精品解析：广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2024—2025学年下学期佛山市S6高质量发展联盟高一年级 期中联考试卷 数学学科 考试范围：必修一第5章，必修二第6、7章；满分：150分，考试时间：120分钟 2025年4月 命题人：佛山市第三中学 顺德区郑裕彤中学 注意事项： 1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡清洁、完整、不得折叠．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在边长为1的等边三角形中，的值为（ ） A 1 B. C. D. 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不与垂直 D. 11. 对于函数．下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取得最小值，在时取得最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m. 13. 将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________. 14. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足，且的夹角为， （1）求； （2）当向量与垂直时，求实数的值. 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求值. 17. 如图，在中，，，点D在线段BC上. （1）若∠ADC=，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 18. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． （1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； （2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期佛山市S6高质量发展联盟高一年级 期中联考试卷 数学学科 考试范围：必修一第5章，必修二第6、7章；满分：150分，考试时间：120分钟 2025年4月 命题人：佛山市第三中学 顺德区郑裕彤中学 注意事项： 1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡清洁、完整、不得折叠．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：B 2. 在边长为1的等边三角形中，的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义求解即可. 【详解】 由已知可得与的夹角为， 所以. 故选：. 3. 如图，在中，点N是BC中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 4. 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法求出、，结合已知向量及向量共线定理判断点共线即可. 【详解】由题设，， 结合题设中的向量，显然只有，即一定共线. 故选：B 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以，故， 所以或，即或， 故为直角三角形或等腰三角形． 选：D． 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可. 详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误 又 ，故A对，B错； 故选：A 7. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值. 【详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以为直角三角形，且， 以为原点，建立如图直角坐标系： 所以， 所以， 所以. 故选：C 8. 已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，令，结合已知可得为上的偶函数，且在区间上单调递减，可解不等式. 【详解】， 即， 所以. 设，则所求的式子转化为. 由，可知， 所以为上的偶函数. 当时，在区间上单调递减. 又为上偶函数，所以在区间上单调递增. 又因为，所以，解得. 故选：B. 二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后结合选项可得答案. 【详解】因为，所以， 对于A，显然不是纯虚数，A不正确； 对于B，，对应的点在第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC 10. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不与垂直 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积与模长、向量垂直得关系，结合数量积的运算性质逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，由平方可得，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则或或舍去，故可能与垂直，故C错误； 对于D，当时，与可以垂直； 当时，， 综上，故D错误． 故选：AB 11. 对于函数．下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取得最小值，在时取得最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，计算零点，然后判断零点个数；B选项，利用整体代入法求的单调递增区间，然后列不等式即可；C选项，根据正弦型函数的性质得到，然后利用诱导公式计算；D选项，根据图象平移得到，然后根据偶函数列方程，解得即可. 【详解】当时，，令，即， 则或，，整理得或，， 所以在上有和两个零点，故A错； 令，，整理得，， 所以的单调递增区间为，， 当时，，解得，即， 当时，，无解， 所以，故B正确； 由得，则，，， 所以，故C正确； 由题意得， 因为为偶函数，所以或， 即，，， 整理得，， 又，所以的最小值为2，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：B选项的解题关键在于根据的解析式得到递增区间，然后让在增区间里即可. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m. 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求A，B两点间的距离. 【详解】由题设， 在中， 所以m. 故答案为： 13. 将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换求解即可. 【详解】图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到， 横坐标缩短为原来的得到，向右平移个单位长度得到. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足，且的夹角为， （1）求； （2）当向量与垂直时，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义即可求解； （2）向量与垂直，即，利用数量积的运算即可求解. 小问1详解】 由已知得. 【小问2详解】 向量与垂直， ， ， 解得. 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解， （2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解. 【详解】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 17. 如图，在中，，，点D在线段BC上. （1）若∠ADC=，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解； （2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，. 在中，由正弦定理得， 又， 【小问2详解】 . 又. ， 解得： 在中，由余弦定理得， 所以. 18. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． （1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； （2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【答案】（1）； （2）①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答. （2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答. 【小问1详解】 观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. 【小问2详解】 ①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$