第6章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

10.16 ..AB=CD.AB//CD.OA=OC.OB=OD. 11.证明：，四边形ABCD是菱形， .AB+CD=BD=OB+OD. ∴.AB=AD,∠B=∠D. ∴.AB=(OB=OD=CD. 在△ABE和△ADF中， ,ABCD,∠ABO=90°. ∠B=∠D ∴.∠ABO=∠CD0=90°. ∠AEB=∠AFD, ,BE⊥AO,DF⊥OC,AB=OB=OD=CD, AB=AD, ∴.∠BEO=∠DFO=90°，∠EBO=∠FDO=45°， .△ABE≌△ADF(AAS), ∴.BE=DF 0E=2A0.0F=20, 12.解：四边形ADCE为矩形. ∴.∠EBO=∠EOB=∠FDO=∠FOD=45. 证明：，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ,四边形BEDF是沙漏四边形， ∠MAE-∠MAC .OE=OF=BE. :AB=AC,.∠B=∠ACB :.BE=EO=OF=CF=1. :∠MAC=∠B+∠ACB=2∠B. ∴.EC=3BE=3. ∴.∠MAE=∠B, 在Rt△BEC中，BC=BE2+EC2=12+32=10, ∴.AN∥BC.,AD⊥BC,CE⊥AN,.AD∥CE, .BC=10, .四边形ADCE为平行四边形 :CE⊥AN,.∠AEC=90°，.平行四边形 Sa=号FC·BE=号×1X1=2 1 ADCE为矩形 2.B 13.证明：(1)，BE⊥AE,∴∠AED=∠AEB=90°， 3.1 ∴.∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°. 4.解：(1)1 :∠BAE=∠DAE,∴.∠ABE=∠ADE. (2)如图所示，连接AC和BD,交于点O,设 ..AB=AD. AB=x, ,AE⊥BD,.BE=DE 在菱形ABCD中，AB=AD. ,BF=FC,.EF为△BCD的中位线， EF=1 (AC-AD)-7(AC-AB). :∠BAD=60 ∴.△ABD是等边三角形， (2)结论：EF=号AB-AC BD=z,BO=DO= 2, 证明：如图所示，延长AC交BE的延长线于点P. ,AE⊥BP, AO=/AD-DOT3 r, .∠AEP=∠AEB=90°， ∴.AC=3x, .∠BAE+∠ABE=90°， ∠PAE+∠APE=90°. 小号-S-区=原，即菱形ABCD的神似度： :∠BAE=∠PAE, 为3. .∠ABE=∠APE, ∴.AB=AP.AE⊥BE,∴.BE=PE. BF=FC,.EF为△BPC的中位线， .EF-PC-(AP-AC)-(AB-AC). 本章综合提升 特色素养专题（一）新定义题型专题 【本章知识归纳】 1解：(1)60 互相平分平行且相等分别相等互相平分直角 (2),AB⊥BD, 相等 ∴.∠ABO=90°. 一组邻边相等互相垂直S=2b相等 四边形ABCD是沙漏四边形， 互相垂直平分中点第三边的一半 9 【思想方法归纳】 ∴.∠EAO=40° 【例n9 AC平分∠DAE, ∴.∠DAC=∠EAO=40 【变式训练1】A '四边形ABCD是平行四边形， 【例2】解：(1)ABCD,∠A=∠D=90°. ..AD//BC. 由题意得CQ=2tcm,AP=tcm,∴.DQ=CD一 ∴.∠ACB=∠DAC=40°. CQ=(12-2t)cm. (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 四边形APQD为矩形，.AP=DQ, ..OA=OC. ∴.t=12-2t,解得t=4. AE⊥BD.CF⊥BD, (2)如图①所示，过点Q作QN⊥AB于点N,过点B ∴.∠AEO=∠CFO=90. 作BH⊥CD于点H,则四边形BHQN为矩形，四 :∠AOE=∠COF, 边形ADHB为矩形， .△AEO2△CFO(AAS), ..CH=CD-DH=CD-AB=12-10=2(cm). ..AE=CF. QN-BH,QH-BN. 8.解：(1)证明：，D,E分别是边AB,BC的中点， 又，PQ=BC,.Rt△BCH≌Rt△QPN(HI), .DE是Rt△ABC的中位线，CE=BE, ∴.PN=CH=2cm, ∴.DE∥AC ..AB-AP-BN=AB-AP-QH=AB-AP- :∠ACB=90°， (CQ-CH)=2 cm, ∴.∠DEB=∠ACB=90°，即DF⊥BC. 10-t-(2t-2)=2,解得t=3 又EF=DE,CE=BE, .四边形CFBD是菱形. (2)由(1)可得DE是Rt△ABC的中位线， DE-ZAC-1, 如图②所示，作PE⊥CD于点E,作BF⊥CD于 .DF=2DE=2. 点F, :四边形CFBD是菱形， 同理可证Rt△PEQ≌Rt△BFC,.QE=CF= 2 cm, SN达6FB0=2DF·BC=6, .DE-QD=AP-DQ=AP-(CD-CQ)= 9.证明：作AG⊥EF于点G,如图所示. 2 cm. .t-(12-2t)=2,解得t= 3 ,综上所述，t的值为 1014 3或3 ∴.∠AGE=∠AGF=90. ,AB⊥CE,AD⊥CF, ∴.∠B=∠D=∠C=90°， .四边形ABCD是矩形. 【变式训练2】D FA平分∠DFE,EA平分∠BEF, 【通模拟】 .∠AEB=∠AEG,∠AFG=∠AFD. 1.C2.B3.A4.D5.B 在△AEB和△AEG中， 6.②④ ∠AEB=∠AEG, 7.解：(1)AE⊥BD, ∠ABE=∠AGE=90°， .∠AEO=90. AE=AE, ,∠AOE=50°， ..△AEB≌△AEG(AAS), 10 ∴.AB=AG. 12 14412 4 同理可得AD=AG, 2): W225 ..AB=AD, (3)0.09°=0.0081，∴.0.0081=0.09. .四边形ABCD是正方形. 5.B6./10 1. 8.A9.C10.C11.5 【通中考】 12.解：：矩形的长为72cm,宽为18cm,,这个矩形 10.24 的面积为72×18=1296(cm),.与这个长方形 11.证明：，四边形ABCD是平行四边形， '.AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD. 面积相等的正方形的边长为√/1296=36(cm). 答：正方形的边长为36cm. :AE平分∠BAD,CF平分∠BCD, 13解：(1) ∴.∠BAE=∠FCD. |∠BAE=∠DCF, 0.01 1 100 10000 a 0.1 10 在△ABE和△CDF中，AB=CD, 100 ∠B=∠D. (2)a的值扩大为原来的n倍，相应的算术平方根 ∴.△ABE≌△CDF(ASA),∴.AE=CF. 扩大为原来的√m倍，或者说a的值的小数点向右 12.证明：(1)，四边形ABCD是矩形，.AD=BC, 或向左每移动2位，相应的算术平方根的小数点向 ∠B=∠D=90°，ABCD, 右或向左移动1位. '.∠EAH=∠FCG. 7.2勾股定理 由折叠可得AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B= 1.A2.A3.D4.C5.B6.A7.C8.B 90°，∠AGF=∠D=90°， 9.A ∴.CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°， 10.C11.C12.A13.15 ..AH=CG. 4装6 在△AEH和△CFG中， 16.解：(1)由勾股定理，得 I∠EAH=∠FCG, AB=+3=√/10，BC=√5+2=√29. AH=CG. CD=√2+32=√/13，AD=√4+2=/20. ∠AHE=∠CGF=90°， (2)由图形可得四边形ABCD的面积=5×6 ∴.△AEH≌△CFG(ASA). 1 (2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG, ×3X1-日×5×2-日×2×3-号x4×2 ∴.EH∥FG,EH=FG, 16.5. ∴，四边形EGFH为平行四边形. 17.解：如图所示，连接AC,过点C作CE⊥AD于 第7章实数 点E 7.1算术平方根 :AB⊥BC,AB=5,BC=12, 1.A2.3 ∴.AC=√AB2+BC= 3.解：(1)13=169，.169的算术平方根是13，即 /5+122=13.CD=13, /169=13. ∴.AC=CD=13. 2(层 =得“的算术平方根是即 AD 10,AE AD -5,CE 93 √AC-AE=√/13-5=12， √648 (3):(一2)=4,2=4，.（一2）的算术平方根是 六S两边形AD=SAAx十SAAD=2AB·BC十 2,即/(-2)=2 2AD.CE=2×5×12+号×10×12=30+ 4.解：(1)72=49，∴.√49=7. 60=90. 18.解：如图所示，连接BD.,在等腰直角三角形ABC 11本章综合提升(答案P9) 本章知识归纯 定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的对边相等 性质定理 平行四边形的对角相等 平行四边形 平行四边形的对角线 一组对边 的四边形是平行四边形 判定定理 两组对边 的四边形是平行四边形 对角线 的四边形是平行四边形 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质定理 矩形的四个角都是 矩形 矩形的对角线__ 判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 定义:有 的平行四边形叫做萎形 萎形的四条边都相等 性质定理 萎形的对角线互相垂直 菱形 四条边相等的四边形是菱形 判定定理 对角线 的平行四边形是菱形 面积计算公式: (a.b分别为菱形的两条对角线) 定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形的四条边都相等,四个角都是直角 性质 正方形的对角线且 ,每条对角线平分一组对角 正方形 正方形是轴对称图形,有四条对称轴 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定方法 有一个角是直角的菱形是正方形 直角三角形的性质定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 定义:连接三角形两边的线段,叫做三角形的中位线 三角形的中位线 定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等干。 思想方法归纳 链接加章 本章根据四边形的性质处理边角关系 1.数形结合思想 以及计算边的长度、角的度数等,常常以数 数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应 形结合的思想,使复杂问题简单化. 关系,数形结合就是把抽象的数学语言、数量 关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 【例1】 数学文化出入相补原理是我国古 通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思 代数学的重要成就之一,最早是由魏晋时期数学 维与形象思维结合,可以使复杂问题简单化 家刘徽创建,“将一个几何图形,任意切成多块小 抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的 图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割 目的. 成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之 一.如图所示,在矩形ABCD中,AB=5,AD 12,AC=13,对角线AC与BD交于点O,点E 另一点也随之停止运动,设点Q运动的时间为 为BC边上的一个动点,EF 1AC,EG IBD,垂 ts.若P,Q两点同时出发. 足分别为点F,G,则EF十EG= (1)当四边形APQD为矩形时,求t的值 【变式训练1】 (2)若PQ一BC,求1的值 如图所示,□ABCD的面积为12,AC BD=6,AC与BD交于点O,分别过点C,D作 BD,AC的平行线相交于点F,点G是CD的中 点,若点P是四边形OCFD边上的动点,则PG 的最小值是( A.1 B.2 C.} D.3 2.分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进 行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准 【变式训练2】 进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类 如图所示,在□ABCD中,AB三6cm,AD 的结论,最后综合各类结果得到整个问题的 10cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点 答案. A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4cm的 链接本意 速度从点C出发,在CB之间往返运动.两个点 在本章中,探究特殊四边形成立的条件 同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也 时,因为题目所给出的对应元素不确定或方 停止运动).设运动时间为7秒,当5<1<10时, 法不确定,需要进行分类讨论解答,以免 运动时间:为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四 漏解. 边形是平行四边形( ) 【例2】 推理能力如图所示,在四边形 ABCD中,AB/CD,A=90*,AB=10 cm CD=12cm.点P从点A出发,以1cm/s的速 B.8 度向点B运动;点Q从点C出发,以2cm/s的 速度向点D运动,规定其中一个点到达终点时 D. 通模拟 1.(2024·秦安岱岳区期末)要求加工4个长为 4cm、宽为3cm的矩形零件.陈师傅对4个零 第4题图 件进行了检测,根据零件的检测结果,图中不 第5题图 ) 一定合格的零件是( 5.(2024·聊城东阿月考)如图所示, 在Rt△ABC中, C=90*,AC=6,BC=8 3cm 3cm 3cm 点N是BC边上一点,点M为AB边上的动 点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE ,4cm→ 的最小值是( , ) B 1 A.2 C.3 6.(2024·河泽野城期末)在四边形ABCD中, 现给出下列结论:①若四边形ABCD是平行 C D 四边形,则AC=BD:②若AB/CD, A 2.(2024·泰安新泰期末)如图所示,在四边形 C,则四边形ABCD是平行四边形;③若AB= ABCD中,AB/CD,E为BC上的一点,F为 CD,A=C,则四边形ABCD是平行四边 AD的中点,且 BAE=35^{*, CDE=55^*$$$ 形;④若四边形ABCD是平行四边形,则平行 之ADE-30*,AE-3,则EF的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 中正确的结论是 .(写出所有正确结 论的序号) 7.(2024·聊城东昌府区期末)如图所示,在平行 四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 第2题图 第3题图 O.分别过点A,C作AEBD,CFBD,垂足 3.(2024·聊域月考)如图所示,在正方形ABCD 分别为E,F.AC平分DAE. (1)若 AOE=50{,求 ACB的度数 外侧作等边△ADE,则之AEB的度数 为( ) (2)求证:AE=CF. A.15* B.22.5* C.20” D.10“ 4.(2024·泰安泰山区期末)如图所示,已知四边 形ABCD是平行四边形,那么添加下列条件 能判定四边形ABCD是正方形的是( ) A.AB=AD且AC BD B.AC1BD且AC和BD互相平分 C. BAD= ABC且 AC-BD D.AC=BD且AB-AD 8.(2024·滩坊期末)如图所示,在Rt△ABC中 11.(河泽中考)如图所示,在□ABCD中,AE平 ACB-90{*$D,E分别是边AB,BC的中点, 分 BAD,交BC于点E,CF平分BCD. 连接DE并延长到点F,使EF一DE,连接 交AD于点F,求证:AE一CF CF,BF,CD (1)求证:四边形CFBD是菱形 (2)若AC-2,BC=6,求四边形CFBD的 面积. 12.(2024·坊中考)如图所示,在矩形ABCD 9.(2024·泰安宁阳月考)如图所示,在Rt△CEF 中,AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD 中,C=90{*,CEF,CFE的外角平分线交 上.将△ADF沿AF折叠,点D的对应点G 于点A,过点A作AB1CE的延长线于点B 恰好落在对角线AC上;将△CBE沿CE折 过点A作AD CF的延长线于点D.求证:四 叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC 边形ABCD是正方形. 上.连接GE,FH. 求证: (1)△AEH△CFG. (2)四边形EGFH为平行四边形 通中考 10.(聊城中考改编)如图所示,在ABCD中. BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC 于点O,连接BE,CE,过点C作CF/BE,交 EO的延长线于点F,连接BF,若AD=8, CE-5,OE=3,则四边形BFCE的面积 为 71 第7章 实 数 大单元建构 理论联系实际 定义 证明 定理 性质 应用 算术平方根 勾股定理 证明 应用 逆定理 知 应用 定义 理论联系实际 定义 性质 实数 性质 平方根 立方根 应用 应用 定义 定义 分类 无理数 实数 比较 应用 应用 包含 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 运算能力 运用有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质进行实数的运复 推理能力 经历勾股定理及逆定理的探索过程,提高推理能力 几何直观 借助平面直角坐标系求图形中点的坐标 空间观念 经历勾股定理及逆定理的探索过程,发展空间观念;借助几何图形,能用多种方法验证勾股定理 及其逆定理,在图形实践中使空间观念得到升华 在具体问题情境中,能灵活利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题,从实际问题中抽象出 应用意识 数学问题,建构数学模型,发展应用意识