。 答案　(1)　(2)　(3)3L 解析　(1)由平衡条件有mgsin 37°=k 解得弹簧的劲度系数为k= (2)当弹簧弹力为零时，小球只受到重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，则有 mgtan 37°=mLsin 53°，解得ω0= (3)当ω=>ω0时，弹簧处于伸长状态，设伸长量为x，由正交分解知竖直方向 FNcos 37°-kxsin 37°=mg 水平方向 FNsin 37°+kxcos 37°=mω2(L+x)sin 53° 解得x=2L 所以弹簧长度为L'=x+L=3L。 3.(10分)(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)(4分)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。 (2)(6分)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。 答案　(1)　(2) 解析　(1)设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运动的向心力，故可得 FTcos α=mr1，μmg=FTsin α 联立解得tan α= (2)设此时轻绳拉力为FT'，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1=FT'sin θ，FT2=FT'cos θ 对转椅根据牛顿第二定律得FT1cos β=mr2 沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β=Ff=μFN 竖直方向根据平衡条件有FN+FT2=mg 联立解得ω2=。 4.(14分)(2022·江苏卷·14)在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如图甲所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。 (1)(2分)求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小Fn； (2)(6分)求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P； (3)(6分)在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图乙所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1∶F2。 答案　(1)2mω2L　(2)　(3) 解析　(1)质量为m的货物绕O点做匀速圆周运动，半径为2L，根据牛顿第二定律可知 Fn=mω2·2L=2mω2L (2)货物从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，根据运动学公式可知L=at2 解得a= 货物到达B点时的速度大小为v=at= 货物在机械臂的作用下在臂杆方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力ma，所以经过t时间，货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率为 P=mav=m··= (3)空间站和货物同轴转动，角速度ω0相同，设空间站的质量为m0，地球的质量为M，万有引力提供空间站做匀速圆周运动所需向心力，则有G=m0r 解得GM=r3 货物在机械臂的作用力F1和万有引力F2的作用下做匀速圆周运动，则F2-F1=m(r-d) 货物受到的万有引力F2=G= 解得机械臂对货物的作用力大小为 F1=-m(r-d)=m 则=。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力与运动 专题一 1.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。 2.知道开普勒定律，掌握万有引力定律，会分析天体的运动规律，会比较卫星的运行参量。 目标要求 第4讲　圆周运动　天体的运动 内容索引 考点二　万有引力与宇宙航行 考点一　圆周运动 专题强化练 考点一 圆周运动 1.圆周运动的三种临界情况 (1)接触面滑动临界：Ff=Ffmax。 (2)接触面分离临界：FN=0。 (3)绳恰好绷紧：FT=0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。 2.常见的圆周运动及临界条件 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体   Ff=mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型   mgtan θ=mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型   最高点：FT+mg=m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型   最高点：mg±F=m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动     关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体   最高点：mgsin θ±Ff=mω2r 最低点Ff-mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 等效法 　 (2023·全国甲卷·17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于 A.1 B.2 C.3 D.4 例1 √ 质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T=，质点所受合外力等于质点圆周运动的向心力，根据F合=Fn=mr，联立可得Fn=r3，其中为常数，故题中n=3，故选C。 　 (2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则 A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C.陶屑只能分布在圆台边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内 例2 √ 与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提 供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力(可近似认为最 大静摩擦力等于滑动摩擦力)时，半径最大，设为r，根 据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，μ与ω均一 定，故r与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C错误，D正确。 例3 (2024·江苏常州市联盟学校调研)磁性圆盘竖直放置，绕固定的水平轴匀速转动，一铁质小物块吸附在距离圆盘中心r处，相对于圆盘静止，则小物块 A.在最高点一定受四个力作用 B.在转一圈的过程中，圆盘对小物块的弹力的冲量为0 C.在转一圈的过程中，圆盘对小物块的摩擦力的冲量方 向为竖直向上 D.小物块从圆周的最高点运动到最低点的过程中，摩擦力对小物块做正功 √ 在最高点小物块可能受到重力、弹力、磁力三个力的作 用，重力提供向心力，故A错误； 在转一圈的过程中，圆盘对小物块的弹力不为0，冲量 不为0，故B错误； 在转一圈的过程中，根据动量定理可知，合力冲量为0，磁力与弹力的合力冲量为0，重力与摩擦力的合力冲量也为0，则圆盘对小物块的摩擦力的冲量方向为竖直向上，故C正确； 小物块从最高点运动到最低点的过程中，动能不变，合外力做功为0，弹力、磁力不做功，重力做正功，则摩擦力对小物块做负功，故D错误。 　(2024·江苏无锡市四校调研)如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过光滑小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1 kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5 rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖 直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时 大小相等，已知重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6， cos 37°=0.8，求： 例4 (1)装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s； 答案　0.25 m 当装置转动的角速度为ω时，对小球B分析，在竖直方向由平衡条件有 FT1cos 37°=2mg 在水平方向由牛顿第二定律有 FT1sin 37°=2mω2ssin 37° 解得s==0.25 m (2)装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F； 答案　2 N 装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度为s'，则对小球B在竖直方向由平衡条件有 FT2cos 53°=2mg 在水平方向由牛顿第二定律有 FT2sin 53°=2m(2ω)2s'sin 53° 解得s'= 设细线总长度为L，则装置转动的角速度为ω时对圆环A满足FT1-F=mω2(L-s) 装置转动的角速度为2ω时，对圆环A有 FT2+F=m(2ω)2(L-s') 解得F=2 N (3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。 答案　 J 装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，小球B的重力势能变化量为 ΔEp=2mg(scos 37°-s'cos 53°) 动能变化量为ΔEk=×2m[(2ωs'sin 53°)2-(ωssin 37°)2] 解得细线对小球B做的功为 W=ΔEp+ΔEk= J。 考点二 万有引力与宇宙航行 1.开普勒定律理解 (1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时， 相等时间内扫过的面积相等，则v1r1=v2r2； (2)根据开普勒第三定律，=k，若为椭圆轨道，则r 为半长轴，若为圆轨道，则r=R； (3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 2.万有引力定律F= (1)r为两质点之间的距离或两个均匀球体的球心间的距离； (2)G为引力常量，由物理学家卡文迪什测出。 3.天体质量和密度的计算 4.卫星的发射、运行及变轨 在地面附近静止 忽略自转：G=mg，故GM=gR2(黄金代换式) 考虑自转： 两极：G=mg 赤道：G=mg0+mω2R 卫星的 发射 地球的第一宇宙速度：v===7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 (天体)卫星在圆轨道上运行 G=Fn= “轨高速低周期大” 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 (2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 例5 √ 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2， 地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1 G=m2r2 联立得=()3·()2 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1， 故选B。 　 (2024·江苏苏锡常镇四市二模)如图所示，人造地球卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，若用T、v、a、E分别表示卫星的周期、速度、加速度、机械能这些物理量的大小，则下列关系一定正确的是 A.TA<TB B.vA<vB C.aA<aB D.EA<EB 例6 √ 人造卫星所受万有引力提供圆周运动的向心力， 有G=m=m()2r=ma，卫星的周期为T=2π， 因rA<rB，则TA<TB，故A正确； 卫星的线速度为v=，因rA<rB，则vA>vB，故B错误； 卫星的加速度为a=，因rA<rB，则aA>aB，故C错误； 卫星的机械能为动能和引力势能之和，因两个卫星的质量关系未知，则机械能无法比较，故D错误。 　 (2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 例7 √ 根据开普勒第三定律有=，可知鹊桥二 号在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h，A 错误； 根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； 从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； 鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 专题强化练 [1 选择题] [2 计算题] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B D D A C 题号 9 　10 答案 A 　B [1 选择题] 10 对一对 1 2 3 [2 计算题] 4 答案 题号 1 2 答案 ω0r　mr (1)　(2)　(3)3L 题号 3 4 答案 (1)　(2) (1)2mω2L　(2)　(3) 1.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质 量的海水受月球引力大小在 A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 保分基础练 答案 √ 10 根据万有引力公式F=G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。 2.(2024·江苏省镇江第一中学模拟)如图，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。某一阶段，如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，那么下列说法正确的是 A.衣物通过最高点和最低点时线速度和加 速度均相同 B.衣物从最高点运动到最低点过程中一直 处于失重状态 C.脱水过程中滚筒对衣物的作用力不始终指向圆心 D.增大滚筒转动的周期，水更容易被甩出 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，在最高 点与最低点线速度大小相同，方向不同，加 速度大小相同，方向不同，故A错误； 衣物运动到最低点时加速度方向竖直向上， 处于超重状态，故B错误； 滚筒对衣物作用力为垂直于接触面的弹力和相切于接触面的摩擦力的分力，该作用力与衣物的重力的合力大小不变且始终指向圆心，故脱水过程中滚筒对衣物作用力不一定指向圆心，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 当衣物做匀速圆周运动时，衣物上的水由于 所受合外力不足以提供向心力而做离心运动， 因此向心力越大，脱水效果越好。F向=mω2r =mr，因此周期越小，水越容易被甩出， 故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 3.(2023·江苏卷·4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是 A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 √ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据G=ma，可得a=，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同，故选C。 10 4.如图甲所示，汽车的后备箱里水平放着一个装有圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，当汽车以恒定速率通过如图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。从汽车行驶方向上看，下列说法正确的是 A.Q和M对P的支持力大小始终相等 B.汽车过A点时，汽车重心的角速度 最小 C.汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等 D.汽车过A、C两点时，M对P的支持力小于Q对P的支持力 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 汽车过A、B、C三点时做匀速圆周 运动，合外力指向圆弧的圆心，故 对工件P受力分析可知，汽车经过 A、C两点时合外力向左，经过B点时合外力向右，且汽车过A、B、C三点时圆弧轨道半径不相等，P受的合外力不相等，故Q和M对P的支持力大小不是始终相等，故A错误； 汽车速率恒定，由角速度与线速度关系ω=可知，在A点圆弧轨道半径 最大，则汽车重心的角速度最小，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 根据合外力提供向心力，有F合= ，当汽车以恒定速率通过半径 依次变小的A、B、C三点时，工件 P受到的合外力大小依次在增大，故C错误； 汽车过A、C两点时，P所受的合外力向左，因此M对P的支持力大于Q对P的支持力，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 5.(2024·江苏南京市、盐城市一模)如图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道Ⅰ上做周期为T1的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道Ⅲ上运行。下列说法正确的是 A.飞船沿轨道Ⅱ的运行周期小于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期 B.飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过 A点时的加速度 C.飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度 D.相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过 的面积 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据开普勒第三定律k=，轨道Ⅱ的半长轴大于轨 道Ⅰ的半径，可知飞船沿轨道Ⅱ的运行周期大于飞 船沿轨道Ⅰ的运行周期，故A错误； 根据牛顿第二定律G=ma，可知飞船在轨道Ⅱ上 经过A点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度，故B错误；根据变轨原理，飞船在轨道Ⅱ上经过B点时需加速做离心运动进入轨道Ⅲ，飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度，故C错误； 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据万有引力提供向心力G=m，可得v=， 相等时间内，飞船与地心连线扫过的面积为S=vΔt· r=Δt，轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅰ的半径，故 相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面 积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积，故D正确。 10 6.(2024·江苏无锡市四校调研)如图所示，半径分别为2R、R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑地一起转动。质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块乙放置在小圆盘的边缘处。它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度ω转动时，两物块均相对圆盘静止。下列说法正确的是 A.小物块乙受到的摩擦力大小为mω2R B.两物块的线速度大小相等 C.在角速度ω逐渐增大的过程中，物块甲先滑动 D.在角速度ω逐渐减小的过程中，摩擦力对两物块做负功 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 √ 10 小物块乙由静摩擦力提供向心力，则小物块乙 受到的摩擦力Ff=2mRω2，故A错误； 两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不 同，则线速度大小不等，故B错误； 根据μmg=mrω2知，临界角速度ω=，两物块的半径相等，知临界角 速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，由于大圆盘的角速度是小圆盘角速度的一半，可知物块乙先滑动，故C错误； 在角速度ω逐渐减小的过程中，甲、乙的线速度逐渐减小，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做负功，故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 7.(2024·江西卷·4)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是 A.=，= B.=，= C.=，= D.=，= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 √ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 探测器在环月轨道做匀速圆周运动，则月球对探测器的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，探测器的质量为m，则半径为r1时有 G=m=mr1，半径为r2时有G=m=mr2，再根据动能Ek=mv2，可得动能和周期的比值分别为==，故选A。 10 8.(2024·江苏卷·11)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB C.向心加速度aA<aB D.向心力FA>FB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 争分提能练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为 l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分 析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度 θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误； 又mgtan θ=mrω2=m，r=htan θ=lsin θ，整理有v=， ω=，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系， 又hB<hA，知ωB>ωA，故A、B错误。 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 9.如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B(均视为质点)分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来， A比B先滑动的条件是 A.μArA<μBrB B.μArB<μBrA C.> D.< √ 10 由牛顿第二定律与圆周运动规律得，当 A刚要相对圆盘滑动时μAmAg=，解 得vA=，当B刚要相对圆盘滑动时 μBmBg=，解得vB=，当A比B先滑动时，则有vA<vB，即 <，化简可得μArA<μBrB，故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10.(2024·江苏南通市质量监测)如图所示，在圆形伞边缘的A、B两点分别用两根细线挂质量相同的小球，且线长L1>L2。当伞带动两球在水平面内绕竖直柄OO'匀速转动时，细线L1、L2与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，拉力大小分别为F1、F2，小球角速度分别为ω1、ω2， 距地面高度分别为h1、h2，不计空气阻力。则 A.ω1>ω2 B.θ1>θ2 C.F1<F2 D.h1>h2 尖子生选练 √ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 当伞带动两球在水平面内绕竖直柄OO'匀速转动， 稳定时，两球的角速度大小相等，则有ω1=ω2， 故A错误； 设细线与竖直方向的夹角为θ，伞的半径为r，根 据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2(r+Lsin θ)， 解得ω2==，由于角速度大小相等，伞的半径r一定， 为了保证+Lcos θ为定值，当L大时，则θ大，cos θ小，tan θ大；由于L1>L2，则有θ1>θ2，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10 竖直方向根据受力平衡可得Fcos θ=mg，则有 F=，由于θ1>θ2，则有F1>F2， 故C错误； 根据ω2==+Lcos θ为定值，当L大时， 则θ大，cos θ小，tan θ大，则有Lcos θ大；由于L1>L2，则L1cos θ1> L2cos θ2，可知悬挂在A点处的小球位置更低，则有h1<h2，故D错误。 1.(2023·江苏卷·13)“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。 答案　ω0r　mr 答案 1 2 3 4 答案 1 2 3 4 发光物体的速度为v0=ω0r 发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为f=mr 2.(2024·江苏盐城市联盟校调研检测)如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ=37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8.求： 答案 1 2 3 4 (1)弹簧的劲度系数k； 答案　 由平衡条件有mgsin 37°=k 解得弹簧的劲度系数为k= 答案 1 2 3 4 (2)弹簧为原长时，小球的角速度ω0； 答案　 当弹簧弹力为零时，小球只受到重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，则有 mgtan 37°=mLsin 53°，解得ω0= 答案 1 2 3 4 (3)当杆的角速度ω=时弹簧的长度。 答案　3L 答案 1 2 3 4 当ω=>ω0时，弹簧处于伸长状态，设伸长量为x，由正交分解知竖直方向 FNcos 37°-kxsin 37°=mg 水平方向 FNsin 37°+kxcos 37°=mω2(L+x)sin 53° 解得x=2L 所以弹簧长度为L'=x+L=3L。 答案 1 2 3 4 3.(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆 盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端 B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后， 其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地 之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g， 不计空气阻力。 答案 1 2 3 4 (1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。 答案　 答案 1 2 3 4 答案 1 2 3 4 设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运 动的向心力，故可得 FTcos α=mr1，μmg=FTsin α 联立解得tan α= (2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。 答案　 答案 1 2 3 4 设此时轻绳拉力为FT'，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1=FT'sin θ，FT2=FT'cos θ 对转椅根据牛顿第二定律得FT1cos β=mr2 沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β=Ff =μFN 竖直方向根据平衡条件有FN+FT2=mg 联立解得ω2=。 答案 1 2 3 4 4.(2022·江苏卷·14)在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如图甲所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运 动到A点停下，然后在机械臂操控下， 货物从A点由静止开始做匀加速直线运 动，经时间t到达B点，A、B间的距离 为L。 答案 1 2 3 4 (1)求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小Fn； 答案 1 2 3 4 答案　2mω2L 质量为m的货物绕O点做匀速圆周运动，半径为2L，根据牛顿第二定律可知 Fn=mω2·2L=2mω2L (2)求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P； 答案 1 2 3 4 答案　 货物从静止开始以加速度a做匀加速直 线运动，根据运动学公式可知L=at2 解得a= 货物到达B点时的速度大小为v=at= 货物在机械臂的作用下在臂杆方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力ma，所以经过t时间，货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率为 P=mav=m··= 答案 1 2 3 4 (3)在机械臂作用下，货物、空间站和 地球的位置如图乙所示，它们在同一 直线上，货物与空间站同步做匀速圆 周运动，已知空间站轨道半径为r，货 物与空间站中心的距离为d，忽略空间 站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1∶F2。 答案 1 2 3 4 答案　 空间站和货物同轴转动，角速度ω0相 同，设空间站的质量为m0，地球的质 量为M，万有引力提供空间站做匀速 圆周运动所需向心力，则有G= m0r 解得GM=r3 货物在机械臂的作用力F1和万有引力F2的作用下做匀速圆周运动，则F2-F1=m(r-d) 答案 1 2 3 4 货物受到的万有引力F2=G= 解得机械臂对货物的作用力大小为 F1=-m(r-d)=m 则=。 答案 1 2 3 4 本课结束 THANKS $$