第6章 1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

第2课时 菱形的判定（答案P1) 通基础 之间的距离为12cm,点B,D之间的距离为 16cm,则线段AB的长为( 知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，延长 BA到点E,使AE=AB,连接ED,EC,AC 添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形 的是() A.9.6 cm B.10 cm A.AB=AD B.AB=ED C.20 cm D.12 cm C.CD=AE D.EC=AD 知识点4菱形判定方法的综合应用 5.下列说法正确的是( A.四条边都相等的四边形是菱形 第1题图 第2题图 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 菱形 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 2.如图所示，在△ABC中，点D是BC的中点， D.对角线互相平分的四边形是菱形 点E,F分别在线段AD及其延长线上，DE 6.已知平行四边形ABCD,下列条件：①AC⊥山 DF,在下列条件中，使四边形BECF是菱形 BD:②∠BAD=90°：③AB=BC;④AC= 的是() BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形 A.EB⊥EC B.AB⊥AC 的是( C.AB=AC D.BF∥CE A.①③ B.②③ 3.推理能力如图所示，在口ABCD中，E,F分 C.③④ D.①②③ 别是AD,BC上的点，且DE=BF,AC⊥EF 求证：四边形AECF是菱形. 圈固菱形的判定方法未熟练掌握 7.(2024·石家庄模拟)如图所示，在□ABCD 中，AD>AB,∠ABC为锐角，将△ABC沿对 角线AC边平移，得到△A'B'C',连接AB'和 CD,若使四边形AB'C'D是菱形，需添加一 个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB'= DC;乙方案：BD⊥AC';丙方案：∠A'C'B'= ∠A'CD.其中正确的方案是( A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 知识点3四条边都相等的四边形是菱形 C.只有甲、乙 4.如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起， D.只有甲 重叠的部分为四边形ABCD,若测得点A,C BB 优学课时通 通能力 通素养 8.教材P11习题6.3T4变式)如图所示，在四边 11.新情境问题情境：如图①所示，在△ABC 形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BD, 中，AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上 CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形， 的中线.如图②所示，将△ABC的两个顶点 则四边形ABCD只需要满足一个条件 B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合， 是() 折痕分别交AB,AC,BC于点E,G,F,H. A.AB=CD B.AC⊥BD C.对角线AC=BD D.AD=BC 3 D 猜想证明： (1)如图②所示，试判断四边形AEDG的形 状，并说明理由 问题解决： 第8题图 第9题图 (2)如图③所示，将图②中左侧折叠的三角形 9.如图所示，在□ABCD中，BC的垂直平分线 展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点 EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE, H重合，折痕分别交AB,BC于点M,N, CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于 BM的对应线段交DG于点K,求四边形 点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形 MKGA的面积. BFCE的面积为 10.(2024·青岛胶州模拟)如图所示，在△ABC 中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点 A作AF∥BC,AF与CE的延长线相交于点 F,连接BF. (1)求证：△AEF≌△DEC (2)当△ABC满足什么条件时，四边形 AFBD是菱形？请说明理由， 一八生级卡形数学意置暖 5优针学案 参考答案 L课时词] 八年级·下班，数学·就版 第六章特殊平行四边形 第2课时菱形的判定 1菱形的性质与判定 1.B2.C 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 第1课时菱形的性质 AD=BC,AD∥BC.'DE=BF, 1.D2.B3.(3.-5)4.B5.C6.D7.D ∴.AE=CF.又：AE/CF,.四边形AECF是平行四边形. 8.c9.D10.1211.13 AC⊥EF,.平行四边形AECF是菱形 12.4-22或22或2√10 4.B5.A6.A7.B8.D9.24 13.解：(1)证期：四边形ABCD是菱形， 10.解：(1)证明：E为AD的中点，D为BC的中点， ∴AB=CD,AB∥CD ..AE=DE.BD=CD. 又BE=AB. AF∥BC, .BE=CD,BE∥CD, .∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE 四边形BECD是平行四边形， 在△AEF和△DEC中， ∴.BD=EC. |∠AFE=∠DCE, (2)四边形BECD是平行四边形， ∠FAE=∠CDE, AE-DE. ∴.BDCE, .△AEF≌△DEC(AAS) .∠AB0=∠E=50 (2)当△ABC满足条件∠BAC=90时，四边形AFBD是菱 又，四边形ABCD是菱形， 形，理由： .AC⊥BD.∠BOA=90°， :△AEF2△DEC .∠BAO=90°-∠AB0=40 AF=CD,∴，AF=BD 14.解：(1)证明：连接C下，如图所示.：FG垂直平分CE, AF∥BD,∴.四边形AFBD为平行四边形. ∴CF=EF, :∠BAC=90°，D是BC的中点， ,四边形ABCD为菱形， ,A和C关于对角线BD对称 AD-号C=BD. ..CF=AF...AF=EF. 又：四边形AFBD为平行四边形， (2)连接AC,如图所示，M和N分别是AE和EF的中 .四边形AFBD为菱形」 点，点G为CE的中点， 11解：(1)四边形AEDG是菱形，理由如下： .MN=- AF,NG=2CF,即MN+NG= 2(AF+ 在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线， CF). ADLBC.BD-CD-C. 当点F与菱形ABCD对角线的交点O重合时，AF+CF最 将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与 小，即此时MN+NG最小. 点D重合， ,菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°， ∴EF⊥BC,GH⊥BC,BE=DE,CG=DG,BF=FD= ,△ABC为等边三角形，.AC=AB=1, BD.CH-DH-CD. 即MN+NG的最小值为 21 ,EF∥AD,EF为△ABD的中位线，BE=AE 2AB, 同法可得：GG=AG-立ACAE=DE,AG=DG. :AB=AC,∴AE=DE=DG=AG,∴.四边形AEDG是 菱形. (3)不变.理由：延长EF,交DC于点H,如图所示 (2)由折叠的性质，得∠GDC=∠C,∠MHB=∠B. '∠CFH=∠FCE+∠FEC,∠AFH=∠FAE+∠FEA, AB=AC..∠B=∠C,.∠GDC=∠B, '.∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA ∠MHB=∠C. 点F在菱形ABCD的对角线BD上，·根据菱形的对称 ∴MH∥AC,DG∥AB,,四边形AMKG为平行四边形. 1 性可得：∠AFD=∠CFD=2∠AFC. AB=AC=17,BC=30, AF=CF=EF. 由D知BD=CD=号 Bc=15,DH=CH=CD=5。 2 ∴.∠AEF=∠EAF,∠FEC=∠FCE, 17 .∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF, DG-AG-7AC-2 ∴.∠ABF=∠CEF. :∠ABC=60°，∴∠CEF=∠ABF=30°，为定值. GH=√)-(=4 过点H作HE⊥CG于点E,如图所示. 10,解：【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【探究提升】，MV∥EF,NE∥MF,.四边形EFMN是平 行四边形。 ND I C ∠B=∠FEH,∴.NE∥AB. 1 15× 又AN∥BE,.四边形ABEN是平行四边形， :S6m=2CH·GH=2CG·HE.GG·HE= ,EF=AB=NE,∴平行四边形EFMN是菱形. 4=30. 【结论应用】，平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移， '四边形MKGA的面积=AG·HE,AG=CG, MD∥GP,PD∥MG, .四边形MKGA的面积=CG·HE=30. ∴四边形MNHG,CDMF,PGMD均为平行四边形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 MD=MG,,平行四边形PGMD是菱形. 1.c2号3N4D :四边形EFMN是菱形，.四边形ECPH是菱形。 四边形ECPH的周长为40，.EH=GF=1O. 5.解：(1)证明：，AB=AD,.∠ABD=∠ADB. 过点G作GQ⊥BC于点Q,如图所示. 又：∠ABD=∠CBD,.∠ADB=∠CBD, ∴.AD∥BC. 又：AB∥CD,.四边形ABCD为平行四边形 又，AB=AD,∴.四边形ABCD为菱形 (2)如图所示，连接AC 由题意，得G示5' GQ 4 ∴GQ=8,.四边形ECPH的面积为10×8=80. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 :四边形ABCD为菱形，.AB=BC L.C2.B3.C4.C5.5 6.证明：：四边形ABCD为矩形， 又BE=号AB,BE=言CCE=号BC ∴∠ADC=∠BCD=9O°，AC=BD. CE=4...BE=2.AB=BC=6. ,AE⊥BC..∠AEB=∠AEC=90°. OD-BD.C-TAC. ∴.AE=√AB-BE=6-2=42,.AC= .OD=OC,.∠ODC=∠OCD ∴.∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD. AE+CE=√(42)2+4=45. 即∠EDO=∠FO.又，DE=CF, “菱形ACD的面积=AC·BD=BC·AE, .△ODE≌△OCF(SAS),.OE=OF 7.88.25°9.C10.C11.B .BD-2BC AE_2X6X4. 12.解：(1)证明：，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，，AD= AC 4w3 BC=EC.∠D=∠B=∠E=90°. 6.C7.B8.C 在△DAF和△ECF中， 9.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， |∠DFA=∠EFC. ∴AB=BC=CD=DA, ∠D=∠E, .∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB. DA=EC. AB=AD. ∴.△DAF≌△ECF(AAS) .∠ABD=∠ADB, (2)△DAF≌△ECF,.∠DAF=∠ECF=40" .∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB, ∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF. 四边形ABCD是矩形，·∠DAB=90°， BE=DF,.△ABE≌△CBE(SAS). ∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40'=50. .AE=CE. ∠EAC=∠CAB,∴.∠CAB=25 同理：AE=AF,CE=CF, 13.解：(1)证明：如图①所示 .AE=CE=CF=AF ·四边形ABCD是矩形，四边形EFGC是矩形 .四边形AECF是菱形. .∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF (2)如图所示，连接AC,交EF于点O. M为AF的中点， ,四边形AECF是菱形，周长为80em,EF=32cm, ..AE=20 em.OE=OF=16 em.AC LEF, .MB-1 F.ME-TAF, .OB=OE-BE=16-7=9(cm),∠AOB=90°， ..MB-ME. .OA=/AE-(OE=√20-16=12(cm), (2)若将(1)中的矩形EFGC绕若点C旋转一定的角度，其 他条件不变，则(1)中的结论还成立 ∴.AB=√OA+OB=√12+9=15(cm). 证明：如图②所示.设大小矩形的中心分别为0，O',连接 即AB的长为15cm. BD.OM.MO'.EG. M,O'分别为AF,CF的中点， ÷M0=号AC=0B,同理E0=号CF=OM. ,∠ACB=∠ECF, .∠OAB=∠EFO',