8.1走进数学建模 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

走进数学建模 教学设计 教学内容 （1）本节课的主要教学内容是让学生了解数学建模的概念及其在现实生活中的应用，尤其是通过著名的哥尼斯堡七桥问题来引入这一概念。 （2）本节课主要介绍了数学建模的基本步骤，包括如何将实际问题转化为数学问题，以及使用数学工具解决这些问题的方法。此外，还探讨了一笔画定理和图论的基础知识。 （3）通过学习本节课，学生能够认识到数学在解决现实世界问题中的强大作用，培养逻辑思维能力和问题解决能力。同时，通过对经典问题的分析，激发学生对数学的兴趣和探索欲。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过哥尼斯堡七桥问题的实际情境，引导学生观察生活中的数学问题，理解数学建模的概念与意义。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过欧拉对七桥问题的抽象与转化，培养学生运用数学思维分析实际问题的能力，理解数学模型的构建过程。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过七桥问题的数学表述与解决，帮助学生掌握用数学语言表达和解决实际问题的能力，理解数学建模的完整过程。 教学重点 （1）理解数学建模的基本概念及其在实际问题中的应用，培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力。 （2）通过哥尼斯堡七桥问题的分析，掌握图论中的 “一笔画” 定理，并运用数学结论解决实际问题，提升学生的逻辑思维和问题解决能力。 教学难点 （1）理解并抽象化实际问题为数学模型的过程。 （2）运用一笔画定理解决具体实际问题，并理解其中的数学逻辑。 教学方法 问题导向法、案例分析法、实验探索法 教学准备 （1）多媒体设备：投影仪、电脑、互动白板。 （2）《哥尼斯堡七桥问题的历史背景》文献。 （3）数学建模基础概念的 PPT 演示文稿。 教学活动及主要语言 一、激趣导入 实际问题：哥尼斯堡七桥问题 （教师展示普莱格尔河穿过哥尼斯堡城的地图，图中清晰地标明了两个支流和岛区以及连接它们的七座桥。） 教师: " 同学们，今天我们要探讨一个非常有趣的历史问题 ——哥尼斯堡七桥问题。请看这张地图，这是 18 世纪的哥尼斯堡城，普莱格尔河在这里穿城而过，形成了四块陆地，这四块陆地通过七座桥相连。当时的城市居民经常在这七座桥上散步。有一天，有人提出了这样一个挑战：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只经过一次，最后又回到原来的出发点？" 学生们纷纷讨论，表现出极大的兴趣。一位学生举手提问： 学生: "这个问题看起来好复杂，我们怎么解决呢？" 效应策略：教师可以引导学生思考，激发他们的求知欲。 教师: " 这是一个非常有趣且具有挑战性的问题。当时没有人能找到答案。这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。接下来，我们将探讨这个问题，并学习一种新的数学方法 ——数学建模，来帮助我们解决这个难题。" 引入数学建模的概念 （教师简要介绍什么是数学建模，为什么需要数学建模。） 教师: " 在现实生活中，有很多像哥尼斯堡七桥这样的问题需要我们解决。这时候，我们可以使用数学建模的方法，将实际问题转化成数学问题，再通过数学工具来解决。这种方法可以帮助我们更高效、系统地解决问题。" 二、新知探究 实际问题的数学表述 欧拉的思考与抽象 （教师展示欧拉解决七桥问题的过程。） 教师: " 历史上，伟大的数学家欧拉是第一个对这个问题感兴趣并成功解决的人。他首先尝试了列举法，但发现这种方法太繁琐且不具有通用性。然后，他想到了把岛屿和陆地简化成点，桥简化成线，这样就把实际问题转化为一个几何图形的问题。" （教师画出简化的图形，并解释每一个点代表一片陆地，每一条线代表一座桥。） 教师: " 在这个简化图中，我们需要判断是否可以一笔画出这个图形。大家可以先试试看。" 学生们动手尝试，部分学生发现了问题的关键。有学生举手发言： 学生: "老师，我发现有些点连接的线条比较多，有的比较少。这可能是关键吗？" 教师: "你观察得非常仔细！实际上，这些点连接线条的多少确实很关键。我们稍后会详细讲解这一点。" 数学模型的建立 （教师介绍 “一笔画” 问题的数学条件。） 教师: " 为了判断一个图形是否可以一笔画完，我们需要了解一些基本的数学概念。首先，这个图形必须是一个连通图，即所有的点都能相互到达；其次是奇点的个数。奇点是指连接该点的线条数目是奇数，偶点则是偶数。如果一个图形能一笔画完，它必须符合某些条件：奇点个数为 0 或 2。" （教师详细解释奇点和偶点的定义，并展示实例。） 教师: "请大家一起来分析一下七桥问题中的各个点。" （教师带领学生逐一分析每个点的状态，让学生总结出四个点都是奇点。） 学生: "老师，我数了一下，每个点都是奇点。" 教师: " 非常好！你们已经找到了问题的关键。由于哥尼斯堡七桥问题中有四个奇点，这意味着这个图形不能一笔画完。也就是说，不可能一次性无重复地走完这七座桥。" 数学问题的解决 一笔画定理的应用 （教师通过具体的例子应用一笔画定理。） 救师: "根据一笔画定理，图形中有 4 个奇点，这意味着这个图形不能一笔画完。因此，不可能一次性无重复地走完这七座桥。" （教师展示其他符合一笔画定理的情况，帮助学生理解。） 教师: "下面我们来看一些简单的例子，比如这个三角形，你们试试看能不能一笔画完。" 学生们尝试并得出结论，其中一个学生回答： 学生: "老师，我可以一笔画完这个三角形！" 教师: " 非常好！这是因为三角形只有三个点，每个点都是偶点。因此，它可以一笔画完。再来一个例子吧，这个图形呢？" 教师展示一个有两个奇点的图形，学生们尝试并得出结论。 学生: "老师，这个图形也可以一笔画完！" 教师: "正确！因为这个图形有两个奇点，所以符合条件。" 用数学结论解答原问题 总结哥尼斯堡七桥问题 （教师归纳总结欧拉的研究成果。） 教师: " 通过数学建模，我们成功解决了哥尼斯堡七桥问题。欧拉通过对实际问题进行抽象，建立数学模型，再用数学方法解决了这个问题。这一过程就是数学建模的基本步骤。他的研究成果不仅解决了这个问题，还开创了图论和拓扑学这两门新的学科。这就是数学建模的力量。" 三、课堂小结 回顾数学建模的过程 （教师引导学生回顾整个解决问题的过程。） 教师: " 今天我们学习了数学建模的基本步骤，从实际问题到数学模型再到数学结论。我们以哥尼斯堡七桥问题为例，详细讲解了这些步骤。大家还有什么疑问吗？" 学生们提问，教师解答。 学生: "老师，如果有更多的桥和陆地，我们还能用同样的方法解决吗？" 教师: " 当然可以！只要遵循相同的步骤，无论有多少桥和陆地，都可以用数学建模的方法来解决。" 课后思考 （教师布置一些开放性的问题，鼓励学生进一步思考。） 教师: " 请大家回家后，找找身边的实际问题，看看哪些可以尝试用数学建模的方法来解决。下节课我们会一起分享和讨论。希望大家能够学以致用，感受数学建模的魅力。" $$