精品解析：湖南省株洲市渌口区第五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

渌口区第五中学高一下学期期中数学试题（4.19） 时间：120分钟 总分：150分 高一备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】由得，所以，， 因为，所以，， 因此，. 故选：D. 2. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为，所以， 则 故复数的虚部为. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 3. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 4. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到，即，再结合角的范围求解即可. 【详解】若，则有，即， 因为，所以. 故选：D. 5. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到， 所以， ，解得， 又，令，得， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为，求出半径，即可求出球的表面积． 【详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球的半径为，此时，. 因此，球的表面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查球的半径与表面积的计算，确定点的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 8. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据偶函数的性质及函数的对称性判断A，推导出的周期，即可判断C，根据周期性与对称性，作出，的图象与的图象，数形结合即可判断D. 【详解】对于A：令，则是偶函数，即，即， 所以关于对称，故A正确； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则， 因为，所以， 即，所以的周期， 显然，则也是函数的周期，故C正确； 对于B：因为，， 所以，， 所以，故B错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出，的图象与的图象， 又，，所以，即， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ACD． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. （多选题）如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】连结，则平面，利用线面垂直的定义可知A正确；，利用线面平行的判定定理可知B正确；进而得到C正确；点､到直线的距离不相等，可知不正确，得出答案． 【详解】解：连结，在正方体中，平面， 又，平面， 平面，选项A正确； ，即，平面， 平面，平面，选项B正确； 由平面， 得； 三棱锥体积为定值，选项C正确； 点､到直线的距离不相等， 的面积与的面积不相等， 故D错误． 故选：ABC． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面垂直的定义和线面平行的判定定理，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（ ） A. 在上也恰有两个零点 B. 的取值范围是 C. 的图象在上恰有一条对称轴 D. 的图象在上最多有三条对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识将问题等价转化为在上恰有两个零点，可判断A；再由零点个数列不等式，从而求得 的取值范围，可判断B；由正弦型函数的图象的对称轴判断C、D． 【详解】的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，在上恰有两个零点，故函数在 上恰有两个零点，故A正确； 由题意知 且 ，则 ，，． 由“五点法”知 或 ， 得 或，故B错误； 若，则， 而或， 因为，故的图象恰有一条对称轴，故C正确； ，若，则， 若 ，则，， 若 ，则，， 所以的图象在上最多有三条对称轴，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题意得， 因为，，三点共线，所以， 所以， 所以， 解得 故答案为：-1 13. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由条件③可得，，且， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，且， 则，所以为奇函数，且， 所以在上单调递减，， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得，即可得点在以为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解. 【详解】由题意可得， 所以； 则点在以为圆心，1为半径的圆上，如图： 由图可知，当与夹角最小值为0， 当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接， 易得为锐角且， 所以， 所以此时与夹角的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且在上的投影向量为. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得； （2）由向量垂直建立方程，求解即可． 【小问1详解】 因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以，即， 得，解得． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，E为AP的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求四棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设BP的中点为F，连接EF，CF．证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面PBC； （2）作，垂足为G，作于点H，垂足为H，设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，求得，且，得到外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明；如图所示，设BP的中点为F，连接EF，CF． ∵E为AP的中点，∴，且， ∴，且， ∴四边形CDEF平行四边形，∴， ∵平面PBC，平面PBC， ∴平面PBC． 【小问2详解】 解：作，垂足为G，作于点H，垂足为H， 设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO， ∵，，∴，∴，且， ∴四边形DCGH为平行四边形，∴， ∴，∴， 同理可得， ∵E为AP的中点，∴，∴， ∴四棱锥外接球的球心为O，半径为2， ∴四棱锥外接球的表面积为． 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用方程求解的值，进而得函数解析式； （2）根据图象变换得的解析式，再画出函数在区间上的图象，将方程的解的个数转化为两个函数图象交点个数，即可根据图象求实数的取值范围. 【小问1详解】 . 由，得， 即或， 则，解得， 又因为，所以当时，； 则. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度后得， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数. 由，得， 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时， 函数在上的图象，如图所示： 因此，若关于的方程在区间上有2个实数解，则. 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 因为 ，故得证. 【小问3详解】 由题意得，在上恒成立， 即在上恒成立 ， 令，则. 令，因为，所以，所以， 所以，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 则，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渌口区第五中学高一下学期期中数学试题（4.19） 时间：120分钟 总分：150分 高一备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 4. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是球球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 A. B. C. D. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 10. （多选题）如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（ ） A. 在上也恰有两个零点 B. 的取值范围是 C. 图象在上恰有一条对称轴 D. 的图象在上最多有三条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设和是两个不共线向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为____________. 13. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 14. 已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且在上的投影向量为. （1）求及的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，E为AP的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求四棱锥外接球的表面积． 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围. 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$