第1章 1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

第2课时 正弦和余弦（答案P1) 通基佛 较大的锐角为0，那么cos0的值为( 3 4 A.5 C. D.3 知识点1正弦 1.(2024·中山模拟)如图所示，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=4,AC=5,则sinA的值 为() 第4题图 第5题图 5.如图所示，在正方形网格图中，△ABC的顶点 B 都在格点上，则cos∠ABC的值为 A. 0.g 4 知识点3正弦、余弦与梯子倾斜程度的关系 2.几何直观》如图所示，已知△ABC中，∠C= 6.抽象能力梯子（长度不变）跟地面所成的锐角 90°，AD是∠BAC的平分线，且BD:CD= 为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程 4:3,求sinB的值. 度之间，叙述正确的是( A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡 C.tanA的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 7.已知甲、乙两坡的坡角分别为a,3(a,3均为锐 角)，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的 是( A.tan a<tan B B.sin a<sin B C.cos a<cos B D.cos a>cos B 知识点2余弦 知识点4锐角三角函数的应用 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD 3.(2024·邢台秦都区模拟)在R1△ABC中， AC=8,BC=6,则cosA的值等于() 为斜边AC的高，D为垂足，则下列结论正确 的是() A号 取号 c号 n 4.数学文化我国古代数学家赵爽的弦图是由四 BC 个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的 A.sin A=AD B B.cos A= C 一个大正方形.如图所示，如果小正方形的面 AB BD 积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中 C.tan A= BC D.tan A= AD 一九年级下能数学多 9.△ABC在网格图中的位置如图所示（每个小 通能力 正方形的边长为1)，AD⊥BC于点D,则下列 选项错误的是( 14.如图所示是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上 A.sin a=cos a B.tan C=2 作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b C.sin B=cos B D.tan a=1 与数轴垂直，则点D表示的数是( zmmmmmmmmommm 人5°地而 012345 第9题图 第10题图 6 A.5 b.3 C.2 2 10.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周 0.6 末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线 15.模型观念某简易房示意图如图所示，若它是 长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所 一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长 示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计)，则 为( 风筝离地面的高度可以表示为( A.100sin65°米 B.100cos65°米 B 100 C.100tan65米 D.sin65米 11.(2023·昆明呈贡区模拟)在Rt△ABC中， 9 9 ∠C=90,snA=9,则cosB A.5sin am B 5cos am 5 12.在△ABC中，已知∠A=45°，AB=42, C.sin a m D.gcos am BC=5,则△ABC的面积为 16.新情境》已知一个不等臂跷跷板AB长4米， 13.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高， 支撑柱OH垂直地面，如图①所示，当AB的 AE是EC边上的中线，∠C=45,inB=3 一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为 AD=1. 2:如图②所示，当AB的另一端B着地时， (1)求BC的长. (2)求tan∠DAE的值. AB与地面夹角的正弦值为号·则支撑柱OH 的长为( 0 H 0 A.0.5米 B.0.6米 cg米 D.0.8米 6 优学嫌说的温 17.推理能力◆如图所示，在矩形ABCD中，点E 是边BC的中点，AE⊥BD,垂足为F,则 tan∠BDE的值是() 22.(2024·烟台蓬菜区期中)如图所示，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，点F在边BC上 且i∠FAC-3E为AC上一点，且AE: EC=2:1,EF⊥AF,求tan∠CFE. c n号 18.如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点 E,∠ADE=a,且c0sa=号AB=4,则AD 3 的长为 第18题图 第19题图 19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM 是BC边上的中线，in∠CAM-号，则1amB 的值为 20.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,现给 出下列结论：①mA=:®B= ③anA= 3:④anB=3.其中正确的结论 是 .(填序号) 21.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作 AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H, E.AH=2CH. (1)求sinB的值. (2)如果CD=√5，求BE的长. 一九年级下能数学，玉 7》优针学案 参考答案 L课时词] 九年级下正·数学·BS 第一章直角三角形的边角关系 DE CD B ∴.在Rt△BDE中，sinB= BD BD 1锐角三角函数 3 第1课时正切 4· 1.B2.B3.22 3.C4.A5.5 6.A7.C8.D9.C 4.解：(1)在Rt△ABC和Rt△DEF中， 10.A AB=10 m.AC=8 m.DF=12 m.EF=5 m. ∴.BC=/10-8=6(m). 1.号12.2或14 .An p EF 5 I3.解：(1)在△ABC中，，AD是BC边上的高，，，∠ADB= ∠ADC=90°.在△ADC中，，∠ADC=90°，∠C=45° e:是>高 AD=1,.DC=AD=1.在△ADB中，，∠ADB=90°， .'.tan A>tan D. sin B= 二六裙--a.六0 1 ∴甲楼梯更陡。 VAB-AD=22...BC=BD+DC=22+1. 5.B6.D7.C8.D9.C10.A11.D12.C 13.C14.号15号16专1.1+251832 (2:AE是BC边上的中线CE=号BC=E+2 19.解：(1)斜坡AB的坡度为1：2. .DE-CE-CD- ACmCm &m∠DAE-E-反-安 (2)如图所示，过点D作BC的垂线，垂足为H,交AB于 点M. 4B15,B16D17.A18号19号 20.②③④ 21.解：(1)·∠ACB=90,CD是斜边AB上的中线， ,CD=BD,.∠B=∠BCD.,AE⊥CD, .∠CAH+∠ACH=90°. .在矩形DEFG中，∠DGM=90° 又：∠ACB=90',.∠BCD+∠ACH=9O°， DG=EF=2 m.GF=DE=2.5 m. .∠BCD=∠CAH,∴.∠B=∠CAH. .∠DGM=∠BHM.:'∠DMG=∠BMH. AH=2CH,.由勾股定理，得AC■5CH, △Dcn△BMI0 …sinB=5 si∠CAH=CH:AC=1:5=5, GM=1m.∴.FM=1,5m.DM=√/G+GF=5m .BM=FM+BF=5 m. (2)”smB-5 AC:AB=1:5. 在R1△BHM中，BM=MH+BH,BH=2MH, 又：CD=5,AB=2CD=25,.AC=2. .MH=5m.DH=25m≈4.5m. 20.解：(1)w3 :∠CAH-∠B,sa∠cE-E-5 2amA-C-设B0=张，AC= 设CE=x(x>0),则AE=5x,则x+22=(5x)3, 解得x=1,即CE=1. AC k4 ∴eotA=BC-3k3 在Rt△ABC中，由AC+BC=AB, 求得BC=4..BE=BC一CE=3. 21.解：(1)CD⊥OM.根据旋转的性质，可得(C=(OD, 22.解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,如图所示. ∠ODM=∠(XM=90°，又(OM是公共边，，.△COM≌ △DOM(HL.)..∠COM=∠DOM.∴.MC=MD.又 OC=OD,.OM垂直平分CD,即CD⊥OM. (2)由1)知∠C0M=∠D0M,∠COM=90°-e 2 在R△COM中，CM=OC·tan∠COM=m·am2 90°-a EF⊥AF,sim∠FAC= :OD与OM不能重合，且只能在OC右边，∴a的取值范围 3 是0°<a<90, ÷在R△AEF中，sin∠FAC=EE=】 AE3 第2课时正弦和余弦 .设EF=k,AE=3k, 1.B 由勾股定理得AF=√AE一EF=2√2k 2.解：过点D作DE⊥AB于点E,如图所示.：AD是∠BAC EF⊥AF,CH⊥AF, 的平分线， .DE=DC. .EF∥CH, ,AF:FH=AE:EC=2:1,∠CFE=∠HCF, 22k:FH=2:1. ∴.BD=√AB-AD=6. ∴.FH=2k, (2)BC=8,BD=6, ..AH-AF+FH-32k. .CD=BC-BD-2. 'EF∥CH, 在R:△ACD中，E为斜边AC的中点， .△AEF∽△ACH, ED-EC-AC. .AF AH-EFCH. ∴.∠C=∠EDC, ,22k:32k=k:CH ,CH=1.5k m∠Ec-mc-0-g-4 在△CFH中，m∠HCF铝-2号， 即∠EDC的正切值为4， 13.B tan∠CFE=tan∠HCF=2E 3 专题一 求锐角三角函数的 四种常用方法 15.解：0：mB-子可设AC=3,则BC-任 在R△ABC中，由勾殷股定理，得(3.x)+(4x)=5, 1.B2.C 解得x1=一1（舍去），x:=1, 3.解：(1)在Rt△ABC中，：∠C=90,AC=2,AB=3, .AC=3,BC=4.,BD=1,.CD=3. .BC=VAB-AC=√3-2=5 在R△ACD中，∴AD=√CD+AC=32. (2)在Rt△ABC中，，∠C=90°，AB=3,BC=5, (2)解法1：如图①所示，过点D作DE⊥AB于点E, 加4-船-5 :anB=子，可设DE=3y,则BE=4 4.解：在Rt△BCD中，，CD=3,BD=5, 在Rt△BDE中， ∴.BC=BD-CD=5-3=4. 由勾股定理，得(3y)+(4y)2=1, 又AC=AD+CD=8, 解得=一号窗去)-号D优-是 ∴AB=√AC+BC=8+下=45， DE BC 45 nA455oA-ABW6方， '.sin a-AD 10' BC 4 1 tan A-AC-82 5.B 6.22 E 7.解：如图所示，过点B作BF⊥AC于点F,则∠AFB B ∠BFC=90 D ① 解法2：如图②所示，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于 点E BF 12 在R△BFC中，anC=CF=亏 设BF=12k(k≠0)，则CF=5k,由勾股定理，得(12)十 (5k)°=21， B 解得太-得（负数合去.测F-得CF- 10564 .∠BED=90°，∴.∠BED=∠ACD 父AC=13.AF=13-g=3 :∠BDE与∠CDA是对顶角， 在Rt△AFB中，由勾股定理，得 .∠BDE=∠CDA,.△BDE∽△ADC, AB=√)+() =20. 腰 .在R△ACD中，∠C=90°，AD=32, 252 在R△AFB中，sinA=AB=20-6 BF1363 A、.BE=GBE=2,∠BED=9O, 2 8c910A1. BE2√2 ∴sina= AB=5=10 12.解：(1)，AD⊥BC, ·△ABD和△ACD是直角三角形. 230°，45°，60°角的三角函数值 在R△ABD中，mB=号AD=8 1.C2.B 2× 品台 3.解：1)2cos30°-sin30 tan260°-4cos45 3-4x号-28 .AB=10,