第16章 二次根式 基础过关单元卷 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

第16章 二次根式 基础过关单元卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1．使二次根式有意义的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（　　） A．8 B．－8 C．4 D．－4 6．已知，则实数，的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 8．已知 满足 ，则 A．0 B．1 C．2024 D．2025 9．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每空5分，共25分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围式　 　. 12．若最简二次根式 与 能够合并，则a的值为　 　。 13．， ，则　 　. 14．电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为　 　A． 15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为　 　，最大值为　 　. 三、计算题（共3题，共33分） 16．计算： （1） （2）(23)2 （3） 17．先化简再求 的值，其中a= ． 18．在进行二次根式的运算时，如遇到 这样的式子，还需做进一步的化简： ﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化． （1）请参照以上方法化简 ； （2）计算 ． 四、解答题（共5题，共52分） 19．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值. 解：由题意得 ， ∵a，b都是有理数， ∴ 也是有理数， ∵ 是无理数， ∴ ， ∴ ， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值. 20．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积． 21．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下 ＝ ＝ = （1）结合以上化简过程，请你动手尝试化简． （2）善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值． 22．解答题 （1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ，则这个三角形的面积为 ． （2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积． （3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离． 23．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号. 例如：已知 ，求式子 的最小值. 解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4. 请根据上面材料回答下列问题： （1）当 ，式子 的最小值为　 　；当 ，则当 　 　时，式子 取到最大值； （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：根据题意可得：， ∴ 故答案为：B. 【分析】先求出，再计算求解即可。 2．【答案】B 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意； B. 是最简二次根式；符合题意 C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意 故答案为：B. 【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可. 3．【答案】B 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：A 、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】利用二次根式的性质，平方差公式，以及完全平方公式计算求解即可。 4．【答案】C 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：A、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意． B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意． C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意． D、当时，它无意义，故本选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用二次根式的定义逐项判断即可。 5．【答案】B 【知识点】估算无理数的大小；因式分解的应用；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：∵1<<2， ∴4<<5， ∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分， ∴a=4，b=2-， ∴ab2−a2b=ab(b-a) =4(2-)( 2--4) =-4(2-)( 2+) =-4(4-2) =-8． 故答案为：B． 【分析】利用估算无理数的大小，可得到1<<2，再根据不等式的性质确定出的取值范围，由此可得到a的值，再将代数式分解为ab(b-a)，然后代入求值即可. 6．【答案】A 【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：∵， ∴. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行解答. 7．【答案】A 【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0 ∴ = =-a－b＋a－b =-2b 故答案为：A． 【分析】根据数轴先求出a＜0，b＞0，a－b＜0，再化简求解即可。 8．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性 【解析】【解答】解：由题意得： ， 5， ， ， ， ， ， . 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2025≥0，则a≥2025，2024-a<0，然后根据绝对值的性质可得，两边同时平方即可. 9．【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和， 它们的边长分别为，， ，， 空白部分的面积 ． 故答案为：D． 【分析】根据矩形的面积分别减去两个正方形的面积即可求解. 10．【答案】B 【知识点】二次根式的应用；数学常识 【解析】【解答】解：∵S=， ∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S== 故答案为：B. 【分析】由题意把a=2，b=3，c=4分别代入秦九韶公式计算即可求解. 11．【答案】x≥2025 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：x≥2025， 故答案为：x≥2025. 【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可. 12．【答案】1 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：∵两个最简二次根式可以合并 ∴1+a=4-2a 解得a=1 【分析】根据两个最简二次根式可以合并，即可得到两个根式的被开方数相同，即可得到答案。 13．【答案】2.381 【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：2.381. 【分析】，然后将≈23.81、=10代入进行计算. 14．【答案】或 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】∵电流通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足， ∴将，，代入上式得：， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 【分析】将，，代入中求出I值即可. 15．【答案】3；75 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：∵，是大于1的整数， ∴. ∵n为正整数 ∴n的值可以为3、12、75， n的最小值是3，最大值是75. 故答案为：3；75. 【分析】将已知二次根式化简为，再根据＞1，再由n为正整数，可得到n的值为3、12、75，由此可知n的最大值和最小值. 16．【答案】（1）解：原式= ； （2）解：原式= ； （3）解：原式= . 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）被减数根据二次根式的性质化简，减数利用分母有理化化简，最后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质分别化简，最后合并同类项即可； （3）先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式化简，最后合并同类项即可. 17．【答案】解：当a= =2- 时，∴a-1=1- ＜0 原式= - =a-1+ =1- +2+ =3． 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【分析】先求出 a= =2- ，化简分式代入求值即可。 18．【答案】（1）解：原式＝ （2）解：原式＝ ＝ ＝ 【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值 【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可； （2）利用平方差公式计算求解即可。 19．【答案】解：∵ ， ∴（x2-2y-8）+（y-4） =0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0. 【知识点】二次根式的应用；配方法解一元二次方程 【解析】【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值. 20．【答案】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm， ∴大正方形的边长是， ∴留下部分（即阴影部分）的面积是 ， 答：留下部分的面积为． 【知识点】二次根式的应用；正方形的性质 【解析】【分析】先求出两个小正方形的边长，再利用割补法求出留下部分（即阴影部分）的面积是，最后计算即可。 21．【答案】（1）解： = =． （2）解：∵ ∴， ∵ ∴，，． 【知识点】二次根式的应用；定义新运算 【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可； （2）根据，求出，，再结合，求出m、n上的值，最后求出a的值即可。 22．【答案】（1）解：如图： 在△ABC中，过A作高AD交BC于D， 设BD=x，那么DC=a﹣x， 由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2， 解出x得x= ， 于是h= ， △ABC的面积S= ah= a 即S= ， 令p= （a+b+c）， 对被开方数分解因式，并整理得到 （2）解：由题意，得：a=4，b=5，c=6； ∴p= = ； ∴S= = = ， 故△ABC的面积是 （3）解：如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H， ∵AD、BE分别为△ABC的角平分线， ∴IF=IH=IG， ∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI， 即 = ×6•IF+ ×5•IG+ ×4•IH， ∴3•IF+ •IF+2•IF= ， 解得IF= ， 故I到AB的距离为 【知识点】二次根式的应用 【解析】【分析】（2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；（3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF=IH=IG，再根据S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的长． 23．【答案】（1）2；-3 （2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 , ∵ ， ∴ ， 当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去）， ∴ =4， ∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米； （3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ， ∵ 、 的面积分别是8和14， ∴OA= ，OC= ， ∴AC=OA+OC= + ， ∴ ( + ) = + + ， ∵ ， ∴ + ， ∴ + + ， ∴四边形 面积的最小值 . 【知识点】二次根式的应用；完全平方式 【解析】【解答】（1）∵ ， ∴ ， ∴式子 的最小值为为2， 故答案为：2； ∵ ， ∴ ＞ ∴ ， 当且仅当， 时，等号成立， 解得 不符合题意，舍去，取 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时，式子 取到最大值， 故答案为：-3； 【分析】(1 )直接套公式计算, 取相反数后, 套用公式计算即可； (2 )设篱笆的长为x , 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可； (3)设点B到AC的距离BE=h1 , 点D到OC的距离DF=h2 , 用AC , h1 ,h2 ,表示四边形的面积，最后套用公式计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$