第6章 2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

1 又OB=ZAC=OA, E是BC的中点，BE=EC. ,△ABE沿AE折叠后得到△AFE,∴.BE=EF,∠B ,∠OAB=∠OBA. ∠AFE=90°， 同理可证∠EFO'=∠FEO' ∴.EF=EC,∠EFG-90. ∴∠AOB=∠EOF.① 四边形ABCD是矩形，.∠C=∠B=90 又.OMCF,MO'∥AC, 在Rt△GFE和Rt△GCE中，，EG=EG,EF=EC, '.∠AOM=∠OCF=∠MO'F.② ∴.Rt△GFE2Rt△GCE(HL),∴.GF=GC. 由①②得∠BOM=∠MOE. (3)(2)中的结论仍然成立.理由如下： 在△BMO与△MEO'中， 如图②所示，连接FC,EG. OB=O'M, ∠BOM=∠MO'E OM-O'E, ∴，△BMO≌△MEO(SAS), .BM=ME. :E是BC的中点，∴BE=CE. ,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,,BE=EF ∠B=∠AFE, .EF=EC,.∠EFC=∠ECF :四边形ABCD为平行四边形，∠B=∠D. :∠ECD=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180°- ∠B=180°-∠D, 9 .∠ECD=∠EFG, 第2课时矩形的判定 '.∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF, 1.B2.∠BAC=90(答案不唯一) ∴.∠GFC=∠GCF,,GF=GC,即(2)中的结论仍然成立 3.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD, 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 BC∥AD. 1.C2.C3.A4.D5.1636.507.D8.A BE=DF,..BC-BE=AD-DF, 9.B10.A 即EC=AF. 11.解：(1)四边形EGFH是平行四边形 EC∥AF,EC=AF,.四边形AECF为平行四边形 (2)如图①所示，连接GH, 又·∠AEC=90°，四边形AECF是矩形. 由(1)得AG=BH,AG∥BH,∠B=90°， (2)BF平分∠ABC,.∠ABF=∠FBC .四边形ABHG是矩形， BC∥AD,.∠AFB=∠FBC, .GH=AB-6. .∠AFB=∠ABF,.AF=AB=4 ①如图①所示，当四边形EGFH是矩形时， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=4, ..EF=GH=6. ∴∠BAE=30°，BE=2,∴.FD=BE=2, AE=CF= ,AD=AF十FD=6. .EF=10-2:=6, 4A5.B6号 .1=2. 7,证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD十∠ABC 180°，∠BAD+∠ADC=180° 又：AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, ∴∠BAF+∠ABF=90, ∴∠AFB=90°，·∠EFG=90°，同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，.四边形EFGH是矩形， 8.C9.A10.B11.3 ①D 12.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ②如图②所示，当四边形EGFH是矩形时， ,AB=CD,∠ABC+∠DCB=180°. EF=GH=6,AE=CF=t, 在△ABC和△DCB中， .EF=t+t-10=2t-10=6, .AB=DC,BC=CB,AC=DB, .t=8. ,'.△ABC≌△DCB(SSS), 综上，四边形EGFH为矩形时，t=2或t=8. .∠ABC=∠DCB,.∠ABC=90°，.平行四边形ABCD (3)如图③所示，M和N分别是AD和BC的中点，连接 是矩形. AH,CG,GH,AC与GH交于点O. (2)GF=GC.证明如下： 如图①所示，连接GE, 3 四边形EGFH为菱形， .AB=2BE=2, .GH⊥EF,OG=OH,OE=OF, .DF=AE=√AB-BE=√2-1=√5， ..OA=OC,AG-AH, ∴，四边形AGCH为菱形， ∴BD=√BF+DF=√4+(W3)2=√I9. .AG=CG ∠DFB=90°，OB=OD, 设AG=CG=x,则DG=8-x, 由勾股定理，得CD+DG2-CG, oF-0-四 即62+(8-x)2=x2, 12.解：(1)四边形DEBF是矩形.证明如下： 都得：空 DE⊥AB,BF⊥DC, .∠DEB=∠BFD=90° MG=25 -4=即= :四边形ABCD是菱形，.ABCD, ∴∠DEB+∠EDF-180, ∴当：=号时，四边形EGFH为菱形. .∠EDF=∠DEB=∠BFD=90°， “,四边形DEBF是矩形 阶段检测一（1~2) (2)如图所示，连接PB. 1.B2.C3.A4.A5.A6.O是AB的中点 7.328.8cm9.12 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD CE∥BD,EB∥AC, ,四边形OCEB是平行四边形 :四边形ABCD是菱形，.AC垂直平分BD, AC⊥BD, ∴.PB=PD. ',四边形OCEB是矩形， 由(1)知，四边形DEBF是矩形，∴DE=BF=8. ..OE=CB. 设PD=BP=x,则PE=8-x, (2)由(1)知，AC⊥BD,BC-OE=2. 在Rt△PEB中，由勾股定理，得(8一x)2十42=x2, :OC:OB=1:2, 解得x=5,.DP=5. ,设OC=x,则OB=2x 3正方形的性质与判定 在R△BOC中，由勾股定理得BC=OC+OB2,即4= x2+4x2, 第1课时正方形的性质 1.B2.875或15°3.A4.A5.B6.C7.C8.C 解得工-25（负值已合）. 5 9.C10.B11.B 12.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， c0=50B-5 ∴AC⊥BD,OD=OC,∴.∠DOG=∠COE=90°， 5 :四边形ABCD是菱形， ∠OEC+∠OCE=90°. :DF⊥CE,.∠OEC+∠ODG=90°， ∴AC=45,BD=85 ∴.∠ODG=∠OCE, 5 .△COE2△DOG(ASA) 菱形ABCD的面积是号BD·AC-9 ∴.OE=OG. 1L.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， (2)如图所示，过点E作EP⊥BC于点P ∴.AB∥DC且AB=DC ∠ABE=∠DCF 在△ABE和△DCF中， AB-DC, ∠ABE=∠DCF, BE=CF, B ∴.△ABE≌△DCF(SAS), ,四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴.AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°， AE∥DF, iAC⊥BD,Bc=AB=4,0C=号AC-号AB=2E. ,四边形ADFE是平行四边形 ∠CBD=45. ∠DFC=90, CE平分∠BCO,EP⊥BC,OE⊥OC, .平行四边形ADFE是矩形. (2)由(1)知：四边形ADFE是矩形， .PC=OC=2√2， ∴.EF=AD=3. .BP=BC-PC=4-2√2. ,四边形ABCD是平行四边形， ,∠CBD=45,EP⊥BC, ..BC=AD=3,CD=AB,OB=OD, ∴△BEP是等腰直角三角形， ∴.BE=CF=BC-EC=I, ∴BE=√2BP=4√2-4. .BF=BC+CF=4. 13.解：【问题发现与证明】证明：，四边形ABCD为正方形， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°， .AD=AB,∠BAD=∠D=90°， .∠BAE=90°-∠ABE=30°， ∴.∠ADF=∠ABG=90.第3课时矩形的性质与判定的综合应用（答案P3) 通基础> 5.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, 3>3>3》2》332》>333>>3y2》>y>>2>y>》3 BD交于点O,△AOD是等边三角形，AD=4, 知识点矩形的性质与判定的综合应用 则平行四边形ABCD的面积为 1.如图所示，O为菱形ABCD的对角线的交点， DE∥AC,CE∥BD,若AC=6,BD=8,则线 段OE的长为( A.3 B.√5 C.5 D.6 6.几何直观为了让学生更直观地认识等腰直 角三角形，林老师制作了一个等腰直角三角形 教具，课余时间他把教具挂在墙上，如图所示， 教具Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点 第1题图 第2题图 A,B,C位于同一平面内，这三个顶点到地面 2.如图所示，在等腰直角△ABC中，AB=BC, 的距离分别为AF=175cm,BE=145cm 点D是△ABC内部一点，DE⊥BC,DFL CG=135cm,则AB的长为 cm AB,垂足分别为E,F,若CE=3DE,5DF= 3AF,DE=2.5,则AF=( ) A.8 B.10 C.12.5D.15 3.如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分 别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的 延长线于点E.若∠A=30°，BC=2,AF= 稀未能准确掌握矩形的性质与判定 BF,则四边形BCDE的面积是( 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，E,F分别 A.23B.22 C.33 D.32 为边AB,CD的中点，BD是对角线，AG∥DB 且AG=DB,交CB的延长线于G,连接GF, 若AD⊥BD.有下列结论：①DE∥BF;②四边 形ADBG是矩形：③FG=AB:④S△BG= 第3题图 第4题图 4.教材P17练习T2变式◆如图所示，直线AB∥ 4S华行网边影AD.其中正确的是( CD,EG平分∠AEF,EH⊥GE,且平移EH 恰好到GF,则下列结论：①EH平分∠BEF: ②EG=HF:③FH平分∠EFD: ④∠GFH=90°.其中一定正确的结论 有( A.①②③④ B.①② A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C.①③ D.①②④ 12 优十学播课阴温一 通能力 通素养 8.如图所示，在四边形ABCD中，以对角线AC 11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC= 为斜边作Rt△ACE,连接BE,DE,BE⊥DE 8,E,F是对角线AC上的两个动点，分别从 AC,BD互相平分.若2AB=BC=4,则BD A,C同时出发相向而行，速度均为每秒1个 的值为( 单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. A.25 B.5 C.3 D.4 (1)若G,H分别是AD,BC的中点，则四边 形EGFH一定是怎样的四边形(E,F相遇 时除外)？ 答： (直接填空，不用说理) (2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形， 第8题图 第9题图 求t的值。 9.(2024·北京朝阳区期中)如图所示，在矩形 (3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P为 点运动，且与点E,F以相同的速度同时出 边AD上一点，过点P分别作PE⊥AC, 发，若四边形EGFH为菱形，求t的值. PF⊥BD,垂足为点E,F,过点A作AH⊥ BD,垂足为点H,若知道△APE与△DPE 的周长和，则一定能求出( A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 10.(2024·聊城东昌府区期末)如图所示，在锐 角△ABC中，延长BC到点D,点O是AC 边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC, MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E, F两点，连接AE,AF,在下列结论中： ①OE=OF; ②CE=CF; ③若CE=12,CF=5,则OC的长为6： ④当AO=CO时，四边形AECF是矩形 其中正确的是( A.①④ B.①② C.①②③ D.②③④ 一八年验下街于数学曲我圆 13》