7.2.1 离散型随机变量 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分步 第七章 随机变量及其分步 课时1 离散型随机变量 复习回顾 1.随机试验是指满足下列三个条件的试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 2.样本点与样本空间的概念 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 复习旧知 2 新知探究 探究一：随机变量的概念 情境设置 问题1：掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2：掷在掷骰子和掷硬币的随机试验中，试验结果可以一一列举出来吗？若用𝑋 表示电灯泡的使用寿命，则𝑋 的值可以一一列举出来吗？ 3 新知生成 知识点一 随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点𝜔，都有唯一的实数𝑋(𝜔)与之对应，则称𝑋为随机变量. (1)随机变量的特点：①可以用数字表示； ②所有可能取值是明确的， ③在试验前不能确定取何值. (2)随机变量的表示：大写英文字母如X, Y, Z 随机变量的取值用小写英文字母如x, y, z (3)随机变量的作用：对随机试验的结果 “数量化”. 4 一、随机变量的概念 例题1 (1)若6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( ). A.取到产品的件数 B.取到正品的件数 C.取到正品的概率 D.取到次品的概率 (2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由. ①北京国际机场候机厅明天的旅客数量； ②2025年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； ③2025年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； ④体积为1 000 的球的半径长. 【解析】(1) A中取到的产品的件数是一个常量，C，D都是一个定值，而B中取到正 品的件数可能是0，1，2，故B是随机变量. (2)①旅客人数可能是0，1，2，⋯ ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量. ②所查酒驾的人数可能是0，1，2，⋯ ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量. ③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量. ④球的体积为1 000 时，球的半径为定值，不是随机变量. B 5 反思感悟 方法总结 随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，那么该变量为随机变量. 6 新知运用 跟踪训练1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由. (1)某天某公司客服接到咨询电话的个数； (2)标准大气压下，水沸腾的温度； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某人的一件作品获得的奖次； (4) 体积为 的正方体的棱长. 【解析】(1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2，⋯ ，出现哪一个结果是随机的， 因此是随机变量. (2)标准大气压下，水沸腾的温度为 ，是定值，所以不是随机变量. (3)获得的奖次可能是一、二、三等奖，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量. (4)体积为的正方体的棱长为 ,是定值，所以不是随机变量. 7 新知探究 探究二：离散型随机变量 情境设置 问题1：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为𝑋，则𝑋 取哪些值？ 问题2：抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为𝜉 ，则“𝜉≥4 ”表示的随机事件 是什么？ 8 新知生成 知识点二 离散型随机变量 1.定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 2.特征: (1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出. 9 二、离散型随机变量 例2 (多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球， 个白球，每次从中摸1个球， 摸出后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次.设所得分数为随 机变量 ，若，则的取值可能为( ). A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】口袋中有大小、形状都相同的4个红球，𝑛 个白球，每次从中摸1个球，摸出后 再放回口袋中， 摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，又 表示这3次摸到的都是白球，且 ， ，解得 ， 的取值可能为3，4，5，6.故选 . BCD 10 反思感悟 方法总结 离散型随机变量判定的关键及方法 (1)关键：判断随机变量𝑋的所有取值是否可以一一列出. (2)具体方法： ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的试验结果数量化； ③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则该 随机变量是离散型随机变量，否则不是. 11 新知运用 跟踪训练2 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题.比赛规定：对于每一个题， 没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得−1分).若每个抢答题都有队伍抢答，𝑋 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则𝑋 的可能取值是__________. 【解析】𝑋=−1 表示甲队抢到1题且答错，乙队抢到2题均答错； 𝑋=0 表示甲队没有抢到题，乙队抢到3题且至少答错其中的2题或甲队抢到2题且答对 1题答错1题，乙队抢到1题且答错； 𝑋=1 表示甲队抢到1题且答对，乙队抢到2题且至少答错其中的1题或甲队抢到3题且 答对其中的2题，乙队没有抢到题； 𝑋=2 表示甲队抢到2题均答对； 𝑋=3 表示甲队抢到3题均答对. 故𝑋的可能取值是−1 ,0,1,2,3. ,0,1,2,3 12 新知探究 探究三：随机变量之间的关系 情境设置 一个袋中装有8个红球、3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为𝑋 . 问题：若规定取出一个红球积2分，而取出一个白球扣1分，以𝜉 表示累积得分，则结 果如何？ 设B=“任取一个零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1, 13 新知生成 知识点三 随机变量之间的关系 一般地，如果𝑋是一个随机变量，𝑎，𝑏是常数且𝑎≠0，那么𝑌=𝑎𝑋+𝑏 也是一个 随机变量.由于𝑋=𝑡的充要条件是𝑌=𝑎𝑡+𝑏，故 𝑃(𝑋=𝑡)=𝑃 (𝑌=𝑎𝑡+𝑏). 14 三、随机变量之间的关系 例3 一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中 所含白球的个数为𝑋 . (1)列表说明可能出现的结果与对应的𝑋 的值； (2)若规定取3个球，每取到1个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何 都加上6分，求最终得分𝑌的可能取值，并判定𝑌 的随机变量类型. 【解析】(1)可能出现的结果与对应的𝑋 的值如表所示： (2)由题意可得𝑌=5𝑋+6，而𝑋可能的取值为0，1，2，3，所以𝑌 对应的各值是6，11，16，21. 故𝑌的可能取值为6，11，16，21，显然𝑌 为离散型随机变量. X 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球2个黑球 取得2个白球1个黑球 取得3 个白球 15 新知运用 跟踪训练3 (1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量𝑋 表示一次试验的成功次数，则𝑋 的值可以是( ). A.2 B.1或2 C.0或1 D.0或1或2 (2)已知𝑌=2𝑋为离散型随机变量，𝑌的所有可能取值所构成的集合为{1 ，2，3，4，⋯ ，10}，则𝑋 的可能取值为_ ____________________________. 【解析】(1)这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对一次试验的成功次数没有影响，故𝑋 的可能取值有两种，即0,1. (2) 由，得 . 因为的取值为1，2，3，4， ，10， 所以对应的的取值为，1，，2，，3， ，4， ，5. ，1，，2，，3，，4，，5 C 16 随堂检测 1. 下列随机变量𝑋 不是离散型随机变量的是( ). A.某网站一天的点击量为𝑋 B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为𝑋 C.某电子元件的寿命为𝑋 D.某高中每年参加高考的人数为𝑋 2.袋中装有10个红球和5个黑球，每次从中随机摸取1个球，若取得黑球，则另换1个红 球放回袋中，直到取到红球为止.若摸球的次数为𝜉 ，则表示事件“放回5个红球”的是 ( ). A. B. C. D. 3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得2分，回答错误倒扣1 分.记选手甲回答这三个问题的总得分为𝜉 ，则𝜉 的所有可能取值构成的集合是______ _________. C C 17 随堂检测 4.已知随机变量的取值范围为，2，，且满足 ，随机变量 ，则 __. 【解析】 由题意可知 . 18 课堂小结 1.知识清单： (1)随机变量的概念； (2)离散型随机变量； (3)随机变量之间的关系. 19 $$