专项 图形密铺问题-北师大版四年级下册期末专项（小学数学）

1 专项 图形密铺问题 答案解析 1．见详解 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成 一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被 360°整除，这样的多边形能密铺。据此解答即可。 【详解】圆是由曲线围成的，不能单独密铺； 梯形的内角和是（4－2）×180°＝2×180°＝360°，360°÷360°＝1，梯形能单独密铺； 平行四边形的内角和是（4－2）×180°＝2×180°＝360°，360°÷360°＝1，平行四边形能单独密铺； 五边形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，540°不能被 360°整除，五边形不能单独密铺； 三角形的内角和是 180°，360°÷180°＝2，三角形能单独密铺。 2．B 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种完全一样的图形进行拼接；（2）拼接处不 留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的 多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此判断图形能否单独密铺的关键是看这个图形的 内角和能否被 360°整除。 从一个顶点作对角线，可以将梯形分成 2个三角形，三角形内角和为 180°，用 2×180°即可求 出梯形的内角和；即多边形内角和公式为：（n－2）×180°，套用公式计算出选项中多边形内 角和，再做判断即可。 【详解】A．梯形的内角和是 2×180°＝360°，能被 360°整除，能单独密铺； B．正五形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，不能被 360°整除，不能单独密铺； C．平行四边形的内角和是 2×180°＝360°，能被 360°整除，能单独密铺； D．正六形的内角和是（6－2）×180°＝4×180°＝720°，能被 360°整除，能单独密铺。 不能单独密铺的图形是正五边形。 故答案为：B 3．C 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、 2 不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接 在一起时，其和等于 360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】圆形不能密铺，菱形能密铺，长方形能密铺，正六边形能密铺，直角三角形能密铺， 平行四边形能密铺，五边形不能密铺。 一共有 5个图形可以密铺。 故答案为：C 4．B 5． 等边三角形 正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也 不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边 形的内角和是 360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【详解】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是 360度的可以密铺，如等边三角形、正 方形。（答案不唯一） 6． 等边三角形 平行四边形 圆 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此 判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除 360°或被 360°整除，依此 解答。 【详解】等边三角形的三个角的度数之和是 180°，360°÷180°＝2，因此等边三角形可以单独进 行密铺。 平行四边形的内角和是 360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。 圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。 由此可知，等边三角形、平行四边形和圆中，等边三角形和平行四边形能单独密铺，圆不能单 独密铺。 7．× 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也 不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌，据此解答。 【详解】根据分析：正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是 120°，在每个拼接点处正好能 容纳 3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是 108°，而 360°不是 108°的整数 倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象；原题说法错误。 故答案为：× 3 【点睛】本题考查图形的密铺，正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺，除正 三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面，所有任意三角形与任意四 边形都可以密铺，三对对应边平行的六边形可以单独密铺。 8．（1）三角形；正方形；正六边形；正五边形 （2）见详解 【分析】（1）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形 进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；由图即可看出哪此图形能单独密铺，哪 些图形不能单独密铺； （2）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一 个周角；通过计算可知：一个多边形的内角之和能被 360°整除，这样的多边形能密铺；据此解 答。 【详解】根据分析： （1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）三角形的内角和是 180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是 360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺； 五边形的内角和是 540°，540°不能被 360°整除，五边形不能密铺； 六边形的内角和是 720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺； 答：我发现一个多边形的内角之和能被 360°整除，这样的多边形能密铺。 【点睛】此题考查了密铺的意义、能密铺图形的特征。 9．见详解 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也 不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边 形的内角和是 360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形 外，其他正多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺；据此即可解 答。 【详解】 我 的 观 生活中存在着“密铺”现象，又叫做平面图形的镶嵌。例如：客厅地板用 正方形的瓷砖密铺，教学楼的墙面用长方形的瓷砖密铺…… 4 察 我 的 猜 想 哪些图形能单独密铺？原因是什么呢？ 我 的 实 践 实践一： 操作：拼摆等边三角形 观察：等边三角形能单独密铺 因为：60°×6＝360° 实践二： 操作：拼摆长方形 观察：长方形能（能/不能）单 独密铺 操作：拼摆等边三角形 因为：三角形的内角和是 180°， 能整除 360°，可以密铺。 实践三： 操作：拼摆正五边形 观察：正五边形不能（能/不能）单独 密铺 因为：它的每个内角都是 108度，而 360 度不是 108度的整数倍，在每个拼接点 处的内角不能保证没空隙或重叠现象， 不能密铺。 实践四： 操作：拼摆正六边形 观察：正六边形能（能/不能） 单独密铺 因为：它的每个内角都是 120°， 在每个拼接点处恰好能容纳 3 个内角，可以密铺。 结 论 在拼接时，同一顶点处 1 个或多个多边形的内角和是 360度的可以密铺； 任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正 多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺。 5 我 的 设 计 请根据密铺图形进行设计，创造出美丽的图案来装点我们的教室吧！ 1 专项 图形密铺问题 1．下面的图形中，能单独密铺的图形有哪些？在其下面括号里画“√”。 2．下面图形中不能单独密铺的图形是（ ）。 A．梯形 B．正五边形 C．平行四边形 D．正六边形 3．下面图形中，能单独密铺的有（ ）个。 A．7 B．6 C．5 D．4 4．小明的爸爸要铺地面砖，建材市场有下列几种图形的地面砖，下列哪种地面砖不能选择（ ）。 A．三角形 B．正五边形 C．长方形 D．正方形 5．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。 6．等边三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单 独密铺。 7．（判断）所有的正多边形都可以密铺。( ) 8．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果 如图。 2 （1）通过观察我发现（ ）、（ ）、（ ）能单独密铺， （ ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 9．生活中有许多密铺现象，我们来研究一下吧。 我 的 观 察 生活中存在着“密铺”现象，又叫做平面图形的镶嵌。例如：客厅地板用正方形的瓷砖密 铺，教学楼的墙面用长方形的瓷砖密铺…… 我 的 猜 想 哪些图形能单独密铺？原因是什么呢？ 我 的 实 践 实践一： 操作：拼摆等边三角形 观察：等边三角形能单独密铺 因为：60°×6＝360° 实践二： 操作：拼摆长方形 观察：长方形_________（能/不能）单 独密铺 操作：拼摆等边三角形 因为：___________________________ 3 实践三： 操作：拼摆正五边形 观察：正五边形_________（能/不能）单独 密铺 因为：___________________________ 实践四： 操作：拼摆正六边形 观察：正六边形_________（能/不能） 单独密铺 因为：___________________________ 结 论 _________________________________________________________________________。 我 的 设 计 请根据密铺图形进行设计，创造出美丽的图案来装点我们的教室吧！