1.1.2集合的基本关系导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

1.1.2集合的基本关系导学案 一、学习目标 1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集和真子集，能准确使用集合间基本关系的符号进行表示。 1. 掌握通过Venn图来直观表示集合间关系的方法，体会Venn图在分析和解决集合问题中的作用。 1. 了解空集的含义，明确空集与其他集合的关系，能正确处理涉及空集的集合问题。 1. 通过对集合基本关系的学习，培养逻辑思维能力和抽象概括能力，提升数学语言的表达和运用能力。 二、知识回顾 1. 集合的定义：一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 1. 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性。 1. 常用数集及其表示符号 · 自然数集：； · 正整数集：或； · 整数集：； · 有理数集：； · 实数集：。 1. 集合的表示方法 · 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。例如：。 · 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。一般形式为，其中是集合中的代表元素，是的取值范围，是满足的条件。例如：。 三、自主学习 （一）子集 1. 定义：一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集。 · 记作：（或），读作“包含于”（或“包含”）。 · 例如：若，，因为中的每一个元素，，都在中，所以。 1. Venn图表示：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。当时，用Venn图表示如图1所示： [此处插入表示A是B子集的Venn图，一个大圈表示B，大圈内部一个小圈表示A] 1. 子集的性质 · 自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即。这是因为对于集合中的任意元素，显然也在集合中，满足子集的定义。例如，集合，它的元素和都在自身集合内，所以。 · 传递性：若，，则。假设是集合中的任意一个元素，因为，根据子集定义，必然是集合的元素；又因为，所以也一定是集合的元素，从而得出。例如，若，，，由于且，所以。 1. 思考：若，那么集合中的元素一定比集合中的元素少吗？ · 答案是否定的。当时，集合和集合的元素完全相同，此时也满足。例如，，和元素个数一样多，但且。 （二）真子集 1. 定义：如果集合，但存在元素，且，那么集合称为集合的真子集。 · 记作：（或），读作“真包含于”（或“真包含”）。 · 例如：若，，是的子集，同时但，所以是的真子集，即。 1. Venn图表示：当时，用Venn图表示如图2所示： [此处插入表示A是B真子集的Venn图，一个大圈表示B，大圈内部一个小圈表示A，且大圈中有部分区域不在小圈内] 1. 真子集的性质 · 空集是任何非空集合的真子集。因为空集不含有任何元素，对于任意非空集合，空集的所有元素（实际上没有元素）都在中，且中存在元素不在空集中，满足真子集定义。例如，对于集合，。 · 若，，则。假设是集合中的任意一个元素，由于，所以；又因为，所以。同时，因为中有元素不在中，中有元素不在中，所以中必然有元素不在中，从而得出。例如，若，，，且，那么。 1. 思考：子集和真子集有什么区别？ · 子集包括集合本身，即成立；而真子集不包括集合本身，若是的真子集，则。当是的子集时，可能，也可能；当是的真子集时，一定有。例如，集合是的子集，但不是真子集；集合是的真子集，也是子集。 （三）集合相等 1. 定义：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等。 · 记作：。 · 例如：若，通过解方程，可得，所以；，因为中的元素都在中，且中的元素都在中，即且，所以。 1. Venn图表示：当时，用Venn图表示两个集合完全重合，如图3所示： [此处插入表示A=B的Venn图，一个圈既表示A也表示B] 1. 集合相等的性质 · 自反性：，任何集合与自身相等。这是显然的，因为集合中的元素完全相同。例如集合与自身相等。 · 对称性：若，则。如果两个集合元素相同，那么无论从哪个集合的角度看，它们都是相等的。例如若，，，必然。 · 传递性：若，，则。因为意味着和元素相同，意味着和元素相同，所以和元素也相同，即。例如若，，，且，那么。 1. 思考：如何判断两个集合是否相等？ · 方法一：从元素角度出发，判断两个集合中的元素是否完全相同。例如集合，，虽然元素顺序不同，但根据集合元素的无序性，它们元素完全相同，所以。 · 方法二：根据集合相等的定义，判断是否同时满足且。例如集合是小于的正整数，，对于集合，小于的正整数就是和，所以中的元素都在中，即；同时中的元素和也都满足集合的条件，所以，从而得出。 （四）空集 1. 定义：不含任何元素的集合叫做空集。 · 记作：。 · 例如：方程在实数范围内的解组成的集合就是空集。因为在实数范围内，任何实数的平方都大于等于，所以无解，其解组成的集合没有元素，即为。 1. 规定：空集是任何集合的子集，即，其中为任意集合。同时，空集是任何非空集合的真子集，即若，则。 1. 思考：与有什么区别？ · 是含有一个元素的集合，而不含有任何元素。从集合关系上看，，因为空集是任何非空集合的真子集。例如在描述一些对象的集合时，如果说一个集合里有一个元素是，就用表示；如果说这个集合没有元素，就用表示。 四、典型例题 （一）子集、真子集的判断 1. 例1：判断下列集合间的关系 · ，是的约数 · 分析：先确定集合的元素，的约数有，，，，所以。 · 解答：因为集合中的每一个元素，，都在集合中，所以。又因为但，所以。 · 是平行四边形，是菱形 · 分析：菱形是特殊的平行四边形，即所有的菱形都是平行四边形，但存在平行四边形不是菱形（如矩形）。 · 解答：因为集合中的每一个元素（菱形）都是集合（平行四边形）中的元素，所以。又因为存在平行四边形不是菱形，即存在元素且，所以。 1. 方法总结：判断集合与集合的关系，首先要明确集合和集合中的元素，然后根据子集和真子集的定义进行判断。若集合的所有元素都在集合中，则；若且集合中存在元素不在集合中，则。 1. 跟踪训练1 · 判断集合与集合的关系。 · 分析：先求解集合中的方程。 · 解答：解方程，因式分解得，则或，所以。因为集合与集合的元素完全相同，所以，同时且，也是 学科网（北京）股份有限公司 $$