第2章 2 二次函数的图象与性质 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

∴.只需要x=一4时，抛物线的函数值y=4m十1≥0即可， ≤m<0. 综上可知，当-≤m<0或0<m<时，二次函数y m(x十2)+1的图象与线段AB恰有一个公共点. 第5课时二次函数y=ax2+bx十c 二次函数y=一2(x一2)+2的顶点坐标为(2,2)，绕顶点旋 的图象与性质 转180度后，再沿着x轴向左平移3个单位长度，沿着y轴 L.A2.B3.B4.C5.A 向下平移3个单位长度，.2一3=一1,2一3=一1，∴.平移后 6.x≤-2-2大27.2 的顶点坐标为（一1，一1），.运动后的表达式为y=2(x+ 8.解：(1)把点C(5,4)的坐标代人y=ax2-5ar+4a.得25a一 1)2-1. 25a十4a=4,解得a=1,∴该抛物线的表达式为y=x2-5x+ 6.D 7.解：(1)29 么：y=-5十4-（一2》广-号…该抛物线暖点P的 (2)≤2 (3)抛物线y=一3(x一2)十9是由抛物线y=一3x向右平 坐标为（侣一） 移2个单位长度，向上平移9个单位长度得到的. (2)先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 (4)令y=-3(x-2)2+9=0, 5 解得x=2十√3或x=2一√3， 的物线的表达式为y=(-+)-号+4 ,抛物线与x轴的交点坐标为(2+3,0)和(2-5,0). 8.C9.B10.A11.D (+》+?即y-计十2.（爷案不唯一，合理可 12.解：1原二次函数表达式为y-号+1一2一1一，即 9.C10.411.A12.C13.A14.B15.D 2 y=-0-5 16.m≥-117.a<0或a≥亏 18.解：(1)：二次函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, 1 六a=2h=1k=-5, 该函数图象的开口向下，顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线 x=2. （2:由(1)知，二次函数的表达式为y=-1)-5 (2)y=-x1+4x-3=-(x-2)2+1. D(2,1) ,它的图象开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为 当y=0时，即一x”十4x一3=0，解得x1=1,x=3, (1,-5). “,该函数的图象与x轴交于点A,B,点A在点B左侧， 13.解：(1)：y=m(x+2)2+1: A(1,0),B(3,0), 物线的顶点坐标为C(一2,1). .AB=2. 对于y=x十4.令x=0,得y=4:令y=0,得x=一4， 当x=0时，y=一3， A(-4,0),B(0,4), .点C的坐标为(0，-3). 点A,B,C的坐标分别为A(一4,0)，B(0,4),C(一2,1). (2)把x=一4代人y=m(x十2)2+1得y=1m+1. 如图所示，Sw由那r=Sam十Sa=2X2X1十2X2X 当m>0时，y=4m十1>0，说明抛物线的对称轴左侧与线 3=4, 段总有交点， .四边形ADC的面积为4. :,只需抛物线的对称轴右侧与线段无交点即可 当m>0时，如图①所示： 19.解：(1)当k=2时， ① 只需要当x=0时，抛物线的函数值y■4m十1<4即可， y=2x-00+2=-+2=-} x-4)2+4, m< .当x=4时，y取得最大值，y量火=4， 即当k=2时，炮弹飞行的最大高度是4千米 i0<m<, (2)由题意，得当r=5,y=0时， 当m<0时，抛物线开口向下，如图②所示： 0-X5-动a+)X 解得k1=2+3,k2=2-√5， 即k的值是2+√3或2一3. 20解：0yy=a+c=a+名）一 )一a·顶点坐标为1)， -2 六一a-l证-1.解得a-1,6-2. (2)当顶点坐标为(m,2m),m≠0时，一2a=m·4a b =2m,解 13 得a=一2 .MN=1+2-(1+2:) =-12-1+2 3)由1)知，抛物线y=ar+征的顶点坐标为（一品 =-+)+是 厂)：抛物线顶点在直线y=(+)xk≠一D上国 ∴当1=一号时，MN取最大值，最大值为 -力（+1D,整理，得6=2+2 =2a 12.解：(1)：二次函数的图象经过点(0，一1)，顶点坐标为(2， 4a 3),∴.设这个二次函数的表达式为y=a(.x一2)2+3(a产 3确定二次函数的表达式 0),把(0，一1)代人，得一1=a(0一2)2+3，解得a=一1， 第1课时用“顶点式”求二次函数的表达式 这个二次函数的表达式为y=一(x一2)+3. (2),a=-1<0,二次函数的表达式为y=-(x一2)十3， 1.D2.C3.D 4.y=(x-3)2-5(答案不唯一) ∴.二次函数y=一(x一2)+3的图象有最高点(2,3)，对称 轴是直线x=2,当x=0时，y=-(0-2)十3=-1，当x 5.y=25-20)+16 3时，y=-(3-2)2+3=2,.y的取值范围为-1≤y≤3. (3)该二次函数的图象经过平移后与x轴只有一个公共 6.解：由题意，设该二次函数的表达式为y=a(x一h)+k.:当 点，该二次函数的图象平移后的顶点在x轴上，设它的表 x=1时，y有最大值-6，.y=a(x一1)-6.又：图象经过点 达式为y=一(x一h),该二次函数的图象经过平移后恰 (2.一8)..一8=a(2一1)”一6，解得d=一2.∴.该二次函数 好过点(0，一4)，。一4=一(0一h)2,解得h=士2，即该函数 的表达式为y=一2(x一1)一6，即y=一2x+4x一8. 的图象平移后的表达式为y■一(x一2)”或y=一(x十 7.C8.C 2),,该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平 9.y=-4x-16x或y=-4x2十16.x 移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点 10.解：(1)顶点A(0,一6)，.设二次函数的表达式为y= (0,一4)，且与x轴只有一个公共点. ax2-6,代入点B(-1,-5),得-5=a-6,解得a=1,.二 次函数的表达式为y=x“一6. 第2课时用“一般式”求二次函数的表达式 (2),对称轴为直线x=一3，.设二次函数的表达式为y= 1.D2.D a(x+3)+k,代人点A(0,一6)，B(-1,一5)，得 3.y=-x+4.x+3 1 10=a-b十c, 一6=9a+大·解得 4.解：根据题意，得(7=4a十2b+c, -5=4a+k, 二次函数的表达式为y= 0=34+2b, k■ 21 a=2, 1 1 解方程组，得b=一3， 「3)立2里。之天二《2，以>、子—— (m+3)2 c=5, 21 ，解得m=-5或-6. .该抛物线的表达式为y=2x2-3x十5. 5.A6.C 11.解：(1)抛物线过（一2,0），(0,0)， 7y=-2r-3839.(曾）或(-6) ÷抛物线的对称轴是直线r=二2+0 2 一1 10.解：设AC与x轴的交点为M,直线AC的表达式为y .顶点为（一1，一1） 好+么，将A0。-D,C(43)分别代人，得化3，解☐ .可设地物线的表达式为y=a(x十1)一1. 又过(0,0》， 'a-1=0.∴.a=1. 释传 ,抛物线的表达式为y=(x十1)”一1， .直线AC的表达式为y=x一L '.当x=一3时，y=4一1=3=m.即m=3. 令y=0,得x=1, (2)由题意，：地物线的表达式为y=(x+1)-1, .直线AC与x轴的交点坐标为M(1,0), .地物线开口向上 .OM=OA,∠CAO=45°. 结合表格，作图如图①所示。 :△CAB是等腰直角三角形， ∠ACB=45,.BC∥小y轴. 又，·∠OMA=45°，∠MAB=45°， .AB∥x轴，.点B的坐标为(4，一1).抛物线过 B 以 A(0,一1)，B(4,一1)两点，将两点的坐标分别代人抛物线的 e=-1 表达式，得 -4-3--1701234x 4-38 01234 2×16+46+r=-1. -2 六抛物线的表达式为y=一2+2-1， 2 11.解：(1)设抛物线的表达式为y=ar+h:十c, (3)由题意，如图②所示 A(-2,0).B(1,3) c=4, 6 ∴.直线AB的表达式为y=r十2. 则a十b+c=0, M在线段AB上， 25a+5b+c=0, .故可设M(t,1十2)(-2<1<1). c=4, 又MN⊥x轴，N在抛物线y=(x十1)2一1=x2十2x上， ∴.N(tt2十2t), 所以抛物线的表达式为y=专一华十中 14第5课时二次函数y=ax2+bx十c的图象与性质（答案P13) 通基础> 5.推理意识已知三次函数y=一27x2一7x+15 2 知识点1二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的 若自变量x分别取x1,x2,xa,且0<x1<x2< 图象与性质 x3,则对应的函数值y1,y2,y的大小关系正 1.二次函数y=x2+2x十2的图象的对称轴 确的是( 是() A.y>y2>y3 A.x=-1 B.y3>y2>y1 B.x=-2 C.y2>ys>y1 C.x=1 D.y1>y3>y2 D.x=2 6.已知二次函数y=-2x2-8x一6，当 2.将二次函数y=x2十4x一7化为y=a(x十 时，y随x的增大而增大；当x= 时，y h)十k的形式，正确的是() 有最 值是 A.y=(x+4)2-7 7.若抛物线y=x2一kx十k一1的顶点在x轴 B.y=(x+2)2-11 上，则k= C.y=(x+2)2-7 8.结论开放◆如图所示，抛物线y=ax2一5ax十 D.y=(x+2)2-15 4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4). 3.二次函数y=x2十4x十3的图象可以由二次 (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标. 函数y=x2图象平移得到.下列平移正确的 (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物 是() 线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线 A.先向左平移2个单位长度，再向上平移1个 的表达式 单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移1个 单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个 单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向下平移1个 单位长度 4.关于二次函数y=x2一6x+5,下列说法中错 误的是() A.用配方法可化成y=(x一3)2-4 B.将它的图象向下平移5个单位长度，会经过 原点 C.函数有最大值，最大值为一4 D.当x<3时，y随x的增大而诚小 一九年级卡伊数学的 53 知识点2二次函数y=ar2+bx十c(a≠0)的 通能力 实际应用 12.(2024·张家口一模)如图所示为函数y= 9.(2024·吕梁孝义模拟)根据研究表明，在一定 的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐 x2-1,y=x2+6x+8,y=x2-6x+8,y= x2-一12x+35在同一平面直角坐标系中的图 增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一 象，其中最有可能是y=x2一6x十8的图象 定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐 的序号是() 减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性 A.① B.② C.③ D.④ 值y(单位：IU)与温度t(单位：℃)的关系可以 近似用二次函数y=-2女+14x+142来表 示.则当温度为最适宜时，该种酶的活性值 为() A.14 C.240 D.44 3③0 第12题图 第13题图 10.某市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面 13.推理能力如图所示，已知二次函数y=ax2十 喷出，喷出水的路径是一条抛物线.如果以水 bx十c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴 平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐 交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=一 标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=一 x十c与抛物线y=ax2十b.x十c交于C,D两 x2十4x的一部分，则水喷出的最大高度是 点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列 m 结论： ①2a+b+c>0: ②a-b+c<0: ③x(ax+b)≤a+b; ④a<-1. 第10题图 第11题图 其中正确的有( 易帽固分析y=ax2十bx十c的图象易出错 A.4个 B.3个 6 11.已知一次函数y=x十c的图象如图所示，则 C.2个 D.1个 14.某抛物线向右平移1个单位长度，再向上平 二次函数y=a.x2+bx十c在平面直角坐标系 移4个单位长度后得到的表达式为y=x2 中的图象可能是( 6x+14,则原抛物线的表达式为( A.y=x2-4x+1B.y=x2-4z+5 C.y=x2-8x+25D.y=x2-8x+17 15.已知二次函数y=a.x2十2a.x+3a2十3（其中 x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增 大，且当一2≤x≤1时，y能取得的最大值为 9,则a的值为( A.1或-2 B.-√2或2 C.√2 D.1 优十学编课时渔一 16.已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1 (1)当k=2时，求炮弹飞行的最大高度. 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围 (2)若炮弹飞行的最大射程为5千米，求 是 k的值. 17.（2024·宿迁宿城区期末)已知函数y1= /千米 kx十4k-2(k是常数，k≠0)，y2=ax2十 4ax一5a(a是常数，a≠0)，在同一平面直角 千米 坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的 图象总有公共点，则α的取值范围 是 18.(2023·上海杨浦区期末)已知二次函数 y=-x2+4x-3. (1)用配方法将函数y=一x2+4x一3的表 达式化为y=a(x十m)2十k的形式，并指出 该函数图象的对称轴和顶点坐标 (2)设该函数的图象与x轴交于点A,B,点 A在点B左侧，与y轴交于点C,顶点记作 D,求四边形ADBC的面积. 通素第》999999999999 20.探究拓展我们知道，经过原点的抛物线的表 达式可以是y=ax2+bx(a≠0). (1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1,1) 时，求a,b的值 (2)当顶点坐标为(m,2m),m≠0时，求 a与m之间的关系式 (3)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线 的顶点在直线y=(k+1)x(k≠一1)上，请用 含k的代数式表示b. 19.教材P41习题2.5T3变式如图所示，建立平 面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂 直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐 标原点.已知炮弹发射后的轨迹在y=kx 201+2)z2(k>0)表示的抛物线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点 的横坐标 一九鲜级卡西数学的 55