第6章 2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

2矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质（答案P2) 通基础 5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,E为OB上一点，连接AE,CE,F 知识点1钟矩形的定义 为CE的中点，连接OF,若∠AEO=90°， 1.下列说法不正确的是( OE=3,OF=2,则AO的长为 A.矩形是平行四边形 B.平行四边形具有的性质矩形都有 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 6.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 知识点2矩形边、角的性质 相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上，且 2.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD DE=CF,连接OE,OF 相交于点O,AE⊥BD交BD于点E, 求证：OE=OF. ∠AOB=110°，则∠DAE的度数为() A.40 B.35 C.30° D.25 第2题图 第3题图 3.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相 交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,如 果∠CAE=15°，那么∠BOE的度数为( 知识点4直角三角形斜边上的中线的性质 A.55 B.65 7.如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D,点 C.75 D.67.5 E是AC的中点，若AD=6,DE=5,则CD的 知识点3矩形对角线的性质 长为 4.(2024·甘肃中考)如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABD= 60°，AB=2,则AC的长为()》 第7题图 第8题图 8.(2024·武汉砾口区期末)如图所示，在四边形 AECD中，∠EAD=90°，AD∥EC,F为DE A.6 B.5 的中点，∠DEC=25°，则∠FAD的大 C.4 D.3 小是 优十学编课阴通一 辑固未熟练掌握矩形的性质 通素养 9.如图所示，矩形ABCD的对 13.(2024·淄博淄川区期末)已知矩形EFGC 角线AC,BD交于点O, (如图①所示)的一边EC和对角线CF分别 AB⊥BC,AB=3,BC=4, 与矩形ABCD的对角线AC及边BC重合. 过点O作OE⊥AC,交AD B 连接AF,取AF的中点为M,连接 于点E,过点E作EF⊥BD于点F,则OE十 BM,EM. EF的值为( A告 号 c号 (1)求证：MB=ME. 6 (2)如图②所示，若将(1)中的矩形EFGC绕 着点C旋转一定的角度，其他条件不变，你认 通能力 为(1)中的结论是否还成立？若成立，请证 10.如图所示，在△ABC中，点D,E分别是AB, 明；若不成立，请说明理由。 AC的中点，AC=12,F是DE上一点，连接 AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°，则BC的 长度为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 第10题图 第11题图 11.(2024·唐山丰润区模拟)如图所示，直线a∥ b,线段AB和矩形CDEF在直线a,b之间， 点A,E分别在a,b上，点B,C,F在同一直 线上.若∠a=80°，∠3=55°，则∠ABC =() A.130°B.135° C.140° D.1509 12.如图所示，将矩形ABCD沿对角线AC折 叠，点B的对应点为点E,AE与CD交于 点F (1)求证：△DAF≌△ECF (2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数. 一八件级卡带数学●数明过点H作HE⊥CG于点E,如图所示. 10,解：【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【探究提升】，MV∥EF,NE∥MF,.四边形EFMN是平 行四边形。 ND I C ∠B=∠FEH,∴.NE∥AB. 1 15× 又AN∥BE,.四边形ABEN是平行四边形， :S6m=2CH·GH=2CG·HE.GG·HE= ,EF=AB=NE,∴平行四边形EFMN是菱形. 4=30. 【结论应用】，平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移， '四边形MKGA的面积=AG·HE,AG=CG, MD∥GP,PD∥MG, .四边形MKGA的面积=CG·HE=30. ∴四边形MNHG,CDMF,PGMD均为平行四边形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 MD=MG,,平行四边形PGMD是菱形. 1.c2号3N4D :四边形EFMN是菱形，.四边形ECPH是菱形。 四边形ECPH的周长为40，.EH=GF=1O. 5.解：(1)证明：，AB=AD,.∠ABD=∠ADB. 过点G作GQ⊥BC于点Q,如图所示. 又：∠ABD=∠CBD,.∠ADB=∠CBD, ∴.AD∥BC. 又：AB∥CD,.四边形ABCD为平行四边形 又，AB=AD,∴.四边形ABCD为菱形 (2)如图所示，连接AC 由题意，得G示5' GQ 4 ∴GQ=8,.四边形ECPH的面积为10×8=80. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 :四边形ABCD为菱形，.AB=BC L.C2.B3.C4.C5.5 6.证明：：四边形ABCD为矩形， 又BE=号AB,BE=言CCE=号BC ∴∠ADC=∠BCD=9O°，AC=BD. CE=4...BE=2.AB=BC=6. ,AE⊥BC..∠AEB=∠AEC=90°. OD-BD.C-TAC. ∴.AE=√AB-BE=6-2=42,.AC= .OD=OC,.∠ODC=∠OCD ∴.∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD. AE+CE=√(42)2+4=45. 即∠EDO=∠FO.又，DE=CF, “菱形ACD的面积=AC·BD=BC·AE, .△ODE≌△OCF(SAS),.OE=OF 7.88.25°9.C10.C11.B .BD-2BC AE_2X6X4. 12.解：(1)证明：，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，，AD= AC 4w3 BC=EC.∠D=∠B=∠E=90°. 6.C7.B8.C 在△DAF和△ECF中， 9.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， |∠DFA=∠EFC. ∴AB=BC=CD=DA, ∠D=∠E, .∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB. DA=EC. AB=AD. ∴.△DAF≌△ECF(AAS) .∠ABD=∠ADB, (2)△DAF≌△ECF,.∠DAF=∠ECF=40" .∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB, ∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF. 四边形ABCD是矩形，·∠DAB=90°， BE=DF,.△ABE≌△CBE(SAS). ∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40'=50. .AE=CE. ∠EAC=∠CAB,∴.∠CAB=25 同理：AE=AF,CE=CF, 13.解：(1)证明：如图①所示 .AE=CE=CF=AF ·四边形ABCD是矩形，四边形EFGC是矩形 .四边形AECF是菱形. .∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF (2)如图所示，连接AC,交EF于点O. M为AF的中点， ,四边形AECF是菱形，周长为80em,EF=32cm, ..AE=20 em.OE=OF=16 em.AC LEF, .MB-1 F.ME-TAF, .OB=OE-BE=16-7=9(cm),∠AOB=90°， ..MB-ME. .OA=/AE-(OE=√20-16=12(cm), (2)若将(1)中的矩形EFGC绕若点C旋转一定的角度，其 他条件不变，则(1)中的结论还成立 ∴.AB=√OA+OB=√12+9=15(cm). 证明：如图②所示.设大小矩形的中心分别为0，O',连接 即AB的长为15cm. BD.OM.MO'.EG. M,O'分别为AF,CF的中点， ÷M0=号AC=0B,同理E0=号CF=OM. ,∠ACB=∠ECF, .∠OAB=∠EFO', 又：0B=号AC=OA. E是BC的中点.BE=EC. ,△ABE沿AE折叠后得到△AFE,·BE=EF,∠B .∠0AB=∠(OBA. ∠AFE=90°， 同理可证∠EFO=∠FEO ∴EF=EC,∠EFG=90, .∠AOB=∠EOF.① 四边形ABCD是矩形，∴.∠C=∠B=90° 又，OMCF,MO'∥AC, 在Rt△GFE和Rt△GCE中，'EG=EG,EF=EC, .∠AOM-∠OCF-∠MO'F.② .R1△GFE≌R△GCE(Hl),.GF=GC. 由①@得∠BOM=∠MOE. (3)(2)中的结论仍然成立.理由如下： 在△BMO与△MEO'中， 如图②所示，连接FC,EG, OB=O'M. ∠BOM=∠MO'E OM-O'E. ∴.△BMO≌△MEO'(SAS), ∴.BM=ME 2 E是BC的中点，∴BE=CE 0.- 将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,,.BE=EF, ∠B=∠AFE. ,,EF=EC,.∠EFC=∠ECF :四边形ABCD为平行四边形.∴∠B=∠D :∠ECD=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180° ∠B=180°-∠D, ∠ECD=∠EFG 第2课时矩形的判定 ,,∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠EG-∠ECF=∠GCF, 1.B2.∠BAC=90(答案不唯一) ∴∠GFC=∠GCF.∴.GF=GC,即(2)中的结论仍然成立. 3.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD, 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 BC∥AD L.C2.C3.A4.D5.1636.507.D8.A 又BE=DF,.BC一BE=AD一DF, 9.B10.A 即EC=AF. 1L.解：(1)四边形EGFH是平行四边形 EC∥AF,EC=AF,∴，四边形AECF为平行四边形. (2)如图①示，连接GH, 又，∠AEC=90°，∴，四边形AECF是矩形. 由(1)得AG=BH,AG∥BH,∠B=90°. (2)BF平分∠ABC,∠ABF=∠FBC ,四边形ABHG是矩形， BC∥AD,∴∠AFB=∠FBC, ,.GH=AB=6. ∴.∠AFB=∠ABF,∴.AF=AB=4. ①如图①所示，当四边形GFH是矩形时， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=4, .EF=GH-6. .∠BAE=30°，∴.BE=2,FD=BE=2, AE=CF=I .AD=AF+FD=6. ,.EF=10-21=6, 4A5B6号 .1=2. 7.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BAD+∠ABC= 180°.∠BAD+∠ADC=180°. 又'AE平分∠BAD,BF平分∠ABC .∠BAF+∠ABF=90°， ∴.∠AFB=90°，÷∠EFG=90°，同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90”,∴.四边形EFGH是矩形 H 8.C9.A10.B11.3 ① 2 12.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ②如图②所示，当四边形GFH是矩形时， .AB=CD,∠ABC+∠DCB=180° .EF=GH=6.AE=CF=t 在△ABC和△DCB中. ∴EF=1+1-10-21-10=6, .AB-DC.BC-CB.AC=DB, ,1=8. '.△ABC≌△DCB(SSS). 综上，四边形EGFH为矩形时，1=2或t=8。 '.∠ABC=∠DCB,.∠ABC=90°，.平行四边形ABCD (3)如图③所示，M和V分别是AD和BC的中点，连接 是矩形， AH,CG,GH,AC与GH交于点O. (2)GF=GC,证明如下： 如图①所示，连接GE, 3