拓展7-2 随机变量及其分布高频题型专攻-2024-2025年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展7-2 随机变量及其分布高频题型专攻 一、条件概率的应用 六、求超几何分布的分布列 二、条件概率的性质 七、二项分布的概率最值问题 三、全概率公式和贝叶斯公式 八、决策问题 四、离散型随机变量的均值与方差 九、正态分布的概率计算 五、求二项分布的分布列 十、正态分布与其他分布的结合 一、条件概率的应用 【例1】现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】阳光艺术学校为提高学员学习的积极性，特意在五一期间举办比赛活动，共设有，，，，，六种奖品.若学员在比赛中获得好的名次，则可获得优胜奖，即获奖学员可从六种奖品中任选3种，但不能同时选，两种奖品.若学员未获得好的名次，则可获得鼓励奖，即从除，之外的奖品中选2个作为鼓励奖.已知甲在比赛中获得好名次的概率为，则在甲选了奖品的条件下，他又选了奖品的概率为 . 【变式1-1】（多选）甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【变式1-2】2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【变式1-3】第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 二、条件概率的性质 【例3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【变式2-1】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，，则 ， ． 【变式2-3】（多选）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则M，N可能不相互独立； C．若，则； D．若，则． 三、全概率公式和贝叶斯公式 【例5】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【例6】某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.已知李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是，和. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； (2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率． 【变式3-1】已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【变式3-2】人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为 ，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为 ． 【变式3-3】现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 四、离散型随机变量的均值与方差 【例7】设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 【例8】某校甲、乙两班参加学校举办的三青杯篮球比赛（比赛双方均为三名运动员），已知甲班三名运动员A，B，C一次罚球命中的概率分别是0.6，0.6，0.5，乙班三名运动员a，b，c一次罚球命中的概率分别是0.7，0.5，0.4，且每位动动员罚球是否命中相互独立． (1)求甲班三名运动员A，B，C每人罚球一次，至少有一人命中的概率； (2)为了评估甲乙班两支球队哪个更优秀，现6名运动员各罚球一次，命中得2分，不命中得0分，设甲班得X分，乙班得Y分，求，，判断哪班球队更优秀． 【变式4-1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 其中满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】为进一步满足居民“五一”假期的消费需求，营造欢乐的节日氛围，某商场计划5月1日发起“2025年欢乐购普惠消费券”活动．据悉，本次消费券分别为“满200元减50元”和“满100元减20元”两种类型．节日期间每位进该商场的顾客可抽取两种不同类型的消费券各1次，已知抽中消费券“满200元减50元”的概率为，抽中消费券“满100元减20元”的概率为，且各次是否抽中消费券互不影响． (1)求某天某顾客至少抽中一次消费券的概率； (2)设某天某顾客获得的消费券奖金（如：满200元减50元，记消费券奖金为50元）为随机变量，求的分布列及数学期望． 假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 五、求二项分布的分布列 【例9】甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【例10】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)分别求和的均值； (2)规定：若，则甲获胜；若，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率． 【变式5-1】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望 ；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为 ． 【变式5-2】为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在中秋节期间在市公园广场举办“贺中秋､庆团圆”灯谜展猜活动，活动采取积分制：小孩答对一个灯谜积80分，答错扣20分；大人答对一个灯谜积30分，答错扣10分.小学生笑笑和爸爸是猜灯谜爱好者，他们答对灯谜的概率分别为90%和80%. (1)设为笑笑和爸爸各答一个灯谜的积分之和，求随机变量的数学期望； (2)求笑笑的爸爸答4个灯谜所得的积分不少于80分的概率. 【变式5-3】蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 六、求超几何分布的分布列 【例11】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例12】在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 (1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率； (2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 【变式6-1】某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【变式6-3】2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． (1)若游客甲计划在6个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 七、二项分布的概率最值问题 【例13】如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置．    (1)求； (2)求； (3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 【例14】4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由） 【变式7-1】某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率； (2)若该同学在10次投篮中恰好命中次，1，2，，的概率为，为何值时，最大？ 【变式7-2】某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【变式7-3】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：（单位：mm）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.    (1)估计实验园的“大果”率； (2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X，求X的分布列； (3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（，）个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出n的值. 八、决策问题 【例15】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； (2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 【例16】某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【变式8-1】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 【变式8-2】某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【变式8-3】某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立. (1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率； (2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好. 九、正态分布的概率计算 【例17】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【例18】若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式9-1】随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【变式9-3】健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 十、正态分布与其他分布的结合 【例19】（多选）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例20】无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【变式10-1】（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. 【变式10-3】某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展7-2 随机变量及其分布高频题型专攻 一、条件概率的应用 六、求超几何分布的分布列 二、条件概率的性质 七、二项分布的概率最值问题 三、全概率公式和贝叶斯公式 八、决策问题 四、离散型随机变量的均值与方差 九、正态分布的概率计算 五、求二项分布的分布列 十、正态分布与其他分布的结合 一、条件概率的应用 【例1】现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D 【例2】阳光艺术学校为提高学员学习的积极性，特意在五一期间举办比赛活动，共设有，，，，，六种奖品.若学员在比赛中获得好的名次，则可获得优胜奖，即获奖学员可从六种奖品中任选3种，但不能同时选，两种奖品.若学员未获得好的名次，则可获得鼓励奖，即从除，之外的奖品中选2个作为鼓励奖.已知甲在比赛中获得好名次的概率为，则在甲选了奖品的条件下，他又选了奖品的概率为 . 【答案】 【详解】设M：甲选了奖品，N：甲选了A奖品， 则，， 所以. 故答案为：. 【变式1-1】（多选）甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】ACD 【详解】对A，因为每次只摸出一个球，故，不能同时发生，故，是互斥事件，故A正确； 对B，因为，， ，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：ACD 【变式1-2】2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 【变式1-3】第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 二、条件概率的性质 【例3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 【例4】已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    【变式2-1】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 【变式2-2】已知，，，则 ， ． 【答案】 【详解】因为， 所以，因为，， 所以， 所以， ， 从而． 故答案为：；. 【变式2-3】（多选）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则M，N可能不相互独立； C．若，则； D．若，则． 【答案】ACD 【详解】对于A项，因，且，代入可得， 此时，故A正确； 对于B项，由A项知，当时，有，故M，N互相独立，即B错误； 对于C项，由，得， 因,故，即C正确； 对于D项，， ，故有，即D正确. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：本题主要考查条件概率公式的应用，属于较难题. 对于条件概率的相关问题，在求解或推理条件概率时，常用方法有： （1）用事件所含的样本点数目表示：即通过公式计算推理； （2）用事件的概率表示：即通过公式计算推理. 三、全概率公式和贝叶斯公式 【例5】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【答案】 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ，， ，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，所以. 故答案为： 【例6】某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.已知李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是，和. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； (2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“李夏与第类棋手比赛”， 根据题意，，，记 “李夏获胜”， 则有． 由全概率公式知，李夏在比赛中获胜的概率为 ， 所以李夏获胜的概率为0.35. （2）若李夏获胜，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为 ． 即若李夏获胜，对手为一类棋手的概率为. 【变式3-1】已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【答案】 【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A， 从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B， 则，， 所以， 若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 故答案为：， 【变式3-2】人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为 ，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为 ． 【答案】 0.65 【详解】设“第一天选择在线课程”为事件，“第一天选择面授课程”为事件，“第二天选择在线课程”为事件．已知，，． 根据全概率公式，可得： 根据贝叶斯公式，将，，代入可得： 故答案为： 0.65； ． 【变式3-3】现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 四、离散型随机变量的均值与方差 【例7】设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 将进行变形，给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 【例8】某校甲、乙两班参加学校举办的三青杯篮球比赛（比赛双方均为三名运动员），已知甲班三名运动员A，B，C一次罚球命中的概率分别是0.6，0.6，0.5，乙班三名运动员a，b，c一次罚球命中的概率分别是0.7，0.5，0.4，且每位动动员罚球是否命中相互独立． (1)求甲班三名运动员A，B，C每人罚球一次，至少有一人命中的概率； (2)为了评估甲乙班两支球队哪个更优秀，现6名运动员各罚球一次，命中得2分，不命中得0分，设甲班得X分，乙班得Y分，求，，判断哪班球队更优秀． 【答案】(1) (2)，甲班球队更优秀 【详解】（1）由题意知，甲班这3人都不命中的概率为， 所以这3人至少1人命中的概率为； （2）由题意知，的所有取值可能为，的所有取值可能为， 则， ， ， ； ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 2 4 6 0.08 0.32 0.42 0.18 的分布列为： 0 2 4 6 0.09 0.36 0.41 0.14 所以， ， 因为，所以甲班球队更优秀. 【变式4-1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 其中满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得，可得， 则， 而 ，则当时，. 故选：B. 【变式4-2】为进一步满足居民“五一”假期的消费需求，营造欢乐的节日氛围，某商场计划5月1日发起“2025年欢乐购普惠消费券”活动．据悉，本次消费券分别为“满200元减50元”和“满100元减20元”两种类型．节日期间每位进该商场的顾客可抽取两种不同类型的消费券各1次，已知抽中消费券“满200元减50元”的概率为，抽中消费券“满100元减20元”的概率为，且各次是否抽中消费券互不影响． (1)求某天某顾客至少抽中一次消费券的概率； (2)设某天某顾客获得的消费券奖金（如：满200元减50元，记消费券奖金为50元）为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解，数学期望为20. 【详解】（1）设事件“某天某顾客至少抽中一次消费卷” 事件“某天某顾客抽中满200元减50元消费卷” 事件“某天某顾客抽中满100元减20元消费卷” 则 所以某天某顾客至少抽中一次消费券的概率为 （2）的可能取值为：． 随机变量的分布列为： 0 20 50 70 所以的数学期望为20． 【变式4-3】某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件， 则， 可知该项技术量化得分不低于8分为， 所以. （2）由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 随机变量的期望． 五、求二项分布的分布列 【例9】甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 所以. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则， 因此， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 期望. 【例10】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)分别求和的均值； (2)规定：若，则甲获胜；若，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意， 所以． （2）， ， ． 甲获胜有以下情况：． 则甲获胜的概率为． 乙获胜有以下情况：． 则乙获胜的概率为． 【变式5-1】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望 ；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为 ． 【答案】 【详解】由题知，三次罚球命中的次数，所以； 记事件为“该运动员没有全部命中”， 记事件 “恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知. 故答案为：； 【变式5-2】为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在中秋节期间在市公园广场举办“贺中秋､庆团圆”灯谜展猜活动，活动采取积分制：小孩答对一个灯谜积80分，答错扣20分；大人答对一个灯谜积30分，答错扣10分.小学生笑笑和爸爸是猜灯谜爱好者，他们答对灯谜的概率分别为90%和80%. (1)设为笑笑和爸爸各答一个灯谜的积分之和，求随机变量的数学期望； (2)求笑笑的爸爸答4个灯谜所得的积分不少于80分的概率. 【答案】(1)92 (2) 【详解】（1）由题意可知，笑笑和爸爸答对灯谜的概率分别为0.9和0.8， 随机变量的可能取值为. 则，， 所以随机变量的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 随机变量的数学期望（分）. （2）设笑笑的爸爸答对灯谜的个数为，则. 设笑笑的爸爸答4个灯谜所得的积分为， 则， 令，解得， 所以. 【变式5-3】蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为1 【详解】（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率为； （2）设小明全家中奖的次数为， 则，， ， ， ，则的分布列为 0 1 2 3 所以． 六、求超几何分布的分布列 【例11】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【例12】在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 (1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率； (2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望. 【详解】（1）设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”， 则． （2）表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场， 则的可能取值为0，1，2，3． ， ，． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 【变式6-1】某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取值是：， 所以. 故选：D. 【变式6-2】一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2); 【详解】（1）依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得 . 另解：因 则 【变式6-3】2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． (1)若游客甲计划在6个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.4 【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. （2）记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 七、二项分布的概率最值问题 【例13】如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置．    (1)求； (2)求； (3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 【答案】(1) (2)0 (3)答案见解析 【详解】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则， 所以． （2）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为， 则，且， 而， 所以. （3）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则， 所以， 若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时， 所以质点最有可能位于位置0， 若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大， 此时或，所以质点最有可能位于位置1或． 【例14】4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【详解】（1）由概率和为1得：， 解得； （2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为： 人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有名学生日平均阅读时间在,内的分布列服从二项分布， ，由组合数的性质可得时最大． 【变式7-1】某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率； (2)若该同学在10次投篮中恰好命中次，1，2，，的概率为，为何值时，最大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立． 所以该同学在三次投篮中至少命中2次的概率 ． （2）该同学在10次投篮中恰好命中次，1，2，，的概率为， 则， 当最大时，， ， 所以，即， 解得， 又，则． 故为8时，最大． 【变式7-2】某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)3次或4次 【详解】（1）由题知：可取0，1，2，3，则: ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 则的期望为：. （2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则. 故 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则 故 ∴假设当时，对应概率取值最大，则 解得，而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 【变式7-3】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：（单位：mm）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.    (1)估计实验园的“大果”率； (2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X，求X的分布列； (3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（，）个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出n的值. 【答案】(1)60% (2)分布列见解析 (3)6 【详解】（1）由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为（， 所以估实验园大果率为60%. （2）由题中对照园的频率分布直方图得，这100个果实中大果的个数为（（采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，其中大果有， 从这10个果实中随机抽取3个，其中“大果”的个数的可能取值为0，1，2，3， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）由题可知， 要使最大，则且， ∴，又∵， ∴. 八、决策问题 【例15】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； (2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 【答案】(1)（i）；（ii） (2)方案一 【详解】（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”. 根据题意得 （i）由全概率公式得 （ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率， 即 （2）方案一的测试次数的数学期望为4. 用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5. 则 所以方案二测试次数的数学期望为. 又因为， 所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一. 【例16】某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【答案】(1) (2) (3)方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大. 【详解】（1）记小方第一次选择南方景点库为事件，选择北方景点库为事件， 第一次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 所以． （2）在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下， 小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率 ． （3）记小方第二次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 由（2）得，则在小方第一次抽取的景点是曾经去过的景点的条件下， 第一次抽取的景点是北方景点库的景点的概率， 在事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案一下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率； ②若选择方案二，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案二下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率． 而，所以方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【变式8-1】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 【答案】(1) (2)方案二，理由见解析 【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得 （2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90 ，， 根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80 ，， 商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二 【变式8-2】某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)应选 【详解】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ，，； ，，． 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得 所有可能的取值为16，17，18，19，20，且    ， ， ， ， ． 所以的分布列如下表． 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以    设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时, ，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，，. 当时,的分布列为： 0.06 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.71 所以. 因为，所以应选. 【变式8-3】某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立. (1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率； (2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好. 【答案】(1) (2)，，，，派李明代表该班参加竞赛更好 【详解】（1）李明回答问题正确的个数为的概率； 王华回答问题正确的个数为的概率； 李明和王华回答问题正确的个数均为的概率. （2）由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为， ，， ，； 王华回答问题正确的个数， ，； ，，派李明代表该班参加竞赛更好. 九、正态分布的概率计算 【例17】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 随机变量服从正态分布，， ∵，由正态分布的对称性可得： ， 故. 故选：A. 【例18】若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为1. 故选：C 【变式9-1】随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由二项分布和正态分布可知， ，，，. 故A正确，B错误； 对于C项，.故C错误； 对于D项，根据正态分布可知，， 所以，，， 所以有.故D错误. 故选：A. 【变式9-2】（多选）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 【变式9-3】健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 【答案】(1)分钟 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，这为年轻人每天健身时间的平均数为 （分钟）. （2）由（1）可得，， 所以 . 十、正态分布与其他分布的结合 【例19】（多选）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 【例20】无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】(1) (2) (3)11 【详解】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 【变式10-1】（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由，得， 则，A错误； 对于B，由A知，不在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 【变式10-2】某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. 【答案】(1)，， (2)的分布列见解析， (3) 【详解】（1）由，则， 这批零件内径的平均值： ， ， 这批零件内径的方差： ， （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， ， 因此可得的分布列： 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 则的数学期望. （3）由题意知，，， 又，， 则， 由二项分布的定义知, 由二项分布的方差公式知，. 【变式10-3】某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$