第09讲 相似三角形（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块三 三角形 第09讲 相似三角形 （思维导图+3考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 相似三角形 在广东中考中，涉及相似三角形的相关题目单独出题的可能性还是存在的，基础知识多以选择填空出现，解答难度对于大多数学生来说都比较容易，其中在解答题出现相似三角形的知识是最常见的，像结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也算是比较多，相似三角形的性质与判定的运用也属于是广东中考的必考点之一了. 考点一 比例 题型01 比例的相关定义及黄金分割 1．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 1.比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 2.判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 3.成比例的线段是有顺序的，要注意位置不能随意颠倒. 4.一天线段的黄金分割点有2个，黄金分割比为，近似值为0.618.题目中若没有要求时，一般都要用原值. 1．若，则 ． 2．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填： 3．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 题型02 平行线分线段成比例 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 2.当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 1．如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 考点二 相似三角形 题型01 相似三角形的性质与判定 1．（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　　 ． 3．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　 ． 4．（2024•广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 1、相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2、利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 3、判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 1．如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 题型02 相似三角形的应用 1、利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 1．如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    题型03 位似 1、位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 2、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个. 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      考点三 相似三角形综合 题型01 相似三角形综合 1．（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论： ①△ANH≌△GNF； ②∠AFN＝∠HFG； ③FN＝2NK； ④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024•广东）【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 1．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值．    2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$模块三 三角形 第09讲 相似三角形 （思维导图+3考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 相似三角形 在广东中考中，涉及相似三角形的相关题目单独出题的可能性还是存在的，基础知识多以选择填空出现，解答难度对于大多数学生来说都比较容易，其中在解答题出现相似三角形的知识是最常见的，像结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也算是比较多，相似三角形的性质与判定的运用也属于是广东中考的必考点之一了. 考点一 比例 题型01 比例的相关定义及黄金分割 1．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 【分析】根据黄金分割的定义，即可解答． 【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数， 故选：A． 1.比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 2.判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 3.成比例的线段是有顺序的，要注意位置不能随意颠倒. 4.一天线段的黄金分割点有2个，黄金分割比为，近似值为0.618.题目中若没有要求时，一般都要用原值. 1．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 2．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填： 【答案】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 题型02 平行线分线段成比例 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 2.当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 1．如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 3．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 考点二 相似三角形 题型01 相似三角形的性质与判定 1．（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比． 【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2． 故选：C． 2．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【解答】解：如图， ∵BF∥DE， ∴△ABF∽△ADE， ∴， ∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10， ∴， ∴BF＝2， ∴GF＝6﹣2＝4， ∵CK∥DE， ∴△ACK∽△ADE， ∴， ∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10， ∴， ∴CK＝5， ∴HK＝6﹣5＝1， ∴阴影梯形的面积（HK+GF）•GH （1+4）×6 ＝15． 故答案为：15． 3．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　 ． 【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB，，得出对应边之间关系，设BC＝4a，表示AB、DN、NA，BN，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可． 【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N， ∵DM∥BC， ∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM， ∴tan∠ACB，， 又∵∠ABC＝∠DAC＝90°， ∴∠BAC+∠NAD＝90°， ∵∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠NAD＝∠BCA， ∴△ABC∽△DAN， ∴， 设BC＝4a， 由得，DM＝3a， ∴AB＝2a，DNa，ANa， ∴NB＝AB+AN＝2aaa， ∴． 故答案为：． 4．（2024•广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 【分析】先根据BE＝3，EC＝6得出BC的长，进而可得出AB的长，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3+6＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵，， ∴， ∴△ABE∽△ECF． 1、相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2、利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 3、判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 1．如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键． 如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得 ，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长． 【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型02 相似三角形的应用 1、利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 1．如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    【答案】/ 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 题型03 位似 1、位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 2、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个. 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【答案】或/或 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 考点三 相似三角形综合 题型01 相似三角形综合 1．（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论： ①△ANH≌△GNF； ②∠AFN＝∠HFG； ③FN＝2NK； ④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到ANAG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2， ∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点， ∴AD＝4，AH＝2， ∠BAD＝90°， ∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG， ∵∠ANH＝∠GNF， ∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确； ∴∠AHN＝∠HFG， ∵AG＝FG＝2＝AH， ∴AFFGAH， ∴∠AFH≠∠AHF， ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵△ANH≌△GNF， ∴ANAG＝1， ∵GM＝BC＝4， ∴2， ∵∠HAN＝∠AGM＝90°， ∴△AHN∽△GMA， ∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠H NA， ∴AK＝NK， ∵AD∥GM， ∴∠HAK＝∠AMG， ∴∠AHK＝∠HAK， ∴AK＝HK， ∴AK＝HK＝NK， ∵FN＝HN， ∴FN＝2NK；故③正确； 方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2， ∵点P为对称中心， ∴GP， 又∵NK也是△AGP的中位线， ∴NK， 在Rt△FGN中，FN， ∴FN＝2NK，故③正确． ∵延长FG交DC于M， ∴四边形ADMG是矩形， ∴DM＝AG＝2， ∵S△AFNAN•FG2×1＝1，S△ADMAD•DM4×2＝4， ∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确， 故选：C． 2．（2024•广东）【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证； （2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证； （3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可． 【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠DEA＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCA， ∴AB＝BC． （2）证明：连接AA'， ∵旋转， ∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D， ∴， ∴△ADA′∽△CDC′， ∴， ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD＝BD，BF＝A'F， ∴DF是△AA'B的中位线， ∴AA'＝2DF， ∴， ∴2DF•CD＝BD•CC' （3）解：存在，理由如下， 解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN， ∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径， ∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°， ∴∠AGD+∠CGE＝180°， ∵tanB，BE＝3， ∴BD＝5， ∵CE， ∴ENCE， ∴BN＝BE+EN， ∵DE⊥CE， ∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外， 作NF⊥AB， ∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°， ∴△BDE∽△BNF， ∴， ∴NF，即NF＞rn， ∴AB在⊙N外， ∴G点在四边形ADEC内部． 作MH⊥BC， ∵BM，tanB， ∴BH，MH， ∴NH， ∴MN7.4＜AM+CN ∴⊙M和⊙N有交点． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 解法二：相似互补弓形， 分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求． 作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC， ②作AD的中垂线， ③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2， ④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求． 证明：∵， ∴△O2AD∽△OEC， ∴∠AO2D＝∠EOC， ∵∠AGD（360°﹣∠AO2D）＝180°∠AO2D， ∠EGC∠EOC， ∴∠AGD+∠EGC＝180°． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 1．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由折叠可得，可得点到点的距离恒为2，即可判断①；连接，由勾股定理得到在中，，由，即可判断③；达到最小值时，点在线段上，证得，得到，从而求得，通过即可判断④．在中，随着的增大而增大，而当最大时，有最大值，有最大值，此时点N与点D重合．过点作于点G，作于点P，可得四边形是矩形，因此，当取得最大值时，有最小值，在中，有最大值，有最大值，即可判断②． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； 如图， 达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④错误． 在中，，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合， 过点作于点G，作于点P， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当取得最大值时，也是最大值， ∵， ∴有最小值， ∴在中，有最大值， 即有最大值， ∴点到的距离最大．故②正确． 综上所述，正确的共有3个． 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 2．正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②；③． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． $$