27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1，2-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（人教版 河北专用）

第2课时 相似三角形的判定定理1,2（答案P10) 通基础 知识2运用两边成比例且夹角相等判定两 三角形相似 知识点1运用三边成比例判定两三角形相似 5.能判定△ABC和△A'B'C'相似的条 1.教材P33例1变式有甲、乙两个三角形木框，甲 件是( 三角形木框的三边长分别为1，√2,5，乙三角 AB AC 形木框的三边长分别为5,5,10，则甲、乙两 A.AB-AC 个三角形木框( B.AB_A'B' AC=AC且∠A=∠C A.一定相似 AB BC B.一定不相似 CAB-A且∠B=∠A C.不一定相似 AB AC D.无法判断是否相似 D.AB-AC且∠B=∠B 2.(2024·武威凉州区一模)如图所示，小正方形 6.应用意识如图所示，在△ABC中，P,Q分别 的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与 △ABC相似的是( 为AB,AC边上的点，且装足C-8根紧 上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接PQ,则PQ∥BC. 淇淇说：△AQP∽△ABC. 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的 是( A.两人都正确 B.两人都错误 C.嘉嘉正确，淇淇错误 3.若△ABC的每条边长增加各自的20%得 D.嘉嘉错误，淇淇正确 △A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的 7.推理能力◆如图所示，点D,E分别在△ABC 度数相比() A.增加了20% B.减少了20% 的边A,CA的延长线上，且能2连接 C.增加了(1+20%) D.没有改变 DE,下列判断： 4.运算能力◆如图所示，在△ABC和△ADE中， ①DE∥BC:②∠D=∠B;③∠E=∠B.其中 AD=DE=AE·∠BAE=80°，∠DAC AB BC AC 正确的是( 2∠DAB.求∠CAE的度数. A.①② B.①③ C.只有③ D.①②③ 36 优十学潘课阴漫 8.如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，D,D'分 02 腿ABAg上的点把招当品瓷 ADAD'、 A AB时，求证：△ABC∽△AB'C' 第11题图 第12题图 12.几何直观如图所示，四边形ABCD的对角 线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成 ①，②，③，④四个三角形，若OA:OC= OB:OD,则下列结论一定正确的是() A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 13.如图所示，A,B,C,D,E,G,H,M,N都是 方格中的格点（即小正方形的顶点），要使 △DEF与△ABC相似，则点F应是G,H, M,N中的( D:- 播三忽略“共角的条件” A 9.如图所示，在三角形纸片ABC中，AB=9, f..fe.f-.r... E-- AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三 角形与△ABC相似的是( A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M 14知圈所示如果答--S那么∠BC ,∠ADC= :如果AC 通能力 平分∠BAD,AB=6,AD=4,则当AC= 时，△ABC∽△ACD 10.数材P34练习T3变式一个三角形的三边的 长分别是3,5,7，另一个与它相似的三角形的 最长边是21，则其他两边的和是( A.19 B.17 C.24 D.21 1L.如图所示，若△DAC∽△ABC,则需满 第14题图 第15题图 足( 15.如图所示，在△ABC中，AB=8,AC=6,D A.CD2=AD·DB B.AC2=BC·CD 是AC上一点，AD=4,在AB上取一点E,使 c.co-be CD BC A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则 D.DA-AC AE的长为 一九洋验下带数学则河名用 37 16.运算能力如图所示，在△ABC中，AB= 通素养999993999 8cm,BC=16cm,点P从点A出发沿AB 边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点 18.如图所示，在边长为1的小正方形组成的网 B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移 格图中，△ABC和△DEF的顶点都在格点 动（有一点到达后即停止移动），如果P,Q同 上，P,Pg,P,P,,P,是△DEF边上的5个 时出发，经过几秒后，以点B,P,Q为顶点的 格点，请按要求完成下列各题， 三角形与△BAC相似？ (1)求证：△ABC为直角三角形 (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明 理由 (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P, P2,P含，P,P。中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：不写作法与证明） 17.如图所示，在△ABC中，点D,E分别在边 AB,AC上，连接DE,且AD·AB=AE·AC. (1)求证：△ADE△ACB. (2)若∠B=55°，∠ADE=75,求∠A的度数. 38 优十学潘课阴造一△EPC②音 ÷股-服-E-合iQR=2PQ又：Bp=PR 11.C12.C13.B PQ+QR=3PQ,.BP:PQ QR=3:1:2. 14.A解析：由题意得AD=4,BD=6,AB=10.DE∥AC, 1 21.解：(1)证明：过点C作CEDA,交BA的延长线于点E. EF∥AB,.四边形ADEF为平行四边形，，AF=DE EF=AD=4.:EF∥AD,∴△CEF∽△CBA,∴C F CE/DA…80-∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,.∠ACE= 5.c5=,CF=2.4,∴AF=AC-CF=6-2.4=】 ∠E.∴AE=AC,AC-AE CD .ABAB BD 3.6,,A选项不正确，符合题意：B选项正确，不符合题 (2)AD是角平分线，AC一CD AB BD 意，DE=AF=3.6,.C逃项正确，不符合题意：EF= AD■4，.D选项正确，不符合题意 AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, 15.△ADF∽△ECF(答案不唯一) 是-B0BD-5cm 35 16.3:2解析：如图所示，过点D作DG川 AC,与BF交于点G.AD=4DE, 第2课时相似三角形的判定定理1,2 .AE=3DE.AD是△ABC的中线， 1.A2.B3.D .AF AE 3DE3,B BC=2,小DG=D元=DE D 4解：铝骺-径△MBC△ADE, pAF-8DG.瓷-2-安年PC-2DG,∴APFC ·∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. .∠DAC=2∠DAB=2∠CAE, 3DG:2DG=32. ,∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=4∠CAE. 17.解：过点F作FM∥AC,交BC于点M.,F为AB的中 :∠BAE=80°，∠CAE=20 点dM为BC的中点FM=2AC.:BC=CD, 5.C6.D7.C DC ∴CM=2CD.由FM/AC,得△FMDn△ECD,DM 8证開：铝治品铝。 AD AB -Bc-号M-号xaC AE 3 3AC.A 品怨侣品品品 AC-EC_AC-TAC2 .△ADC△A'D'C', AC AC—=3 A-治-0 18.解：设墙壁与地面的交点为E,过点D作DF⊥AE,F为垂 是.∠DFA=∠BEA=90°，∴DF∥BE,.△ADFO .△ABC∽△A'B'C'. △ABE裙-距即BD-:BD=05米， 9.B10.C11.B12.B13.C AB 14.∠CAD∠ACB26 DF=1.4米，BE=1.6米，ABg5=:后÷AB= AB 15号或3解析：本题分两种情况： 4.4米.故梯子的长为4.4米 1以解：AB-C-CD,8-子S-是：BF/ DHd△MBen△MDH,B-8-:DH=16, :BM-4.同理可得CN-DH-12,GN-AE-3. ∴.CG=CN+GN=12+3=15. 、①知图①所示，DE∥BC时，△ADEO△ACB,:A5= 20.解：，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， 六BC=AD=CE,AC/DE,.△BCPn△BER,EBC CE :AB=8AC=6AD=4智-台AE-号 AD 照-距PB=PR,是-÷：c∥R ②如图②所示，：∠A=∠A, △PCQO△RDQ.:R是DE的中点，DR=RE, 当AEAD FAC-AB时，△ADED△ABC. 10 “AB=8,AC=6,AD=4,:AE=4 当DN∥AB时，△CDN△CAB, 681 当∠CDM=∠B时，△CDM∽△CBA. AE=3,蜂上所递，AE的长为写或3 这样的直线可以画4条。 10.D B 16.解：设经过t秒后，以点B,P,Q为顶点的三角形与△BAC 11.B解析：甲：，'△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°， 相似.：∠B为公共角，.要使以点B,P,Q为顶点的三角 ∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解： 形与△BAC相似，只贺-器贺-股若-号 8 ①当△ABP△PCQ时，设BP=x,则PC=15-x, 或g-告解得1=0,8或1=2经过0.8秒或2秒后， 提-器中12三芹解释=3该=12 以点B,P,Q为顶点的三角形与△BAC相似. ②@当△ABP∽△QCP时，设BP=x,则PC=15-x. 1解：证明：ADAB-AE·AC品-福 又：∠A=∠A,.△ADE∽△ACB. 综上所述，若CQ=4,在BC上存在3个点P,使△ABP与 (2)由(1)知，△ADE△ACB,.∠ADE=∠C. △PCQ相似，故甲错误：乙：'AP⊥PQ,∠APQ=90°， :∠ADE=75,.∠C=75.又'∠B=55,∠A= ∴.∠APB+∠CPQ=90°，又∠APB+∠BAP=90°， 180°-∠C-∠B=50. ∴∠CnQ-∠BAP,△ABPn△PCQ,六0-8， 18.解：(1)证明：根据勾股定理，得AB=25,AC=√5，BC=5, 设BP=,则PC=15-,即15”=高CQ 9 显然有AB2+AC2=BC,根据勾股定理的逆定理，得 △ABC为直角三角形. (2)△ABC和△DEF相似.理由如下：由(1)得AB=25, 5。-}'+9:--<o, 9 AC=5,BC=5,又DE=4W2,DF=22,EF=2√10. ,当x= 受时，0Q最大，且最大位为空长乙三瑰 提-品-器-是AADEF 2.1+ 2 (3)如图所示，连接PP,P,P,P,P,,则△P,PPn △ABC.PzP。=√0，P:P=2,P:P,=22,AB= 13.解：(1)在Rt△ABC中，AC=√JAB+BC=√6+8= 10(m).:∠PCQ=∠ACB,∴.分情况讨论： 25,AC=5,BC=5,. P:P:P.P:P:P.10 BC AB AC 5 D当∠PoC=∠B时，△c0Pn△CBA,则-器即 ∴.△ABCn△P,PP 40 B 1024-专解得一行 10 ②当∠PQC=∠BAC时，△C0Pn△CAB,则8器-8积.即 10。产-=0解得=号当：为智成曾时，以PQC为顶 25 8 第3课时相似三角形的判定定理3 点的三角形与△ABC相似. 1.C2.C3.B (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不A 4.∠ACP=∠B(答案不唯一) 能相等.理由如下： 5.证明：AD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠BAC=90°， 作PH⊥BC于点H,如图所示， AD⊥BC,.∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，.∠B= .PH∥AB,.△CPH∽△CAB, H Q ∠DAC.DE⊥DF,.∠EDA十∠ADF=90°.又 ∠BDE+∠EDA=90,.∠BDE=∠ADF,.△BEDC∽ 器器喂-10。pH0 6 10 △AFD.ADBD AF BE 当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时， S△Axc-S△c0=SACPO,即S△Ae=2S△ce, 6.C7.B8.10 1 9,D解析：如图所示， 5=2×6×8, 当DF∥BC时，△AFDC∽△ABC, 整理，得2一51十20=0，此时方程无实数解， 当∠ADE=∠B时，△ADEn△ABC, ∴.四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等. 11