第20章 数据的分析（思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第20章 数据的分析 （思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：统计量的选择与适用场景 4 易错知识点02：中位数与极差的计算细节 5 易错知识点03：方差与标准差的计算陷阱 5 易错知识点04：统计概念的实际应用误区 5 易错知识点05：综合应用题易错点 6 期末真题汇编考点讲练 6 期末考向一：数据的集中趋势 6 重点考点讲练01：已知平均数求未知数据的值 6 重点考点讲练02：利用已知的平均数求相关数据的平均数 7 重点考点讲练03：求加权平均数 7 重点考点讲练04：利用加权平均数求未知数据的值 9 重点考点讲练05：运用加权平均数做决策 10 重点考点讲练06：利用中位数求未知数据的值 11 重点考点讲练07：利用众数求未知数据的值 11 期末考向二：数据的波动程度 12 重点考点讲练08：利用方差求未知数据的值 12 重点考点讲练09：求极差 12 重点考点讲练10：标准差 14 优选真题难度分层练 14 中档题—夯实基础能力 14 压轴题—强化解题技能 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【细节剖析】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【细节剖析】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点梳理02：中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【细节剖析】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【细节剖析】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点梳理04：极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【细节剖析】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【细节剖析】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 知识点梳理06：极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点梳理06：用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【细节剖析】（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 易错知识点01：统计量的选择与适用场景 1. 平均数、中位数、众数的混淆 错误表现：当数据中存在极端值时，仍用平均数描述整体趋势。例如：数据组 1,2,3,4,1001, 2, 3, 4, 1001,2,3,4,100，平均数为22，但中位数3更能反映集中趋势。 正确方法： 平均数：所有数据参与计算，对极端值敏感。 中位数：适用于数据分布偏斜或有极端值的情况，仅与中间位置有关。 众数：适用于数据有多个重复值（如分类数据），可存在多个众数或无众数。 2. 加权平均数的权重忽略 错误表现：直接计算算术平均数，未考虑频数或权重。例如：成绩为 7.5,8.5,9,107.5, 8.5, 9, 107.5,8.5,9,10，频数为 2,2,3,32, 2, 3, 32,2,3,3，正确加权平均数为(7.5×2+8.5×2+9×3+10×3)/10=8.9 (7.5×2 + 8.5×2 + 9×3 + 10×3)/10 = 8.9 (7.5×2+8.5×2+9×3+10×3)/10=8.9，而非简单平均8.75。 关键点：加权平均数中，每个数据需乘以其权重（频数）后再求和。 易错知识点02：中位数与极差的计算细节 1. 中位数的位置错误 错误表现：偶数个数据时，未取中间两数的平均值。例如：数据组 160,165,168,170,175,180160, 165, 168, 170, 175, 180160,165,168,170,175,180，中位数为(168+170)/2=169 (168 + 170)/2 = 169 (168+170)/2=169，而非单独某个数。 步骤：先排序数据，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的均值。 2. 极差计算的遗漏 错误表现：未正确找出最大值与最小值，或误认为极差反映数据波动细节。例如：数据组 5,7,6,3,45, 7, 6, 3, 45,7,6,3,4的极差为 7-3=4 ，但极差仅反映范围，无法体现内部波动。 易错知识点03：方差与标准差的计算陷阱 1. 方差公式的步骤错误 错误表现：未先求平均数直接计算，或漏掉平方步骤。例如：数据组 85,90,95,100,10585, 90, 95, 100, 10585,90,95,100,105的平均数为95，方差为(85−95)2+⋯+(105−95)25=50 \frac{(85-95)^2 + \cdots + (105-95)^2}{5} = 50 5(85−95)2+⋯+(105−95)2​=50，而非直接求差后平均。 关键步骤： （1）求平均数； （2）计算每个数据与平均数的差的平方； （3）求这些平方差的平均数。 2. 方差与标准差的混淆 错误表现：将方差误认为标准差，或混淆两者的单位（方差单位是原数据的平方）。例如：方差为50，标准差为50≈7.07 \sqrt{50} ≈ 7.07 50​≈7.07。 易错知识点04：统计概念的实际应用误区 1. 众数的多解或误解 错误表现：认为众数必须唯一。例如：数据组 1,2,2,3,31, 2, 2, 3, 31,2,2,3,3的众数是2和3；若所有数据出现次数相同，则无众数。 2. 总体、样本与个体的混淆 错误表现：将样本容量误认为样本数量。例如：调查某校800名学生视力，抽取50名学生，总体是800名学生，样本是50名学生，样本容量是50。 易错知识点05：综合应用题易错点 1. 统计量的实际意义分析 错误表现：仅计算统计量，未结合问题背景解释。例如：比较两个班级成绩稳定性时，需通过方差说明，而非仅比较平均数。 2. 统计步骤的遗漏 错误表现：忽略数据收集、整理、分析的全过程。例如：调查问卷设计后需收集数据，整理成表格，再计算统计量。 期末考向一：数据的集中趋势 重点考点讲练01：已知平均数求未知数据的值 【母题精讲】（21-22八年级下·浙江衢州·期末）北京冬奥会女子大跳台决赛的打分规则；6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩余4个分数的平均值为该选手成绩．下表是中国选手谷爱凌第一跳的得分情况，其中裁判4，裁判5的打分（分别为94分和a分）被去除． 裁判1 裁判2 裁判3 裁判4 裁判5 裁判6 成绩 94分 94分 94分 b分 93.75分 请根据表中信息，解决以下问题； (1)求b的值． (2)判断a是否最低分并说明理由． (3)从平均数的特征说说打分规则中去除一个最高分及一个最低分的合理性． 【训练1】-3，-2，4，x，5，8这六个数的平均数是3，则x的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【训练2】（20-21八年级下·江西宜春·期末）已知一组数据1、3、5、、8的平均数是5，则的值等于 ． 重点考点讲练02：利用已知的平均数求相关数据的平均数 【母题精讲】（23-24八年级下·广东中山·期末）现有若干个球，从中取出x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为，若再放入一个 的球，此时箱子里球的平均质量变为，则x的值是 ． 【训练1】（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是 【训练2】（20-21八年级下·河南周口·期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是﹣2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是 ． 重点考点讲练03：求加权平均数 【母题精讲】（23-24八年级下·天津西青·期末）小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为 分． 【训练1】（23-24九年级下·吉林·阶段练习），，三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和面试成绩（单位：分）如下： 三位候选人的成绩 笔试 85 95 90 面试 90 80 85 (1)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况用扇形图表示（没有弃权票，每名学生只能投一票），请计算每人的得票数． (2)若每票计1分，系里将笔试、面试、得票三项得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最终成绩，并根据成绩判断谁能当选． 【训练2】（2024·河南周口·三模）每年的4月23日是“世界读书日”，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，呼吁所有人保护知识产权，八年级（1）班根据学生的阅读喜好，设立了四个读书兴趣小组，学生人数的分布情况如图，对这四个小组学生2024年以来所读课外书情况进行调查后，制成各小组读书情况的条形统计图11．根据题图中的信息，请回答下列问题： (1)八年级（1）班的总人数是 ； (2)请计算八（1）班平均每人读书的本数； (3)据调查，全校学生同期课外书的人均阅读量为4.78本，请对八年级（1）班学生的阅读情况进行分析评价． 重点考点讲练04：利用加权平均数求未知数据的值 【母题精讲】（2022·河南·中考真题）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 【训练1】（22-23八年级·山东青岛·期末）下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则x＝ ． 【训练2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元检测 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 (1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； (2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 重点考点讲练05：运用加权平均数做决策 【母题精讲】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、经验、能力这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用，甲、乙测试成绩如下表： 应聘者 学历成绩 经验成绩 能力成绩 甲 8 8 5 乙 6 6 8 (1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁： (2)若将甲，乙的三项测试成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并指出会录用谁． 【训练1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 【训练2】（23-24八年级上·山西忻州·期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）： 项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验 甲 乙 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”； (2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”． 重点考点讲练06：利用中位数求未知数据的值 【母题精讲】（24-25八年级上·福建宁德·期末）某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（   ） A．28 B．36 C．44 D．48 【训练1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）一组数据的中位数是，则的最大值为 ． 【训练2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 重点考点讲练07：利用众数求未知数据的值 【母题精讲】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在一次引体向上测试中，某小组名男生的成绩分别为：，，，，，，，，若这组数据的唯一众数为，则这组数据的中位数为 ． 【训练1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于 ． 成绩（分） 20 30 40 50 60 70 90 100 次数（人） 2 3 5 6 3 4 【训练2】（22-23八年级上·山东烟台·期中）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 期末考向二：数据的波动程度 重点考点讲练08：利用方差求未知数据的值 【母题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【训练1】（23-24八年级下·北京通州·期末）已知一组数据的方差：，那么的值为 ． 【训练2】（22-23八年级下·山东济宁·期末）对一组样本数据进行分析时，列出的方差计算公式为：，下面结论错误的是（    ） A．众数是6 B．方差是3.6 C．平均数是8 D．中位数是8.5 重点考点讲练09：求极差 【母题精讲】（23-24八年级下·江西宜春·期末）若一组数据5，3，4，x的极差为3，求x的值及这组数据的平均数． 【训练1】（22-23八年级下·河南驻马店·期末）为了让师生更规范地操作教室里的一体机设备，学校信息中心制作了“教室一体机设备培训”视频，并在视频课时间进行播放．结束后为了解初一、初二各班一体机管理员对设备操作知识的掌握程度，信息中心对他们进行了相关的知识测试现从初一、初二年级各随机抽取了15名一体机管理员的成绩，得分用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初一年级一体机管理员的测试成绩在C组中的数据为：85，81，88． 初二年级一体机管理员的测试成绩：71，76，81，82，83，86，86，88，89，90，93，95，100，100，100．    成绩统计表如表： （注：极差为样本中最大数据与最小数据差） 年级 平均数 中位数 最高分 众数 极差 初一 88 a 98 98 32 初二 88 88 100 b c (1)_______，_______，_______； (2)通过以上数据分析，你认为哪个年级的一体机管理员对一体机设备操作的知识掌握更好？并说明理由（写出一条理由即可）． 【训练2】（22-23八年级下·重庆永川·期末）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（　　） A．中位数是65 B．众数是70 C．平均数是70 D．极差是15 重点考点讲练10：标准差 【母题精讲】（23-24八年级上·山东济南·期末）已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 【训练1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示： 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 8.7 8.7 9.1 9.1 标准差（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【训练2】（2022·山东泰安·二模）泰安市某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解九年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示，下列说法正确的是（    ） 自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5 人数/人 1 2 4 2 1 A．本次调查学生自主学习时间的中位数是4 B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1 C．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 D．本次调查学生自主学习时间的标准差是 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）徐叶同学在处理一组数据“12，12，19，22，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，该校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（    ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是95、80、85，则她这学期期末数学总评成绩是 5．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）某部队一军人在一次射击训练时，连续次的成绩为次环，次环，次环，则该军人这次射击的平均成绩为 环． 6．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得分（综合荣誉）和分（现场演讲）的成绩，则小明的最终成绩为 分． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按，，的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 班级 测试成绩/分 总评成绩/分 服装统一 进退场有序 动作规范整齐 八年级（1）班 82 72 80 78 八年级（2）班 80 84 ▲ ▲ (1)在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算八年级（2）班的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年11月8日，深圳市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：分）： 八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 0.8 九年级 8 8.5 1.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，_____； (2)综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由． (3)若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？ 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下． 甲组学生的成绩．5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 根据以上信息．整理分析数据如下． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c (1)填空______，_______，_______； (2)若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 12．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（　　） A．中位数一定是2 B．众数一定是2 C．方差一定小于2 D．方差一定大于1 13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列说法正确的是（ ） A．有意义的取值范围是 B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越小 C．若，则的补角为 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 14．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）生物实验小组探究种子萌发最适宜的条件，在常温下准备四个培养皿，每个培养皿中各种植 粒种子，其出芽情况如下表所示： 培养皿 Ⅰ号 Ⅱ号 Ⅲ号 Ⅳ号 发芽种子数 为整体考察该种子出芽是否整齐，可计算四个培养器皿种子发芽数的方差是 ． 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是 分． 16．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 17．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计表： 成绩（环） 甲次数（次） 乙次数（次） (1)经过整理，得到的分析数据如表，求表中的，，的值． 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (2)根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队应选派谁参加比赛？请你写出一条理由． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，从甲、乙两组参赛学生中各随机抽取了10名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，满分为10分）统计，整理如下： 甲组抽取的学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 甲、乙两组抽取的学生的成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲组 6.8 6 a 3.76 乙组 ________ b 7 1.16 (1)将图中的条形统计图补充完整，统计表中 ， ； (2)求乙组所抽取学生的比赛成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在“朗诵”比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 19．（24-25八年级上·山西太原·期末）近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 a 6 6 b 花小猪 6 c d (1)求表格中a和b的值； (2)直接写出表格中c和d的值； (3)根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 20．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）东港市某学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)求这次一共调查的学生人数并补全条形统计图； (2)所调查学生读书本数的众数是______本，中位数是______本； (3)若该校有名学生，请你估计该校学生这学期阅读3本课外书的学生数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第20章 数据的分析 （思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：统计量的选择与适用场景 4 易错知识点02：中位数与极差的计算细节 5 易错知识点03：方差与标准差的计算陷阱 5 易错知识点04：统计概念的实际应用误区 5 易错知识点05：综合应用题易错点 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：数据的集中趋势 6 重点考点讲练01：已知平均数求未知数据的值 6 重点考点讲练02：利用已知的平均数求相关数据的平均数 7 重点考点讲练03：求加权平均数 9 重点考点讲练04：利用加权平均数求未知数据的值 11 重点考点讲练05：运用加权平均数做决策 13 重点考点讲练06：利用中位数求未知数据的值 15 重点考点讲练07：利用众数求未知数据的值 17 期末考向二：数据的波动程度 18 重点考点讲练08：利用方差求未知数据的值 18 重点考点讲练09：求极差 19 重点考点讲练10：标准差 21 优选真题难度分层练 23 中档题—夯实基础能力 23 压轴题—强化解题技能 30 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【细节剖析】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【细节剖析】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点梳理02：中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【细节剖析】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【细节剖析】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点梳理04：极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【细节剖析】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【细节剖析】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 知识点梳理06：极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点梳理06：用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【细节剖析】（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 易错知识点01：统计量的选择与适用场景 1. 平均数、中位数、众数的混淆 错误表现：当数据中存在极端值时，仍用平均数描述整体趋势。例如：数据组 1,2,3,4,1001, 2, 3, 4, 1001,2,3,4,100，平均数为22，但中位数3更能反映集中趋势。 正确方法： 平均数：所有数据参与计算，对极端值敏感。 中位数：适用于数据分布偏斜或有极端值的情况，仅与中间位置有关。 众数：适用于数据有多个重复值（如分类数据），可存在多个众数或无众数。 2. 加权平均数的权重忽略 错误表现：直接计算算术平均数，未考虑频数或权重。例如：成绩为 7.5,8.5,9,107.5, 8.5, 9, 107.5,8.5,9,10，频数为 2,2,3,32, 2, 3, 32,2,3,3，正确加权平均数为(7.5×2+8.5×2+9×3+10×3)/10=8.9 (7.5×2 + 8.5×2 + 9×3 + 10×3)/10 = 8.9 (7.5×2+8.5×2+9×3+10×3)/10=8.9，而非简单平均8.75。 关键点：加权平均数中，每个数据需乘以其权重（频数）后再求和。 易错知识点02：中位数与极差的计算细节 1. 中位数的位置错误 错误表现：偶数个数据时，未取中间两数的平均值。例如：数据组 160,165,168,170,175,180160, 165, 168, 170, 175, 180160,165,168,170,175,180，中位数为(168+170)/2=169 (168 + 170)/2 = 169 (168+170)/2=169，而非单独某个数。 步骤：先排序数据，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的均值。 2. 极差计算的遗漏 错误表现：未正确找出最大值与最小值，或误认为极差反映数据波动细节。例如：数据组 5,7,6,3,45, 7, 6, 3, 45,7,6,3,4的极差为 7-3=4 ，但极差仅反映范围，无法体现内部波动。 易错知识点03：方差与标准差的计算陷阱 1. 方差公式的步骤错误 错误表现：未先求平均数直接计算，或漏掉平方步骤。例如：数据组 85,90,95,100,10585, 90, 95, 100, 10585,90,95,100,105的平均数为95，方差为(85−95)2+⋯+(105−95)25=50 \frac{(85-95)^2 + \cdots + (105-95)^2}{5} = 50 5(85−95)2+⋯+(105−95)2​=50，而非直接求差后平均。 关键步骤： （1）求平均数； （2）计算每个数据与平均数的差的平方； （3）求这些平方差的平均数。 2. 方差与标准差的混淆 错误表现：将方差误认为标准差，或混淆两者的单位（方差单位是原数据的平方）。例如：方差为50，标准差为50≈7.07 \sqrt{50} ≈ 7.07 50​≈7.07。 易错知识点04：统计概念的实际应用误区 1. 众数的多解或误解 错误表现：认为众数必须唯一。例如：数据组 1,2,2,3,31, 2, 2, 3, 31,2,2,3,3的众数是2和3；若所有数据出现次数相同，则无众数。 2. 总体、样本与个体的混淆 错误表现：将样本容量误认为样本数量。例如：调查某校800名学生视力，抽取50名学生，总体是800名学生，样本是50名学生，样本容量是50。 易错知识点05：综合应用题易错点 1. 统计量的实际意义分析 错误表现：仅计算统计量，未结合问题背景解释。例如：比较两个班级成绩稳定性时，需通过方差说明，而非仅比较平均数。 2. 统计步骤的遗漏 错误表现：忽略数据收集、整理、分析的全过程。例如：调查问卷设计后需收集数据，整理成表格，再计算统计量。 期末考向一：数据的集中趋势 重点考点讲练01：已知平均数求未知数据的值 【母题精讲】（21-22八年级下·浙江衢州·期末）北京冬奥会女子大跳台决赛的打分规则；6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩余4个分数的平均值为该选手成绩．下表是中国选手谷爱凌第一跳的得分情况，其中裁判4，裁判5的打分（分别为94分和a分）被去除． 裁判1 裁判2 裁判3 裁判4 裁判5 裁判6 成绩 94分 94分 94分 b分 93.75分 请根据表中信息，解决以下问题； (1)求b的值． (2)判断a是否最低分并说明理由． (3)从平均数的特征说说打分规则中去除一个最高分及一个最低分的合理性． 【答案】(1)93 (2)a是最低分，只有当a≤93符合题意，否则就不满足平均数是93.75，且去掉的是94分和a分； (3)由于平均数容易受到极端值的影响而发生变化，因此去除一个最高分及一个最低分可以避免平均数受极端值的影响． 【思路点拨】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据计算成绩的方法进行判断即可； （3）根据影响平均数的因素进行判断即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得b=93， 答：b的值为93； （2）解：a是最低分，由题意可知a≤93，否则就不满足平均数是93.75，且去掉的是94分和a分； （3）解：由于平均数容易受到极端值的影响而发生变化，因此去除一个最高分及一个最低分可以避免平均数受极端值的影响． 【训练1】-3，-2，4，x，5，8这六个数的平均数是3，则x的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路点拨】根据求平均数的公式列出算式，即可求出的值． 【规范解答】解：，，4，，5，8这六个数的平均数是3， ， 解得：； 故选：． 【训练2】（20-21八年级下·江西宜春·期末）已知一组数据1、3、5、、8的平均数是5，则的值等于 ． 【答案】8 【思路点拨】利用平均数的定义，列出方程即可求解． 【规范解答】解：∵数据1、3、5、、8的平均数是5， ∴， ∴x=8． 故答案为：8． 重点考点讲练02：利用已知的平均数求相关数据的平均数 【母题精讲】（23-24八年级下·广东中山·期末）现有若干个球，从中取出x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为，若再放入一个 的球，此时箱子里球的平均质量变为，则x的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，平均数概念，先利用不同的方式表示出箱子里球的总重量列出方程，再求出解，即可解题． 【规范解答】解：由题知，， 解得， 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是 【答案】13 【思路点拨】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键．先根据a，b，c，d的平均数是6，求出，再用平均数定义求转化为整体代入即可． 【规范解答】解∵a，b，c，d的平均数是6， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：13． 【训练2】（20-21八年级下·河南周口·期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是﹣2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是 ． 【答案】-4 【思路点拨】根据数据：x1，x2，…，xn的平均数是－２，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×（﹣2）＝﹣6，再根据每个数据都加2，即可得出数据：3x1+2，3x2+2，…3xn+2的平均数． 【规范解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是﹣2， ∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×（﹣2）＝﹣6， ∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是﹣6+2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 重点考点讲练03：求加权平均数 【母题精讲】（23-24八年级下·天津西青·期末）小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为 分． 【答案】86 【思路点拨】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【规范解答】解：小丽的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：． 【训练1】（23-24九年级下·吉林·阶段练习），，三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和面试成绩（单位：分）如下： 三位候选人的成绩 笔试 85 95 90 面试 90 80 85 (1)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况用扇形图表示（没有弃权票，每名学生只能投一票），请计算每人的得票数． (2)若每票计1分，系里将笔试、面试、得票三项得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最终成绩，并根据成绩判断谁能当选． 【答案】(1)的得票数为票；的得票数票；的得票数为票 (2)的最终得分为分，的最终得分为分，的最终得分为分，当选 【思路点拨】本题考查了扇形统计图的知识，求加权平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用300分别乘以扇形统计图中各学生的百分数额得到各自的票数； （2）利用加权平均数的计算方法求出、、的最终成绩，比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：的得票数（票）， 的得票数（票）， 的得票数（票）； （2）解：的最终得分（分）， 的最终得分（分）， 的最终得分（分）， ∵， ∴当选． 【训练2】（2024·河南周口·三模）每年的4月23日是“世界读书日”，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，呼吁所有人保护知识产权，八年级（1）班根据学生的阅读喜好，设立了四个读书兴趣小组，学生人数的分布情况如图，对这四个小组学生2024年以来所读课外书情况进行调查后，制成各小组读书情况的条形统计图11．根据题图中的信息，请回答下列问题： (1)八年级（1）班的总人数是 ； (2)请计算八（1）班平均每人读书的本数； (3)据调查，全校学生同期课外书的人均阅读量为4.78本，请对八年级（1）班学生的阅读情况进行分析评价． 【答案】(1)50 (2)6 (3)八（1）班平均每人读书的本数为6本，超过了全校的平均水平，说明该班学生阅读兴趣浓厚；四个读书小组的人均阅读量参差不齐，第三小组偏低，可具体了解第三小组学生寒假期间的生活安排，进行正确引导（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，平均数，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息． （1）根据一组的人数及所占百分比即可求解； （2）根据总人数及二组所占百分比求出二组的人数，再求出四组的人数，即可求解； （3）结合统计图中数据进行分析评价即可． 【规范解答】（1）解：八年级（1）班的总人数是（人）， 故答案为：50； （2）解：二组人数为（人）， 四组人数为（人）， ∴八（1）班平均每人读书的本数为（本） （3）解：八（1）班平均每人读书的本数为6本，超过了全校的平均水平，说明该班学生阅读兴趣浓厚；四个读书小组的人均阅读量参差不齐，第三小组偏低，可具体了解第三小组学生寒假期间的生活安排，进行正确引导． 重点考点讲练04：利用加权平均数求未知数据的值 【母题精讲】（2022·河南·中考真题）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 【答案】C 【思路点拨】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【规范解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元）， 故选C． 【训练1】（22-23八年级·山东青岛·期末）下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则x＝ ． 【答案】3 【思路点拨】利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【规范解答】解：由题意，得70+80×3+90x+100＝85×(1+3+x+1)， 解得x＝3． 故答案为3． 【训练2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元检测 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 (1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； (2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】(1)80分 (2)小王在期末应该至少考85分才能达到优秀 【思路点拨】本题主要考查了平均数、加权平均数、解分式方程等知识点，掌握平均数、加权平均数的定义成为解题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）先根据小张期末评价成绩及小张三项成绩求出期末考试成绩的权重．根据加权平均数列一元一次不等式求解即可． 【规范解答】（1）解:小张的期末评价成绩． 答：小张的期末评价成绩是80分． （2）解：由题意可得：，解得：， 经检查，是所列方程的解． 设小王期末考试分数为x，依题意得： ， 解得：． 答：小王在期末应该至少考85分才能达到优秀． 重点考点讲练05：运用加权平均数做决策 【母题精讲】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、经验、能力这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用，甲、乙测试成绩如下表： 应聘者 学历成绩 经验成绩 能力成绩 甲 8 8 5 乙 6 6 8 (1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁： (2)若将甲，乙的三项测试成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并指出会录用谁． 【答案】(1)甲三项成绩之和：分，乙三项成绩之和：分，会录用甲 (2)甲三项成绩之和：分，乙三项成绩之和：分，会录用乙 【思路点拨】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析． （1）分别把甲、乙二人的成绩和求出，即可进行判断； （2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可． 【规范解答】（1）解：由题得，甲三项成绩之和：（分）， 乙三项成绩之和：（分）， ， 会录用甲； （2）解：甲三项成绩之和：（分）， 乙三项成绩之和：（分）， ， 会录用乙． 【训练1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取 (2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取 【思路点拨】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算． （1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【规范解答】（1）小明的平均成绩是：（分， 小张的平均成绩是：（分， ， 从他们的成绩看，小明将被录取； 故答案为：小明； （2）小明的平均成绩（分， 小张的平均成绩（分， 小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取． 【训练2】（23-24八年级上·山西忻州·期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）： 项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验 甲 乙 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”； (2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”． 【答案】(1)乙； (2)甲． 【思路点拨】（）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； （）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； 本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，掌握算术平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：甲的平均分为， 乙的平均分为， ∵， ∴乙将成为“小青荷”； （2）解：甲的平均分为， 乙的平均分为， ∵， ∴甲将成为“小青荷”． 重点考点讲练06：利用中位数求未知数据的值 【母题精讲】（24-25八年级上·福建宁德·期末）某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（   ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【思路点拨】根据已知条件，确定捐款总额的范围，即可求解， 本题考查了中位数和众数，解题的关键是：正确理解中位数和众数． 【规范解答】解：由题意得：捐款数从小到大排列，第三个数是8，第四个和第五个都是10， ∵10是唯一的众数， ∴设第一个数为，第二个数为，则， ∴捐款总额， ∴捐款的总额可能是36元， 故选：B． 【训练1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）一组数据的中位数是，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了中位数的知识，“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，可得数据按大小排序后第三个数是，进而可得，据此即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵一组数据的中位数是， ∴数据按大小排序后第三个数是， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【训练2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【规范解答】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 重点考点讲练07：利用众数求未知数据的值 【母题精讲】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在一次引体向上测试中，某小组名男生的成绩分别为：，，，，，，，，若这组数据的唯一众数为，则这组数据的中位数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了众数，中位数的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据这组数据的唯一众数为，可得，再将数据从小到大的顺序排列后，得到中间位置的第四个数和第五个数的平均数即为中位数． 【规范解答】∵在这组数据，，，，，，，中，有唯一众数为， ∴， ∴这名男生的成绩从小到大的顺序排列后为，，，，，，，， 处于中间位置的第四个数和第五个数分别是，， ∴这组数据的中位数为， 故答案为． 【训练1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于 ． 成绩（分） 20 30 40 50 60 70 90 100 次数（人） 2 3 5 6 3 4 【答案】15 【思路点拨】由于全班共有38人，则，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出之值． 【规范解答】解：∵全班共有38人， ∴， ∵众数为50分， ∴， 当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意； 当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意； 同理当，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意． 则，． 则． 故答案为：15． 【训练2】（22-23八年级上·山东烟台·期中）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【思路点拨】根据中位数和众数的定义分析可得答案． 【规范解答】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10． 所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且， 当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时，， 所以这组数据可能的最大的和是． 故选：C． 期末考向二：数据的波动程度 重点考点讲练08：利用方差求未知数据的值 【母题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查方差，算术平均数，由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6，再根据算术平均数的定义可得答案． 【规范解答】解：由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6， ， ， 故答案为：9． 【训练1】（23-24八年级下·北京通州·期末）已知一组数据的方差：，那么的值为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案． 【规范解答】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5， ， 解得：， 故答案为：10 【训练2】（22-23八年级下·山东济宁·期末）对一组样本数据进行分析时，列出的方差计算公式为：，下面结论错误的是（    ） A．众数是6 B．方差是3.6 C．平均数是8 D．中位数是8.5 【答案】D 【思路点拨】由方差公式确定这组数据为6、6、8、9、11，再根据众数、中位数、平均数和方差的定义求解即可． 【规范解答】解：由方差的计算公式可知，这组数据为6、6、8、9、11， 所以这组数据的平均数为，众数为6，中位数为8， 方差为， 观察选项可知，D选项结论错误． 故选D． 重点考点讲练09：求极差 【母题精讲】（23-24八年级下·江西宜春·期末）若一组数据5，3，4，x的极差为3，求x的值及这组数据的平均数． 【答案】x的值为6或2；这组数据的平均数为或 【思路点拨】本题考查了极差的定义和算术平均数，根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可． 【规范解答】解：一组数据5，3，4，x的极差为3， 当x为最大值时，，则，平均数是：； 当x为最小值时，，解得：，平均数是：． x的值为6或2；这组数据的平均数为或． 【训练1】（22-23八年级下·河南驻马店·期末）为了让师生更规范地操作教室里的一体机设备，学校信息中心制作了“教室一体机设备培训”视频，并在视频课时间进行播放．结束后为了解初一、初二各班一体机管理员对设备操作知识的掌握程度，信息中心对他们进行了相关的知识测试现从初一、初二年级各随机抽取了15名一体机管理员的成绩，得分用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初一年级一体机管理员的测试成绩在C组中的数据为：85，81，88． 初二年级一体机管理员的测试成绩：71，76，81，82，83，86，86，88，89，90，93，95，100，100，100．    成绩统计表如表： （注：极差为样本中最大数据与最小数据差） 年级 平均数 中位数 最高分 众数 极差 初一 88 a 98 98 32 初二 88 88 100 b c (1)_______，_______，_______； (2)通过以上数据分析，你认为哪个年级的一体机管理员对一体机设备操作的知识掌握更好？并说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)，， (2)初二年级，见解析 【思路点拨】（1）由中位数定义，初一组中位数是从小到大排列的第8个数据，根据条形图可判断该数为组的第二个；初二组数据中出现次数最多的数为，最小数为71，最大数为100，根据定义求解； （2）根据平均数、众数、中位数的意义判断求解． 【规范解答】（1）由直方图可知，初一年级一体机管理员的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在组的第二个， 初一年级一体机机管理员的测试成绩在组中的数据为：，，， 中位数， 初二年级一体机管理员的测试成绩按从小到大排列是：，，，，，，，，，，，，，，， 众数，极差， 故答案为：，，；. （2）根据以上数据，我认为初二年级一体机管理员对设备操作的知识掌握更好． 理由：初一、初二两个年级的平均成绩一样，而初二年级的中位数、最高分、众数均高于初一年级，说明初二年级掌握更好 【训练2】（22-23八年级下·重庆永川·期末）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（　　） A．中位数是65 B．众数是70 C．平均数是70 D．极差是15 【答案】A 【思路点拨】根据中位数，众数，平均数，极差的计算公式计算即可． 【规范解答】解：∵65，65，70， 70，70，80， ∴众数是65，中位数是，极差为，平均数为， 故B，C，D正确，A错误， 故选A． 重点考点讲练10：标准差 【母题精讲】（23-24八年级上·山东济南·期末）已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了标准差，先求出四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【规范解答】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为， 则原数据的方差， 现在的方差， ， ∴数据的标准差为， 故答案为：． 【训练1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示： 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 8.7 8.7 9.1 9.1 标准差（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路点拨】先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案． 【规范解答】解：由图可知，丙和丁的平均成绩好， ∵丙的标准差小于丁的标准差， ∴丙的方差小于丁的方差， ∴若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择丙， 故选：C． 【训练2】（2022·山东泰安·二模）泰安市某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解九年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示，下列说法正确的是（    ） 自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5 人数/人 1 2 4 2 1 A．本次调查学生自主学习时间的中位数是4 B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1 C．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 D．本次调查学生自主学习时间的标准差是 【答案】C 【思路点拨】根据中位数的含义可判断A，根据平均数的含义可判断B，根据方差的含义可判断C，根据标准差的含义可判断D，从而可得答案． 【规范解答】解：A、由题意可知，本次调查学生自主学习时间的中位数是，故该说法不符合题意； B、本次调查学生自主学习时间的平均数是（1×0.5+2×1+4×1.5+2×2+1×2.5）÷10=1.5，故该说法不符合题意； C、本次调查学生自主学习时间的方差是： ，故该说法符合题意； D、本次调查学生自主学习时间的标准差是，故该说法不符合题意； 故选：C． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）徐叶同学在处理一组数据“12，12，19，22，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得． 【规范解答】解：∵“■”在范围内无论为何值，将这组数据按从小到大进行排序后，第3个数都是19， ∴“■”在范围内无论为何值，这组数据的中位数都是19，即不影响这组数据的中位数， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【规范解答】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，该校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（    ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【答案】B 【思路点拨】本题考查了中位数．根据按大小排列的数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可． 【规范解答】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， 中间数据是79， 故中位数是79． 故选：B． 4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是95、80、85，则她这学期期末数学总评成绩是 【答案】91 【思路点拨】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的算法计算，即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：她这学期的期末数学总评成绩是． 故答案为：91． 5．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）某部队一军人在一次射击训练时，连续次的成绩为次环，次环，次环，则该军人这次射击的平均成绩为 环． 【答案】9.3 【思路点拨】本题考查加权平均数．根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得该军人这10次射击的平均成绩． 【规范解答】解： （环， 即该军人这10次射击的平均成绩为9.3环， 故答案为：9.3． 6．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得分（综合荣誉）和分（现场演讲）的成绩，则小明的最终成绩为 分． 【答案】 【思路点拨】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键． 根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【规范解答】解：小明的最终比赛成绩为：（分）， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按，，的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 班级 测试成绩/分 总评成绩/分 服装统一 进退场有序 动作规范整齐 八年级（1）班 82 72 80 78 八年级（2）班 80 84 ▲ ▲ (1)在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算八年级（2）班的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由． 【答案】(1)82；82；82 (2)八年级（2）班的总评成绩为分 (3)八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选 【思路点拨】本题考查求平均数、中位数，众数，加权平均数： （1）根据中位数和众数、平均数的计算方法，进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）根据直方图及两个班的总评成绩进行判断即可． 【规范解答】（1）解：将数据排序后：79，80，82，82，87，位于中间一位的是，故中位数为：分； 出现次数最多的是：82，故众数为：分； 平均数是分； （2）解：八年级（2）班的总评成绩为：（分）； 答：八年级（2）班的总评成绩为分； （3）解：八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选，理由如下： 由直方图可知：80分及以上的有14个班级， ∵八年级（2）班的总评成绩大于80分，八年级（1）班的总评成绩小于80分， 故八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数． 【答案】(1)， (2)答案不唯一，见解析 (3)人 【思路点拨】本题考查中位数、众数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案； （3）求出七年级不低于分的人数所占的百分比即可解答． 【规范解答】（1）解：由扇形统计图可得（分， 由条形统计图知七年级分出现的次数最多， ． 故答案为：，； （2）解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； 或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级， 所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）解：（人， 答：估计该校七年级成绩不低于分的学生人数为人． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年11月8日，深圳市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：分）： 八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 0.8 九年级 8 8.5 1.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，_____； (2)综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由． (3)若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)8，9 (2)九年级更好，见解析 (3)270人 【思路点拨】本题考查了求中位数，众数，平均数，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可； （3）用七、八年级的学生数分别乘以样本中优秀人数所占比例，再求和即可． 【规范解答】（1）解：将八年级10名同学的成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数都是8，所以中位数，九年级10名同学的成绩中最多的是9，所以众数； （2）解：从中位数来看，九年级更好； 或从众数来看，九年级更好； 或从方差来看，八年级更稳定，成绩更好． （3）解：（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有270人． 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下． 甲组学生的成绩．5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 根据以上信息．整理分析数据如下． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c (1)填空______，_______，_______； (2)若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6；7；2 (2)选乙组，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数、中位数、众数定义及方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6， ∴； 乙组中出现次数最多的是7， ， 乙组数据平均数， ； 故答案为：6；7；2； （2）解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的， ∴乙组的成绩较好， ∴选乙组． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 【答案】C 【思路点拨】本题考查众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图相关知识，根据众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图进行分析即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】由全班共有人，分和分的学生共有人，分学生超过人， ∵分学生的扇形统计图中对应的圆心角是钝角，而， ∴分学生人数大于等于人， ∵分和分的学生共有人，剩下四种分数的也有人，按照分数从小到大排序，则在第位和第位的是分和分， ∴中位数是分， 根据扇形统计图，只有分的是钝角，其余都是锐角，因此得分的人数最多，∴众数是分， 由分和分的学生共有人，分学生超过人，分学生人数大于等于人，因此分学生最少人，分学生最多人，分学生最少人，此时设分学生人，则分学生人，分学生： 人，平均数为 ， ∵， ∴平均数大于， ∴众数分，中位数分，平均数大于分， 故选：． 12．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（　　） A．中位数一定是2 B．众数一定是2 C．方差一定小于2 D．方差一定大于1 【答案】C 【思路点拨】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、方差的定义判断即可得出答案． 【规范解答】解：当这列数为1，1，1，3，4时，平均数为，中位数为，众数为1，方差为，故A、B不符合题意； 当这列数为2，2，2，2，2时，平均数为，中位数为2，众数为2，方差为，故D不符合题意； 故选：C． 13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列说法正确的是（ ） A．有意义的取值范围是 B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越小 C．若，则的补角为 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式、方差、互补角和平行四边形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式、方差、互补和平行四边形的判定依次判断即可． 【规范解答】解：、有意义的取值范围是，故不正确，不符合题意； 、一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故不正确，不符合题意； 、若，则的补角为，故不正确，不符合题意； 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，符合题意； 故选：． 14．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）生物实验小组探究种子萌发最适宜的条件，在常温下准备四个培养皿，每个培养皿中各种植 粒种子，其出芽情况如下表所示： 培养皿 Ⅰ号 Ⅱ号 Ⅲ号 Ⅳ号 发芽种子数 为整体考察该种子出芽是否整齐，可计算四个培养器皿种子发芽数的方差是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．据此解答即可． 【规范解答】解：∵四个培养器皿种子发芽数的平均数为：， ∴四个培养器皿种子发芽数的方差为：， ∴四个培养器皿种子发芽数的方差是， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是 分． 【答案】 【思路点拨】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【规范解答】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了方差的意义，方差是衡量一组数据的波动情况，掌握数据波动程度越大，方差越大成为解题的关键． 根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况即可判断方差大小． 【规范解答】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计表： 成绩（环） 甲次数（次） 乙次数（次） (1)经过整理，得到的分析数据如表，求表中的，，的值． 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (2)根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队应选派谁参加比赛？请你写出一条理由． 【答案】(1)，， (2)应该选派乙参加比赛，理由见解析 【思路点拨】本题考查了数据的集中趋势，涉及平均数、中位数、众数、方差等计算，解题的关键是理解平均数、中位数、众数、方差的实际意义． （1）根据加权平均数的公式、中位数的定义、方差的公式计算可得； （2）对比平均数、中位数、众数、方差，再根据中位数的意义得出选派乙的依据． 【规范解答】（1）解：乙的平均数为：， 乙的中位数为：， 甲的方差为： （2）应该选派乙参加比赛. 由于平均数相同，乙的中位数大于甲的中位数，根据中位数的意义，乙大于等于8分的次数比甲多；乙的方差小，成绩更稳定等（答案不唯一） 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，从甲、乙两组参赛学生中各随机抽取了10名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，满分为10分）统计，整理如下： 甲组抽取的学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 甲、乙两组抽取的学生的成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲组 6.8 6 a 3.76 乙组 ________ b 7 1.16 (1)将图中的条形统计图补充完整，统计表中 ， ； (2)求乙组所抽取学生的比赛成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在“朗诵”比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)见解析，6，7 (2)6.8分 (3)乙组学生的比赛成绩更好，因为两组学生比赛成绩的平均数相同，乙组的中位数和众数均高于甲组，且甲组的方差大于乙组的方差，所以乙组的成绩比较稳定 【思路点拨】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，方差的含义，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）结合频数分布直方图，中位数，平均数，众数的含义补全表格即可； （2）根据平均数计算公式代入数据计算即可； （3）根据中位数，平均数，方差的含义，比较即可解答． 【规范解答】（1）解：甲组成绩中，6分出现的次数最多，则； 乙组中得分为7分的人数为：（人）， 则乙组成绩从小到大排列为：， ∴乙组成绩中位数为，则； 如图，补全条形统计图， （2）解：（分）． 答：乙组所抽取学生的比赛成绩的平均数为6.8分； （3）解：乙组学生的比赛成绩更好． 理由：因为两组学生比赛成绩的平均数相同，乙组的中位数和众数均高于甲组，且甲组的方差大于乙组的方差，所以乙组的成绩比较稳定，故乙组学生的比赛成绩更好．（合理即可） 19．（24-25八年级上·山西太原·期末）近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 a 6 6 b 花小猪 6 c d (1)求表格中a和b的值； (2)直接写出表格中c和d的值； (3)根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】(1)5， (2)5，4 (3)选择滴滴，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了中位数、众数、方差等知识点，掌握中位数、众数、方差的定义和意义是解题的关键． （1）根据平均数与方差的定义求解即可； （2）根据中位数与众数的定义求解即可； （3）根据中位数与众数及方差的意义进行分析即可解答． 【规范解答】（1）解：， ． （2）解：将花小猪网约车网约车司机的收入从小到大排列，处于中间的两个数据为：4千元、6千元，则中位数（千元）； 花小猪网约车网约车司机的收入中收入最多的为4千元，故； （3）解：选择滴滴，理由如下： 因为两家公司的月收入平均数相同，而滴滴的中位数及众数均大于花小猪，方差小于花小猪． 20．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）东港市某学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)求这次一共调查的学生人数并补全条形统计图； (2)所调查学生读书本数的众数是______本，中位数是______本； (3)若该校有名学生，请你估计该校学生这学期阅读3本课外书的学生数． 【答案】(1)人，图见解析 (2)2，2； (3)人． 【思路点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识． （1）用5本的人数除以对应的百分比即可求出调查的学生数，用调查的学生数减去已知人数即可得到所调查学生读书本数为3的人数，补充条形统计图即可； （2）根据众数和中位数的概念解答即可； （3）用该校总人数乘以调查学生的本数为3的人数的占比即可． 【规范解答】（1）解：这次一共调查的学生人数为：（人）， 所调查学生读书本数为3的人数为：， 补全条形统计图如下： （2）∵这组样本数据中，2本出现了16次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为2本； ∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为2本， ∴这组数据的中位数是2本； 故答案为：2；2； （3）（人）， 答：估计该校学生这学期阅读3本课外书的学生数为人． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$