第17章 专题二应用勾股定理解决最短路径问题&17.2 勾股定理的逆定理-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版 河北专用）

专题二应用勾股定理解决最短 .△ACB是直角三角形， 路径问题 ∠A=90° ,DE垂直平分BC, 1.3√/32.2√22/10+223.B4.17dm5.20 ∴.D=DB, 6.解：(1)如图①所示，将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同 设DC=DB=x, 一平面内，连接AC,两点之间线段最短，AC,是最短路径， 则AD=8一x. 则AC,=√AC+CC,=√(5+5)+5=55(cm).所以 在Rt△ABD中，∠A=90°，AB2+AD°=BD, 最短路程为5√5cm. D C 即6+8-x产=r,解得-草周CD-孕 4 18.解：(1)△ACD为等腰直角三角形.理由如下： ,在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,AC=V/AB+BC B 10,∴，AC=CD=10.,102+102=200=(102)2,即AC+ CD=AD,∴∠ACD=90.∴.△ACD为等腰直角三角形. (2)如图所示，过点D作DE⊥ BC,交BC的延长线于点E, 则∠E= ∠ABC B B ①D ②2 3 ∠ACD=90°， (2)分两种情况讨论： .∠BAC+∠ACB=∠ACBH ①如图②所示，将正四棱柱的右侧面翻折，使它与前面在同一 ∠LDCE=90°， 平面内，连接AC, .∠DCE=∠BAC 两点之间线段最短，AC是最短路径， 又，'AC=CD,.△CED≌△ABC(AAS), ..CE=AB=6.DE=CB=8...BE=BC+CE=14. 则AC,=√/AC+CCT=√10+6=√136(m) ②如图③所示，将正四棱柱的上面翻折，使它与前面在同一平 ∴.BD=√BE+DE=2√65. 面内，连接AC,, 19.解：DC2+AD3=402+302=2500=AC2, 两点之间线段最短，AC,是最短路径， .△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°..∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理， 则AC1=√/AB+BC=√5+11=√146(cm. 得BD=AB°-AD=342-302=256, 因为√146>√136.所以最短路程为√/136cm.即最短路程 .BD=16m,.BC=DC+BD=40+16=56(m) 为2√/34cm. 即这栋楼的高度为56m 17.2勾股定理的逆定理 20.解：(1)海港C受台风影响. 1.D2.B3.A4.A5.32 理由：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D 6.解：(1)证明：：BD2+DC2=62+82=100.BC=102=100. C .BD+DC=BC..∠BDC=90°， ,△BDC是直角三角形. (2).∠BDC=90°，.∠ADC=90°， 在R:△ADC中，由勾股定理得AD2十CD=AC, A E D F B .CD=8 cm,BD=6 cm, 因为AC=300km,BC=400km,AB=500km: AB=AC=AD+BD=AD+6.AD+8=(AD+6). 所以AC+BC:=AB2,所以△ABC是直角三角形. 解得AD= 3cm.AC-AD+6-25 3 cm. 所以AC×BC=CDXAB,所以300×400=500×CD, 7.A8.17、144.1459.A10.C 所以CD-300×400 500 =240(km), 11.解：如图所示，连接AC 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，所 由勾股定理，得AC=√AD+CD=5. 以海港C受到台风影响， 又，AC2+BC=52十12=13=AB, (2)当EC=250km,FC=250km时，正好影响C海港，因 ∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=S一SA= 为ED=√EC-CD=70(km).所以EF=140km 1 2×3×4=24(平方米)】 因为台风中心移动的速度为20kmh: 所以140÷20=7（小时）. 即台风影响海港C持续的时间为7小时。 专题三勾股定理与折叠 1.4 2.解：在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,则AB=√6+8=10 2C13A4.4515.四16 由折叠的性质可知 2 CD=DE,AC=AE=6,∠C=∠AED=∠BED=90°， 17.解：如图所示.连接DB. .BE=AB-AE=10-6=4. 在△ACB中，AB+AC=6+8=100, 设BD=r,则CD=DE=8一x. BC2=102=100, 在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE,∴.x2=(8一x)2十，解 AB十AC”=BC2, 得x=5,∴.BD=5.专题二) 应用勾股定理解决最短路径问题(答案P6) 平面图形上的最短路径 出类型1 5.如图所示,正四梭杜的底面边长为8cm,侧核 1.如图所示,在等边△ABC中,AD是BAC的 长为12cm,一只蚂蚁欲从点A处出发,沿梭 平分线,P是AD上一点,E为AC的中点,连 柱表面到点B处吃食物,那么它所爬行的最 短路径是 接PC,PE,若AB=6,则PC十PE的最小值 cm. 是 一将来 12cm 6.张老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬路程最短” 的课题研究时设计了以下两个问题,请你根据 。 第1题图 第2题图 下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最 短路程的长 2.如图所示,网格纸上每个小正方形的边长为 1.点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一 ## 点,则AC一 ,△PAC周长的最小 值为 ② 类型2 立体图形上的最短路径 (1)如图①所示,正方体的梭长为5cm,一只 3.如图所示,一圆柱高BC为20cm,底面周长是 蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体 10cm,一只蚂蚁从点A处爬到点P处觅食; 表面爬到点C处. ) (2)如图②所示,正四梭柱的底面边长为5cm A.20cm B.13cm 校长为6cm,一只蚂蚁欲从正四校柱底面上 C.14cm D. 18cm 的点A处沿着校柱表面爬到点C处 3dm. B 2dm 8dn 第3题图 第4题图 4. 空间观念如图所示,三级台阶,每一级的长、 宽、高分别为8dm,3dm,2dm.A和B是这 个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂 蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着 台阶面爬行到点B的最短路程为 17.2 勾股定理的逆定理(答案P6) #通基础 CD-8cm,BD-6cm. (1)求证:入BDC是首角三角形 知识点1 互逆命题与互逆定理 (2)求AC的长 1.下列说法正确的是( ) A.真命题的逆命题是真命题 B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假 命题 C.任何一个定理一定有逆定理 D.任何一个命题一定有逆命题 2.下列命题中,其逆命题是真命题的是 ) A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17 知识点3 勾股数 B.直角三角形的三条边的比是3:4:5 7.下列各组数是勾股数的一组是( ) C.全等三角形的面积相等 A.18.24,30 B.3{,4②,52} D.若x-1,则x-1 C.1.5.2.2.5 D.③./47 知识点2 勾股定理的逆定理 8. 推理能力观察;①3、4、5,②5、12、13,③7、24 3. 数材P32例1变式已知a,b,c分别为 25....,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且 △ABC的三边长,则符合下列条件的△ABC 从3起就没断过,根据以上规律,请写出第8 是直角三角形的有( ) 组勾股数: (1)- 知识点4 勾股定理的逆定理的实际应用 (2)-(十c)(-c); 9. 数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作 (3) A:B:C-3:4:5 《数书九章》里记载这样一道题:“问有沙田一 (4)a-7,b-24,c-25; 块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜 (5)a-2,b-2.c-4. 十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一 A.2个 B.3个 块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里, C.4个 D.5个 13里,则该沙田的面积为( )平方里. C.60 4.在△ABC中,A,B,C的对边a,b, A.30 B.50 D.65 满足(a十b)(a-b)一c2,则( 10. 应用意识两艘轮船从同一港口同时出发,甲 A.乙A-90* B.B-90* 船时速40海里,乙船时速30海里,两个小 C.C-90* D. 以上答案都不对 时后,两船相距100海里,已知甲船的航向 5.如图所示,BD为△ABC的中 为北偏东46^{},则乙船的航向为( ~ 线,AB-10,AD-6,BD-8. A.东偏南46* △ABC的周长是 B.北偏西44* 6.如图所示,等腰三角形ABC C.东偏南46^{*}或西偏北46{ 的底边BC=10cm,D是腰AB上一点,且 D.无法确定 一八注级:下前·数学:阳词用 11.如图所示,学校有一块四边形草地ABCD, 4 _# 已知 ADC=90{*,AD=4米,CD=3米, AB=13米,BC=12米,求这块草地的面积 第14题图 第15题图 15.如图所示,在△ABC中,AC=6,BC=8. AB=10,点P,Q分别在AC,BC上,且 AP=1,BQ=3,分别取AB,PQ的中点E, F.连接EF,则线段EF的长为 16.如图所示,笔直的河流一侧有一旅游地C,河 边有两个漂流点A,B,其中AB一AC,由于 某种原因,由C到A的路现在已经不通,为 方便游客,决定在河边新建一个漂流点H (A,H,B在同一直线上),并新修一条路 通能力 CH,测得BC=5千米,CH=4千米,BH 3千米,则原路线AC三 千米. 12.(2024·石家庄平山期中)五根小木棒,其长度 分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直 角三角形,下列示意图中正确的是( #### ........ 17.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=8, BC=10,BC的垂直平分线分别交AC,BC B 于点D,E,求CD的长 13. 推理能力如图所示,在△ABC中,AB:BC; CA=3;4:5,且周长为36m.点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动,点 Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2m的 速度移动,如果同时出发,那么过3秒时,点B 到PQ的距离为( ) A.3/2m B.6m C.3m D.6/2m 14.如图所示,已知 A=90{},AC=AB=4; CD-2,BD=6.则 ACD= 度。 18.如图所示,在四边形ABCD中,ABC= 通素养 $9 $0{, AB=6,BC=8.CD-10,AD=10/$② 20.(2024·保定定州期末)台风是一种自然灾 (1)判断△ACD的形状,并说明理由 害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范 (2)求BD的长. 围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图 乙 所示,有一台风中心沿东西方向AB由点A 向点B移动,已知点C为一海港,且点C与 直线AB上两点A,B的距离CA、CB分别 为300km、400km,且.AB-500km,以台风 中心为圆心周围250km以内为受影响 区域. (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心移动的速度为20kmh,台风 影响海港C持续的时间有多长? 19. 新情境)如图所示,热气球探测器显示,从热 气球A处到一栋高楼顶部的距离AB 34m.到高楼底部的距离AC一50m.热气球 A处到这栋高楼外墙D处的距离为30m. 又测得CD三40m,求这栋楼的高度 1 一从注级:下·数学:通此用