专题9.1 9.1简单随机抽样(8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题9-1 9.1简单随机抽样 题型一：简单随机抽样特征 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 例题2．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； (2)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； (3)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； (4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况； (5)从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）． 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列抽样中，不是简单随机抽样的为（    ） A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里； (3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的箱子中无放回的抽取6个号签. 题型二：抽签法 典型例题 例题1．（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）（1）从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴． （2）现有一批零件，其编号为600，601，602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用信息技术生成随机数法，怎样设计方案？ 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）选择合适的抽样方法进行抽样，并写出抽样过程． (1)从甲厂生产的30个篮球（其中一箱20个，另一箱10个）中抽取3个； (2)从乙厂生产的300个篮球中，抽取10个． （注：下表为随机数表的第10行到第13行） 48306 32560 19098 13843 70490 19383 21278 90912 40402 60831 15596 95509 23567 78961 46509 33267 82724 32555 52400 15020 12760 47439 67841 10546 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）某卫生单位为了支援抗震救灾，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 题型三：随机数表法 典型例题 例题1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 例题3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，……，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．09 B．05 C．65 D．71 2．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）某总体由编号为的个个体组成，利用下列随机数表选出个个体，选法是下列表中第一行第列开始从左到右依次选个数字，选出的第个个体编号为（    ） 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6216 7650 0310 5523 6405 0526 6238 A．16 B．09 C．19 D．61 3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 题型四：简单随机抽样的概率 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会，与先后有关．( ) 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 例题3．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 精练核心考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，若已知每人被抽取的机会为0.03，则样本容量n为（　　） A．54 B．21 C．18 D．15 2．（2026高三·全国·专题练习）利用简单随机抽样的方法，从n个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 ． 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 题型五：简单随机抽样估计总体 典型例题 例题1．（23-24高一上·辽宁·期末）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 例题2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有 人. 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 精练核心考点 1．（2025·北京·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．138石 D．1665石 2．（24-25高一下·全国·课后作业）某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡．则估计该中学共有 名学生． 3．（23-24高二上·贵州·期末）某单位招聘员工，有250名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩（单位：分）如下表： 分数段 [60，65） [ 65.70） [70，75） [75， 80） [80，85） [85，90） [90，95 ） 人数 1 3 4 5 3 2 2 若按笔试成绩择优录取50名参加面试，可预测参加面试的分数线为 . 题型六：分层抽样的特征 典型例题 例题1．（24-25高一下·全国·课堂例题）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 例题2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 例题3．（2026高三·全国·专题练习）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 3．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）某学校有高中学生960人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为280，320，360．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 题型七：分层抽样的概率 典型例题 例题1．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·全国·单元测试）某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京昌平）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为，检验员每天都要按照的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南南阳）某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为 . 3．（23-24高一下·北京东城）已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为 ． 题型八：分层抽样中的样本方差 典型例题 例题1．（2024·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例题2．（24-25高二下·上海·期中）运动员在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果．小明记录了他在2月份的8次训练成绩和3月份的12次训练成绩．通过计算，他发现2月份的训练成绩平均值为72，方差为4.2；3月份的训练成绩平均值为75，方差为6.1．则他在这两个月的20次训练的方差为 ． 例题3．（2025·河南安阳·一模）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 . 精练核心考点 1．（24-25高二上·四川·期中）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名高二年级学生中男生有600人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为14.5cm和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5cm和17.64.则总体方差（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为 ． 3．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-1 9.1简单随机抽样 题型一：简单随机抽样特征 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由简单随机抽样的特点逐项分析判断. 【详解】对于①：简单随机抽样要求样本的总体个数有限，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确； 对于②：由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确； 对于③：简单随机抽样分无放回抽样和有放回抽样，所以③正确； 对于④：在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确． 故选：D. 例题2．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 【答案】(1)不适合 (2)适合 (3)不适合 (4)不适合 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】（1）总体容量较大，不适合； （2）总体容量较少，适合； （3）个体差异明显，不适合； （4）总体容量大，差异还较大，不适合. 【详解】（1）总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦； （2）总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便； （3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法； （4）总体容量大，且各类田地的差别很大，不宜采用简单随机抽样法． 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； (2)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； (3)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； (4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况； (5)从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据简单随机抽样的特征逐个分析即可. 【详解】（1）不是，该抽样是放回抽样； （2）不是，因为题中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取； （3）不是，因为题中“指定个子最高的5名同学”不存在随机性，不是等可能抽样； （4）不是，因为题中“在上游”不具有代表性也没有随机性和等可能性； （5）是简单随机抽样，符合简单随机抽样特征. 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列抽样中，不是简单随机抽样的为（    ） A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 【答案】ABD 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的定义即可求解. 【详解】对于A,简单随机抽样的总体个数是有限个，所以A不是简单随机抽样， 对于B，简单随机抽样是逐一抽取，所以B不是简单随机抽样， 对于D, 取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里，这违背了等可能性，所以不是简单随机抽样， 对于C，符合简单随机抽样， 故选：ABD 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)是，理由见解析 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的概念判断即可. 【详解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体中的个数是有限的． （2）是简单随机抽样．“一次性抽取”和“逐个不放回的抽取”等价，符合简单随机抽样的要求． （3）不是简单随机抽样．因为这20名学生是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求． （4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里； (3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的箱子中无放回的抽取6个号签. 【答案】(1)不是简单随机抽样，理由见解析 (2)不是简单随机抽样，理由见解析 (3)不是简单随机抽样，理由见解析 (4)是简单随机抽样，理由见解析 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的特征逐项分析判断. 【详解】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取的样本的总体的个体是无限的而不是有限的. （2）不是简单随机抽样，因为它是有放回地抽样. （3）不是简单随机抽样，因为它是一次性抽取，而不是“逐个”抽取. （4）是简单随机抽样，因为总体中的个体是有限的，并且是从总体中逐个抽取、不放回的、等可能的抽样. 题型二：抽签法 典型例题 例题1．（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 【答案】① 【知识点】抽签法 【分析】根据抽签法的定义，可得答案. 【详解】①满足抽签法的特征，是抽签法； ②不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而②中39个白球无法相互区分． 故答案为：①. 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 【答案】答案见解析 【知识点】随机数表法、抽签法 【分析】根据题意，分别按抽签法和随机数法的基本步骤依次分析，可得答案. 【详解】抽签法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，然后用大小、质地完全相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 随机数法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，准备10个大小、质地完全一样的小球．小球上分别写上数字0，1，2，…， 把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅匀，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）（1）从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴． （2）现有一批零件，其编号为600，601，602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用信息技术生成随机数法，怎样设计方案？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【知识点】随机数表法、抽签法 【分析】（1）根据题意，按抽签法的基本步骤依次分析，可得答案； （2）根据题意，按随机数法的基本步骤依次设计即可. 【详解】（1）第一步，将20架钢琴编号，号码是1，2，…，20； 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签； 第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号； 第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象． （2）用计算器生成随机数，第一步，进入计算器的计算模式，调出生成随机数的函数并设置参数； 第二步，按“＝”键生成一个符合条件的随机数，继续重复按“＝”键，生成多个随机数，如果生成的随机数重复，则跳过去不读，直到产生10个没有重复的随机数为止； 第三步，以上10个号码对应的10个零件就是要抽取的对象．（答案不唯一） 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）选择合适的抽样方法进行抽样，并写出抽样过程． (1)从甲厂生产的30个篮球（其中一箱20个，另一箱10个）中抽取3个； (2)从乙厂生产的300个篮球中，抽取10个． （注：下表为随机数表的第10行到第13行） 48306 32560 19098 13843 70490 19383 21278 90912 40402 60831 15596 95509 23567 78961 46509 33267 82724 32555 52400 15020 12760 47439 67841 10546 【答案】(1)抽签法，过程见解析 (2)随机数法，过程见解析 【知识点】抽签法、随机数表法 【分析】（1）总体容量小，宜用抽签法； （2）总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法. 【详解】（1）总体较小，用抽签法． 第一步，将30个篮球随机编号，编号分别为01，02，⋯，30． 第二步，将以上30个编号分别写在大小和形状完全相同的小纸条上，揉成小球，制成号签． 第三步，把号签放到一个不透明的盒子中，充分搅拌． 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码． 第五步，找出与号码对应的篮球，即可得到样本． （2）总体较大，样本量较小，宜用随机数法． 第一步，将300个篮球随机编号，编号分别为000，001，⋯，299． 第二步，用所给的随机数表，先随机确定一个数作为起始数字，如选第十行第十一列的数1为起始数字． 第三步，从选定的数开始向右读，每次读3位，凡是不在000～299（包括000和299）中的数都跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读， 便可依次得到190，193，127，026，083，115，092，093，240，015这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）某卫生单位为了支援抗震救灾，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案． 【答案】答案见解析 【知识点】抽签法、随机数表法 【分析】依据简单随机抽样的抽签法的步骤即可得到答案；依据简单随机抽样的随机数法的步骤即可得到答案． 【详解】抽签法： 第一步，将50名志愿者编号，号码为01，02，03，⋯，50； 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签； 第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀； 第四步，从盒子中依次不放回地取出10个号签，并记录上面的编号； 第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员． 随机数法： （1）将50名志愿者编号，号码为01，02，03，⋯，50； （2）准备10个大小，质地均匀的小球，小球上分别写上数字0，1，2，⋯，9； （3）把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个数数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号；（也可选用随机数表，读取编号） （4）重复抽取随机数，直到抽中10名志愿者为止． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【答案】答案见解析 【知识点】抽签法、简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由抽签法的适用特征以及抽签法的使用步骤即可求解. 【详解】由于总体容量小，样本量也小，可用抽签法，步骤如下： （1）将28件环保案例用随机方式编号，号码是1，2，3，…，28； （2）将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签； （3）把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀； （4）从容器中无放回地逐个抽取7个号签，并记录上面的号码； （5）找出和所得号码对应的7件案例，组成样本． 题型三：随机数表法 典型例题 例题1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【答案】A 【知识点】随机数表法 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到400内的数，重复的只取一次，读取到第4个即可． 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，分别为：253（第1个），313（第2个），457（不在范围内，不符合要求），860（不在范围内，不符合要求），736（不在范围内，不符合要求），253（重复，不符合要求），007（第3个），328（第4个）， 故选：A． 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 【答案】D 【知识点】随机数表法 【分析】依次挑选符合条件的编号，即可求解. 【详解】从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数,符合条件的编号依次有23，20，26，24，25，19，03，…, 故第6个个体编号为19. 故选：D 例题3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 【答案】 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法记录前三个被抽到的同学的编号，即可得解. 【详解】由随机数表法可知，前三个被抽到的同学的编号为：、、. 故第个被抽到的同学的编号为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，……，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．09 B．05 C．65 D．71 【答案】A 【知识点】随机数表法 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数，即可得到第个样本编号. 【详解】读取的数据依次是37，14，05，11，09，则得到的第5个样本编号是09， 故选：A． 2．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）某总体由编号为的个个体组成，利用下列随机数表选出个个体，选法是下列表中第一行第列开始从左到右依次选个数字，选出的第个个体编号为（    ） 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6216 7650 0310 5523 6405 0526 6238 A．16 B．09 C．19 D．61 【答案】C 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得出结果. 【详解】选取方法是从随机数表第1行的第列数字开始， 从左到右依次选取两个数字， 则选出来的个个体编号分别为∶ 所以选出来的第个个体编号为． 故选：C. 3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【答案】31 【知识点】随机数表法 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8  44  2  17  31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 题型四：简单随机抽样的概率 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会，与先后有关．( ) 【答案】错误 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据简单随机抽样的特征得到答案. 【详解】简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会是均等的，与顺序无关. 故答案为：错误 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 【答案】C 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据简单随机抽样概率的求解方法，列出方程计算即可. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：C 例题3．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【答案】C 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，即可得到方程，解得即可. 【详解】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为， 依题意可得，解得. 故选：C 精练核心考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，若已知每人被抽取的机会为0.03，则样本容量n为（　　） A．54 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】由简单随机抽样的概念判定即可. 【详解】总样本共，样本容量. 故选:A. 2．（2026高三·全国·专题练习）利用简单随机抽样的方法，从n个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 ． 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则，即，则． 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为． 故答案为：. 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则， 即，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 故答案为：. 题型五：简单随机抽样估计总体 典型例题 例题1．（23-24高一上·辽宁·期末）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 【答案】D 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据254粒内夹谷28粒可得比例，即可解决. 【详解】由题意得，这批米内夹谷约为石， 故选：D 例题2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有 人. 【答案】102 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】先求出随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生人数，利用样本估计整体即可求解. 【详解】解：根据题意，随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生有人， 故该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有人. 故答案为：102. 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 【答案】(1)总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额． (2)不同意 【知识点】简单随机抽样估计总体、总体与样本 【分析】根据样本与总体的概念，分析即可得答案； 【详解】（1）总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额； （2）不同意．因为抽取的样本不够全面，而抽取的5天营业额只反映被抽到的5天的情况，不能反映这个月中每天的情况． 精练核心考点 1．（2025·北京·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．138石 D．1665石 【答案】A 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果 【详解】解，由抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒估计夹谷频率为， 所以这批米内夹谷约为石， 故选:A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡．则估计该中学共有 名学生． 【答案】1250 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】设该中学共有n名学生，根据分层抽样中有关抽样比的计算方法即可求解. 【详解】设该中学共有n名学生， 依题意得：，解得． 所以估计该中学共有1250名学生． 故答案为：1250. 3．（23-24高二上·贵州·期末）某单位招聘员工，有250名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩（单位：分）如下表： 分数段 [60，65） [ 65.70） [70，75） [75， 80） [80，85） [85，90） [90，95 ） 人数 1 3 4 5 3 2 2 若按笔试成绩择优录取50名参加面试，可预测参加面试的分数线为 . 【答案】85分 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】由录取人数确定录取比例，根据比例相同确定20名样本中可被录取的人数，从而确定分数线. 【详解】因为有250名应聘者参加笔试，按笔试成绩择优录取50名参加面试.所以录取的比例为1∶5.随机抽查的20名应聘者能录取的人数为. 由20名应聘者的成绩表可知，能录取的4人成绩不低于85分，故可预测参加面试的分数线为85分. 故答案为：85分 题型六：分层抽样的特征 典型例题 例题1．（24-25高一下·全国·课堂例题）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】由分层抽样的适用条件即可判断； 【详解】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 故选：C 例题2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 【答案】A 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可. 【详解】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； 对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A. 例题3．（2026高三·全国·专题练习）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 ． 【答案】120，110，90 【知识点】分层抽样的特征及适用条件、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先求出各层比例，根据分层抽样的定义建立式子计算即可得到结论.. 【详解】小学生，初中生，高中生人数的比例为， 故抽取的小学生，初中生，高中生的人数分别为． 故答案为：120，110，90. 精练核心考点 1．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】利用分层抽样的意义求解即可. 【详解】由题得应抽取男运动员的人数为. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】D 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 3．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）某学校有高中学生960人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为280，320，360．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】A 【知识点】分层抽样的特征及适用条件、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先计算出分层比，再利用分层抽样的性质求解即可. 【详解】根据题意得，分层比为，高一学生占总人数比例为， 应抽取高一年级学生的人数为，故A正确. 故选：A． 题型七：分层抽样的概率 典型例题 例题1．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽签法、随机数表法、简单随机抽样的概率、分层抽样的概率 【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案. 【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 例题2．（24-25高一上·全国·单元测试）某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为 ． 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的概率 【解析】先利用人数比例和青年教师人数计算该校全部教师人数，再利用古典概型计算每位老年教师被抽到的概率即可. 【详解】由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1， 知青年教师的人数比例为，故该校全部教师人数为：120÷＝300(人)． 采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京昌平）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为，检验员每天都要按照的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的概率 【分析】利用分层抽样的比例，结合题中所给的合格率即可求出结果. 【详解】由已知条件可知，选到合格品的概率为. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南南阳）某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为 . 【答案】 【知识点】分层抽样的概率 【分析】根据分层抽样中每个个体被抽到的概率相等即可得结果. 【详解】由于每个个体被抽中的可能性相同， 所以小明被抽中的概率为， 故答案为：. 3．（23-24高一下·北京东城）已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为 ． 【答案】 【知识点】分层抽样的概率 【分析】根据分层抽样的概率，即可容易求得. 【详解】由题可知，型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等， 则其概率. 故答案为：. 题型八：分层抽样中的样本方差 典型例题 例题1．（2024·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数和方差的公式计算. 【详解】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，， 抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，， 设抽取的总体样本的平均数为和方差为， 则， . 故选：C. 例题2．（24-25高二下·上海·期中）运动员在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果．小明记录了他在2月份的8次训练成绩和3月份的12次训练成绩．通过计算，他发现2月份的训练成绩平均值为72，方差为4.2；3月份的训练成绩平均值为75，方差为6.1．则他在这两个月的20次训练的方差为 ． 【答案】7.5 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】计算出两个月的20次训练的平均数，进而代入总体方差和样本方差的相关公式进行计算. 【详解】这两个月的20次训练的平均数为， 故这两个月的20次训练的方差为 . 故答案为：7.5 例题3．（2025·河南安阳·一模）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 . 【答案】0.76/ 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可. 【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比， 则全校教师的平均工资为(千元)， 则教师工资的方差为 . 故答案为：0.76 精练核心考点 1．（24-25高二上·四川·期中）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名高二年级学生中男生有600人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为14.5cm和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5cm和17.64.则总体方差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【分析】根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数，进而求得方差. 【详解】按照分层随机抽样，设在男生､女生中分别抽取m名和n名， 则，解得， 由题意，男生样本的平均数为，样本方差为， 女生样本的平均数为，样本方差为， 记抽取的总样本的平均数为，总样本的样本方差为， 可得， 所以 . 故选：C. 2．（2025·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为 ． 【答案】36 【知识点】计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差 【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【详解】由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式． 故答案为：36. 3．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差 【分析】根据分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知五人的平均身高为， 所以五人身高的方差为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$