专题12 条件概率与全概率公式-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题12 条件概率与全概率公式 高二数学专项强化与检测 专题12 条件概率与全概率公式 一、知识填空： 1．条件概率 （1）概念：一般地，当事件B发生的概率 时（即），已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作，而且 . （2）两个公式：①利用古典概型： ；②概率的乘法公式： . 2．条件概率的性质 （1）设，则 ． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ． （3）设和B互为对立事件，则 ． （4）． 3．事件的独立性 （1）事件A与B相互独立的充要条件是 ． （2）当时，A与B独立的充要条件是 ． 4．全概率公式：若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均 ，即，． （2） ． （3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．上述公式可借助图形来理解： 5．贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自检自纠： 1．（1）大于0 （2） ，， 2．（1）1 （2）（3） 3. （1）（2） 4. （1）互斥（1）（3） ，全概率公式 5. ， 二、专题训练： 题组一：条件概率的性质及计算公式 1．设为两个事件，已知，则 A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．若事件，相互独立，其中，，则 . 4．已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ； ． 5．已知随机事件满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件满足，，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则 . 7．若，则（   ） A．0.9 B．0.78 C．0.66 D．0.12 8．已知随机事件，．若，，，则 ． 9．（多选）已知事件A，B，且，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且.则（    ） A． B． C． D． 题组二：全概率公式 1．若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 3．已知，，，则 ． 4．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则 ． 6．已知，，，则 . 7．若随机事件满足：，则 ． 8．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 . 9．设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 题组三：定义法求条件概率的实际应用 1．某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知14班和15班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（   ） A． B． C． D． 7．某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入同一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（   ） A． B． C． D． 8．小李经常去图书馆读书，已知他周二去图书馆读书的概率为，在他周二不去图书馆读书的条件下周一去图书馆读书的概率为他周二不去图书馆读书的条件下周一也不去图书馆读书的概率的2倍，则他周一和周二都没去图书馆读书的概率为 . 9．（多选）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 10．（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于 题组四：样本点法求条件概率的实际应用 1．某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填空题）不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则 ． 2．某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知不透明的袋子中装有4个白球、3个红球和1个黄球，每个球除颜色外其他均相同，从袋子中随机摸出2个球，若摸出的球的颜色不同，则摸出的球中有红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（    ） A． B． C． D． 5．六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（    ） A． B． C． D． 6．五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是 . 7．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（    ） A． B． C． D． 8．小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若，则 ． 9．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 10．从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 ． 题组五：全概率公式的实际应用 1．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 3．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 4．播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（   ） A．0.3815 B．0.4815 C．0.3825 D．0.4825 5．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（   ） A．0.24 B．1 C．0.5 D．0.52 6．某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（  ） A． B． C． D． 7．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ． 8．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 9．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 10．某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 题组六：贝叶斯公式及条件概率综合应用 1．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 2．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 3．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 4．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 5．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 6．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 7．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 8．（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 9．（多选）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（  ） A． B． C． D．事件A，B相互独立 10．（多选）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　） A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8 3．有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（    ） A． B． C． D． 4．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（    ） A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575 5．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 6．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（    ） A． B． C． D． 7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立  ② ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 8．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 11．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，则 . 13．袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为 . 14．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率 ， . 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$专题12 条件概率与全概率公式 高二数学专项强化与检测 专题12 条件概率与全概率公式 一、知识填空： 1．条件概率 （1）概念：一般地，当事件B发生的概率 时（即），已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作，而且 . （2）两个公式：①利用古典概型： ；②概率的乘法公式： . 2．条件概率的性质 （1）设，则 ． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ． （3）设和B互为对立事件，则 ． （4）． 3．事件的独立性 （1）事件A与B相互独立的充要条件是 ． （2）当时，A与B独立的充要条件是 ． 4．全概率公式：若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均 ，即，． （2） ． （3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．上述公式可借助图形来理解： 5．贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自检自纠： 1．（1）大于0 （2） ，， 2．（1）1 （2）（3） 3. （1）（2） 4. （1）互斥（1）（3） ，全概率公式 5. ， 二、专题训练： 题组一：条件概率的性质及计算公式 1．设为两个事件，已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件概率的计算公式，可得：.本题正确选项： 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B 3．若事件，相互独立，其中，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，由题意相互独立，所以, 所以，故答案为： 4．已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ； ． 【答案】 【详解】由，，，则，.故答案为：；. 5．已知随机事件满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，；，，.故选：A. 6．已知随机事件满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机事件和满足，，， 所以.故选：D. 6．若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故答案为： 7．若，则（   ） A．0.9 B．0.78 C．0.66 D．0.12 【答案】B 【详解】因为， 所以．故选：B． 8．已知随机事件，．若，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 又，所以， 所以.故答案为： 9．（多选）已知事件A，B，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，A选项正确； 由题意，，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 又因为，所以， 所以，D选项错误；故选：ABC. 10．（多选）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】由事件与事件互斥，，故,故A正确;则,故B正确；,故C正确.,故D正确.故选：ABCD. 题组二：全概率公式 1．若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B 2．已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【答案】D 【详解】由，可得， 所以．故选：D 3．已知，，，则 ． 【答案】 【详解】设，因为，，，又，所以，整理得到，解得，故答案为：. 4．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，由得：， 所以由全概率公式得：，故选：A 5．已知，则 ． 【答案】 【详解】由全概率公式，得． 故答案为：. 6．已知，，，则 . 【答案】 【详解】..故答案为： 7．若随机事件满足：，则 ． 【答案】 【详解】由，得，可得：， 由，可得，所以，故答案为 8．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 . 【答案】 【详解】由，可知，又，可得，由，可得，所以.故答案为： 9．设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛掷一枚质地均匀的殶子朝上的点数，设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”，表示事件“点数是奇数点”， ，此时满足，但，故选项错误； ，但，故选项错误；成立，但，故选项错误；对于选项，对于随机事件，且，则由得，又，得，又因为，所以，则，故必要性成立，反之，由可得，所以，故充分性成立，所以选项正确.故选： 10．（多选）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由于与是互斥事件，则 ，故A正确；对于B，已知，可得.设，则，.由A项可知，即.解得，由，可得相互独立，故B正确；对于C，根据德摩根定律，再由对立事件概率公式，由B项可知，所以，故C错误；对于D，根据，，，则；又，，，则.则，故D错误. 故答案为：AB 题组三：定义法求条件概率的实际应用 1．某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球，则同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为，设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件，则，所以．故选：B. 2．某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为， 第三次答对，概率为，记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，，由条件概率公式可得.故选：B． 3．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.故选：B. 4．甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记甲、乙、丙三人闯关成功分别为事件，记三人中恰有两人闯关成功为事件， 则， 又，所以．故选：C． 5．已知14班和15班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，则，，所以，，．所以．所以．故选：A 6．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，，，由条件概率公式可得.故选：C. 7．某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入同一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件A为“输出信号为0，2，1”，事件B为“输入信号为0，0，0”，则．故选：C 8．小李经常去图书馆读书，已知他周二去图书馆读书的概率为，在他周二不去图书馆读书的条件下周一去图书馆读书的概率为他周二不去图书馆读书的条件下周一也不去图书馆读书的概率的2倍，则他周一和周二都没去图书馆读书的概率为 . 【答案】 【详解】设小李周一去图书馆读书为事件，周二去图书馆读书为事件，则，. 根据题意得，且，所以. ，得.故答案为：. 9．（多选）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 【答案】ABD 【详解】甲获胜的概率为A正确；两人比赛4局结束的概率为B正确；对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确；由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确，故选：ABD. 10．（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于 【答案】ACD 【详解】对于A中，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结构为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4个结果，且它们等可能，其中2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2个结果，所以概率为，所以A正确；对于B中，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，且它们等可能，其中3次传球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3个结果，所以3次传球后球在乙手上的概率是，所以B不正确；设次传球后球在甲手上的事件为，则有，令，则，所以，所以，则，因为第一次有甲传球后，求不可能在甲手中，所以，则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，因为，可得，所以，所以D正确；当时，可得，所以C正确.故选：ACD. 题组四：样本点法求条件概率的实际应用 1．某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填空题）不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则 ． 【答案】 【详解】方法一：公式法： ，，由条件概率公式可得． 方法二：样本点数法：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有个样本点， 则，所以． 方法三：缩小样本空间法：第1次抽到选择题后，第二次再抽一道题，其样本空间有4个样本点，满足事件的样本点有2个，所以．故答案为：. 2．某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，事件男生甲与两名女生被选中，则，因此，.故选：B. 3．已知不透明的袋子中装有4个白球、3个红球和1个黄球，每个球除颜色外其他均相同，从袋子中随机摸出2个球，若摸出的球的颜色不同，则摸出的球中有红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件为摸出的球的颜色不同，事件为摸出的球中有红球， 则，，．故选：D 4．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知条件得,,所以,故选：C. 5．六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则.若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法，∴，.故选：D. 6．五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是 . 【答案】 【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”，则种，种，所以.所以已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率为.故答案为：. 7．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设员工有驾照为事件，男员工有驾照为事件，则，，则由条件概率可得.故选：A 8．小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意，， ， 则，得故答案为： 9．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件，则由题可得，，共有20个样本点，共有8个样本点，共有6个样本点， 所以,故答案为: . 10．从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 ． 【答案】 【详解】由题意，在1∼15这15个数字中，5的倍数有5、10、15，共3个，所以事件发生的概率， 记事件表示 “第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”. 若第一次抽到5，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 若第一次抽到15，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法. 所以.根据条件概率公式，.故答案为：. 题组五：全概率公式的实际应用 1．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，，，所以.故选：B. 2．已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，则，，，. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为.故选：B. 3．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 【答案】C 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故所求概率，故选：C. 4．播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（   ） A．0.3815 B．0.4815 C．0.3825 D．0.4825 【答案】D 【详解】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是，，则，且，两两互斥，设表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”，则 .故选：D. 5．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（   ） A．0.24 B．1 C．0.5 D．0.52 【答案】C 【详解】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去餐厅的概率为.又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为.第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：，同理，第一天去餐厅的概率为.已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：，因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅”这两个事件是互斥的，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得王同学第二天去餐厅用餐的概率为：.故选：C 6．某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，则， 所以.故选：C. 7．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ． 【答案】 【详解】设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件， 则，， 所以． 故答案为：. 8．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区，由已知可得，又， 由全概率公式可得.故选：C. 9．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设“两位数的十位是奇数”为事件，“两位数的十位是偶数”为事件，“两位数是偶数”为事件；则可得，可得.故选：A. 10．某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是随机选择一袋，所以选择第一袋和第二袋的概率均为. 第一袋中有名男生和名女生的报表，从10份报表中随机抽取份的组合数.从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为.所以从第一袋中抽到一男一女报表的概率为. 第二袋中有名男生和名女生的报表，从12份报表中随机抽取份的组合数为.从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为.所以从第二袋中抽到一男一女报表的概率为. 设事件表示“恰好抽到男生和女生报表各份”，事件表示“选择第一袋”，事件表示“选择第二袋”. 根据全概率公式，其中，，，可得：，恰好抽到男生和女生报表各份的概率为.故选：D. 题组六：贝叶斯公式及条件概率综合应用 1．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以.故选：D 2．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得，，，，， ，．故选：B. 3．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“零件为一等品”，事件表示“零件为二等品”，事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”，则，故， 故选:B. 4．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 【答案】A 【详解】此人是癌症患者的概率为.故选：A 5．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品，则, ；则取到的是次品的概率为；若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： .故选：B. 6．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=，市民开私家车出行迟到的概率为×=，市民骑行或步行出行迟到的概率为×=，则这名市民迟到的概率为×+×+×=，故所求的概率为.故选：C. 7．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 【答案】 【详解】设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则，，，， 所以， 所以.故答案为：. 8．（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 【答案】AC 【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅， 所以，，， 因为， 所以， 所以有, 因此选项A正确, ，因此选项B不正确； 因为，所以选项C正确； ，所以选项D不正确， 故选：AC 9．（多选）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（    ） A． B． C． D．事件A，B相互独立 【答案】ABC 【详解】对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C正确；对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选：ABC． 10．（多选）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题得，根据条件概率公式，得， ，故正确，错误.对选项，所以，故C正确.对选项D，，，故D正确.故选：ACD. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得.故选：C. 2．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　） A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8 【答案】C 【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选C． 3．有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设至少一件次品为事件，另一件为次品为事件，则（A），， 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．故选：． 4．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（    ） A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575 【答案】B 【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，则，，，，，，所以．故选：B 5．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题，则，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B 6．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得：，解得，故选：B． 7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立  ② ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误；，，所以，②正确；，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2.故选：C. 8．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【详解】由题意可知：，，，，，.由全概率公式可知：，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由得：，又，则，对于选项A，由可知，，即，又，所以相互对立，故A正确；对于选项B，由可知，所以，故B错误；对于选项C，由，得，故C正确；对于选项D，由，得，则，故D错误.故选：AC 10．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据题意易知，A错误；由独立事件的乘法公式可得，B正确；易知，C错误；由题可知，而,所以正确．故选：BD 11．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】,故A正确；，故B正确；，故C正确；，，，故D错误.故选: ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，，所以.故答案为： 13．袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为 . 【答案】 【详解】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，则，，，即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.故答案为：. 14．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率 ， . 【答案】 【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，，因此.故答案为：；. 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$