专题11 排列组合二项式（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题11 排列组合二项式（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·二模）3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（    ）种. A．6 B．24 C．64 D．81 2．（2025·上海奉贤·二模）下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 二、填空题 3．（2025·上海浦东·二模）在的展开式中，常数项为 . 4．（2025·上海崇明·二模）若，则 . 5．（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 6．（2025·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 7．（2025·上海嘉定·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 ． 8．（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 9．（2025·上海闵行·二模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答） 10．（2025·上海奉贤·二模）在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 11．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 12．（2025·上海普陀·二模）设，若的展开式中项的系数为10，则 . 13．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 14．（2025·上海松江·二模）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 15．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 16．（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 17．（2025·上海青浦·二模）的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是 . 18.（2025·上海虹口·二模）已知9个小球的编号为，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有　　种不同的摸取方法． 19.（2025·上海静安·二模）从个男生和个女生（）中任选 2 个人当队长，假设事件表示选出的 2人性别相同，事件表示选出的 2 人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，那么的可能值为　　． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题11 排列组合二项式（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·二模）3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（    ）种. A．6 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由分步乘法原理计算可得. 【详解】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种. 故选：C 2．（2025·上海奉贤·二模）下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 【答案】A 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：根据排列数、组合数公式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：A. 二、填空题 3．（2025·上海浦东·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】-252 【分析】用二项式定理即可. 【详解】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数， ，r=5， 其常数项系数为=-252.， 故答案为：-252. 4．（2025·上海崇明·二模）若，则 . 【答案】/ 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，即. 故答案为： 5．（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 6．（2025·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 【答案】15 【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为： 当时， 常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 7．（2025·上海嘉定·二模）在的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案】60 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以二项式的展开式中的常数项为. 故答案为：60. 8．（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 【答案】/0.2 【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个， 其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共， 故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为. 故答案为：. 9．（2025·上海闵行·二模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答） 【答案】160 【分析】由二项展开式的通项令计算即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以常数项为. 故答案为：160. 10．（2025·上海奉贤·二模）在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 11．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】利用二项式定理求出展开式中的项，再由给定的系数求出值. 【详解】展开式中的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 12．（2025·上海普陀·二模）设，若的展开式中项的系数为10，则 . 【答案】2 【分析】根据二项式定理求项的系数即可. 【详解】项为， 由. 故答案为：2 13．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【答案】135 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 14．（2025·上海松江·二模）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 【答案】12 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 15．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 16．（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 【答案】 【分析】利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可. 【详解】分四类讨论： ①当时，有6种情况； ②当时， 若，有5种选法； 若，有4种选法； 若，有3种选法； 若，有2种选法； 若，有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ③当时， 若，选择有5种选法； 若，选择有4种选法； 若，选择有3种选法； 若，选择有2种选法； 若，选择有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ④当时，有种， 综上，共有种. 故答案为：56. 17．（2025·上海青浦·二模）的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是 . 【答案】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】根据二项式展开式的通项公式 则展开式中项为 又，则该项为， 已知项的系数是20，则，即， 解得. 故答案为： 18.（2025·上海虹口·二模）已知9个小球的编号为，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有　　种不同的摸取方法． 【解析】若公差为0，有9个， 若公差为1，有，共7个， 若公差为2，有，共5个， 若公差为3，有，共3个， 若公差为4，有，共1个， 再考虑摸球顺序种不同的摸取方法． 【注】注意“依次”这个词． 19.（2025·上海静安·二模）从个男生和个女生（）中任选 2 个人当队长，假设事件表示选出的 2人性别相同，事件表示选出的 2 人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，那么的可能值为　　． 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以， 则或9（舍去），所以． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$