专题强化01：线面、面面的平行和垂直【六大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化01：线面、面面的平行和垂直 【题型归纳】 · 题型1：线面的位置关系问题 · 题型2：线面平行的判定与性质 · 题型3：面面平行的判定与性质 · 题型4：线面垂直的判定与性质 · 题型5：面面垂直的判定与性质 · 题型6：平行与垂直的综合问题 【题型通关】 题型1：线面的位置关系问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知直线与平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据各项线面关系，结合平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可. 【详解】A：由，则，又，故平行或异面，错； B：若，易知平行或相交都有可能，错； C：在空间中，易知平行、相交、异面均有可能，错； D：由，则可沿某个平面平移至平面内， 又，则垂直于平面内任意直线，易得，对. 故选：D 2．（24-25高一下·湖南·期中）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，对选项逐一判断即可求解. 【详解】若，，则直线，可能相交、平行或异面，故选项A错误； 若，，则或，故选项B错误； 若，，，则由面面平行的性质定理可知，故选项C正确； 如图所示，平面，平面，平面，平面，但平面与平面相交，故选项D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 题型2：线面平行的判定与性质 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质即可求证， （2）根据线面平行的判定即可求证. 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 6．（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，3 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果； （2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解. 【详解】（1）因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以. （2）取中点，连接，，    则，且， 可知，则四边形为平行四边形，可得， 且平面，平面， 所以∥平面. （3）存在，使平面，，理由如下： 取中点，连接，，    则∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，，平面， 所以平面∥平面， 平面平面，平面平面， 可得， 因为为中点，且为中点，可得， 又因为，所以. 题型3：面面平行的判定与性质 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    8．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，为的中点，是的中点，若是上的点，则当点在什么位置时，平面平面？ 【答案】点为的中点 【分析】根据条件有，利用线面平行的判定定理得平面，利用正方体的性质，得到，利用线面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面，证明如下： 在中，是中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，因为正方体中侧面为正方形，且为中点， 所以，且， 又，且，所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面PAO，平面PAO，所以平面， 又，，平面，所以平面平面PAO， 即当点Q为的中点时，平面平面PAO． 9．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）通过证平面，平面，由线面平行即可证面面平行； （2）由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. 【详解】（1）因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； （2）存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. 题型4：线面垂直的判定与性质 10．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，根据线面平行的判定推理得证. （2）由条件结合面面垂直的性质可得，，再利用线面垂直的判定推理得证． 【详解】（1）在四棱锥中，连接AC，    在中，由M、N为对应边上的中点，即MN为中位线，得， 又平面，平面，所以平面. （2）在四边形中，，，则，由，得， 而，则，于是， 由，得，又平面平面，平面平面， 平面，于是直线平面，又平面，则， 又，平面，所以CD⊥平面． 12．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面PAD； (2)求证：； (3)若PD与平面所成的角为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证明平面，得到，再由（1）即可得证； （3）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 是的中点，底面是矩形，，， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2）平面，平面，， 又底面是矩形，， 又平面，平面， 平面，， 由（1）可知，. （3）平面，所以为与平面所成的角， ，又，，即为等腰三角形， 为中点，， 又由（2）可得，平面， 平面， 由（1）可知：，平面. 题型5：面面垂直的判定与性质 13．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据线面垂直的性质得，结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）得，根据得，最后利用线面垂直的判定与性质即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中， 因为平面平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）可知平面， 因为平面，所以. 因为，所以. 又因为在正方形中， 平面，， 所以平面. 又因为平面，所以，即. 14．（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【详解】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 15．（23-24高一下·广西河池·期末）如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由平面平面，可得平面PBD，从而，结合已知可证平面，由面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）根据等体积法求出点E到平面的距离d，则直线BE与平面所成角的正弦值为． 【详解】（1）因为平面平面BCD，平面平面， 且平面，由题意易知，所以平面PBD，                    又平面，所以，                   又，且平面PCD，所以平面，                 又平面，所以平面平面； （2）在中，结合已知有．             因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 平面，所以， 所以中，易得， 所以．        因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高， 解法一：所以．               设点D到平面的距离为h，因为， 所以，解得， 易得，所以点E到平面的距离为，      所以直线BE与平面所成角的正弦值为．     解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，     所以， 设点E到平面的距离为d，则，     由等体积可知，令，解出，     所以直线BE与平面所成角的正弦值为． 题型6：平行与垂直的综合问题 16．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）若为的中点，连接，先证为平行四边形，即有，再应用线面平行的判定定理证明结论； （2）根据已知有、，再应用线面垂直的判定定理证明结论； （3）应用等体积法求棱锥的高，结合线面角的定义及已知求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）若为的中点，连接，又F，G分别是的中点， 所以且，而底面是正方形，则且， 所以，，故为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面； （2）由（1）及，则，而，故， 由底面，底面，则， 所以， 由底面是正方形，则， 所以，F是的中点，则， 由且都在面平面内，故平面； （3）由底面，底面，则，， 又，，， 所以，则， 令棱锥的高为，又， 则，所以， 又，故GA与平面所成角的正弦值为. 17．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在， 【分析】（1）取的中点，连接，可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由面面垂直的性质可得平面，根据垂直关系分析可知等价于，进而分析求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，， 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则∥，， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. （2）因为ABCD是正方形，则， 且侧面平面ABCD，侧面平面，平面ABCD， 可知平面，由平面，可得， 且，，平面， 所以平面，由平面，可得， 反之，若，同理可证平面，即可得， 所以等价于， 不妨设，则，可知边上的高为， 由的面积可得，解得， 则， 所以在线段PD上是存在一点Q，使得，此时. 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或､相交，B错； 对于C选项，若，，，则或､相交，C错； 对于D选项，若，，则，因为，则，D对. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 【答案】A 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确， 故选：A. 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】由线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误； 对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确； 对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误； 对于D：由，，可知或，D错误． 故选：B 4．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知、是两个平面，、是两条直线，.下列四个命题： ①若，则或 ②若，则， ③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则 其中，所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合空间中线与面之间的关系，即可求解． 【详解】①若，因为，，则， 若，因为，，则， 若不在也不在内，因为，，， 所以且，故①正确； ②若，则与，不一定垂直，也有可能相交，故②错误； ③过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线， 因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以， 同理可得，所以， 因为，，则，因为，，则， 又因为，则，故③正确； ④与和所成的角相等，则和不一定垂直，比如： ，此时，故④错误； 综上只有①③正确． 故选：A． 5．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 6．（23-24高一下·江苏扬州·期末）在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（    ）. A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】C 【详解】对于A，连接，如下图所示： 因为分别是棱的中点，所以， 由正方体性质可得，因此可得，而相交， 所以错误，即A错误； 对于B，取的中点，连接，如下图所示： 易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）； 不妨设正方体的棱长为2，则，， 显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误； 对于C，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面，而平面，所以； 因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面, 又因为分别是棱的中点，所以 可得平面，即C正确； 对于D，如下图所示： 易知平面，且，而平面，所以平面； 因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线； 因此平面平面是错误的，即D错误. 故选：C 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若m⊥α，n⊥α，则 C．若，，且，，则 D．若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，根据垂直和平行的性质得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或异面，A错误； B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确； C选项，若，则不能得到，C错误； D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，， 但不能推出n⊥β，D错误. 故选：B 二、多选题 8．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【分析】由面面垂直和线面垂直的性质定理可以判断BC正确，由面面平行的性质判断AD错误. 【详解】A选项，若，，则或，故A错误； B选项，若，，，则由面面垂直及线面垂直的性质可得，故B正确； C选项，若，，，，由面面垂直的性质定理得到，故C正确； D选项，若，，，则或异面，故D错误. 故选：BC. 9．（23-24高一下·江苏南京）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 【答案】BCD 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，利用异面直线所成的角求解判断，对于C，利用面面垂直的判定理分析判断. 【详解】对于A，连接，因为AB是半圆O的直径，所以，所以与不垂直， 因为平面，所以与平面不可能垂直，所以A错误， 对于B，因为M，N分别为，的中点，所以‖， 因为平面，平面，所以‖平面，所以B正确， 对于C，由选项B可知‖，所以为MN与BC所成的角， 因为，所以MN与BC所成的角为，所以C正确， 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以D正确， 故选：BCD 10．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理可以判断. 【详解】对于A，由，，得，又，因此，A正确； 对于B，由，得存在过的平面与相交，令交线为（不与重合），则， 由，得存在过的平面与相交，令交线为（不与重合），则，于是， 显然，则，而，因此，，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，由，，得，而，则，D正确. 故选：ABD 11．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 三、解答题 12．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于点，连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）先证，再证，得平面，即得. 【详解】（1） 如图，连结交于点，连接. 因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故. 又因为面，面，所以平面； （2）因是菱形，则， 又平面，平面，则， 因平面，则平面， 又平面，故. 13．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）连接，根据面面垂直的性质可得平面，即可得，根据题意结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为平面，平面平面， 所以∥. （2）连接， 由题意可知：为菱形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面，且平面，可得， 且，，平面， 所以平面. 14．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面PAC，即可得面面垂直； （2）取的中点，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为底面ABCD为菱形，则， 且，平面PAC，可得平面PAC， 由平面，可得平面平面PAC. （2）存在，理由如下： 取的中点，连接， 则∥，则平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 因为分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 又因为，平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE， 由题意可知：平面，， 若CF∥平面PAE，则平面CMN，可知点即为点N， 所以存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE. 15．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. (3)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，可得，根据线面平行的判定即可证结论. （2）由题设易知、，根据线面垂直的判定有平面，再由面面垂直的判定即可证结论. （3）在平面内，作，即直线与平面所成的角，结合已知条件求的正弦值，即可确定其大小. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接. 是的中点，为的中位线， . 又平面，平面， 平面. （2）证明：为正三角形，为的中点，. 平面，平面，. 又平面，平面，且 平面. 又平面，平面平面. （3）解：平面平面，且交线为， 在平面内，作，则平面. 则即直线与平面所成的角. ，则即直线与平面所成的角. 在中，，，， 直线与平面所成的角为. 16．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得. （2）由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再用线面垂直的性质得结论. 【详解】（1）在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点， 由，，，得，则， 因此，，又平面， 于是平面，而平面，则，又， 所以. （2）由，，得为正三角形；同理也为正三角形， 则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由为的重心，得平面，菱形中，过的中点， 即直线与平面的交点为的中点，因此不在直线上，又平面， 所以. 17．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. （2）设，利用相似三角形的性质结合勾股定理可计算，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得面，继而可得，再运用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）连接交于点， 分别为的中点， ， 又平面，平面， 平面 （2）设, ,设，则， 由勾股定理得，， M为棱AC的中点，由，得为，的三等分点， ， ，即， 在直三棱柱中，面面，且面面， M为棱AC的中点，， ，又面， 面，又面， ， 又，平面，平面， 平面. 18．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面． (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）首先证明平面，然后结合线面平行的性质即可得证； （2）只需证明，，然后结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为分别为棱的中点，所以, 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以； （2）因为，点是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为分别为棱的中点，所以， 因为，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，从而平面平面. 19．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形. 为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若平面平面，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； （2）作出辅助线，得到PM⊥AD，BM⊥AD，从而得到线面垂直，得到AD⊥PB，结合，证明出结论； （3）连接AN，因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD，由面面垂直得到线面垂直，故AN⊥CD，证明出CD⊥平面PAD，从而面面垂直. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为中点，所以且， 又，， 所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）取AD的中点M，连结PM，MB. 因为三角形PAD为等边三角形，所以PM⊥AD. 在直角梯形ABCD中，，且AD=2BC， 所以DM=BC，且，所以四边形BCDM是平行四边形. 因为，所以四边形BCDM是矩形，所以BM⊥AD. 因为，PM平面PBM，BM平面PBM， 所以AD⊥平面PBM，而平面PBM，所以AD⊥PB. 因为，所以PB⊥BC. （3）连接AN，因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD. 因为平面PAD⊥平面PCD，且平面平面PCD，平面PAD， 所以AN⊥平面PCD， 因为平面PCD， 所以AN⊥CD. 在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，，且AN平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. 20．（23-24高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【详解】（1）连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱中，已知点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若.求证：平面. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造中位线，即可证明； （2）通过平行平面的转化，转化为证明线面垂直. 【详解】（1）如图，连结，， 因为点是的中点，且为平行四边形， 所以点三点共线，且分别是，的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点，连结，，，，，，， 因为分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 且，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面,平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 因为，所以，同理， 且，平面，所以平面， 所以平面. 22．（23-24高一下·江苏南京）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)点为的中点，理由见解析. 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【详解】（1）    取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2）      存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 23．（23-24高一下·江苏镇江）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. (1)若点为中点，求证：平面； (2)若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件可得，从而证得平面；（2）（i）首先证明平面PBC，从而证明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，根据边长关系求出即可得到答案. 【详解】（1）中，点，分别为棱，的中点， ∴ 又四边形是正方形，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）（i）在四棱锥中， 平面，四边形为正方形, ,, ,平面，平面， 平面 平面 在中，，为中点 ，，平面，平面 平面 平面 又，，平面，平面 平面，又平面 . （ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角， 在中，，，则 又，∴， ∴ 故直线与平面所成的角的正切值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：线面、面面的平行和垂直 【题型归纳】 · 题型1：线面的位置关系问题 · 题型2：线面平行的判定与性质 · 题型3：面面平行的判定与性质 · 题型4：线面垂直的判定与性质 · 题型5：面面垂直的判定与性质 · 题型6：平行与垂直的综合问题 【题型通关】 题型1：线面的位置关系问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知直线与平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·湖南·期中）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2：线面平行的判定与性质 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 5．（23-24高一下·江苏南通）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 6．（23-24高一下·山西太原）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型3：面面平行的判定与性质 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，为的中点，是的中点，若是上的点，则当点在什么位置时，平面平面？ 9．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 题型4：线面垂直的判定与性质 10．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 12．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面PAD； (2)求证：； (3)若PD与平面所成的角为，求证：平面. 题型5：面面垂直的判定与性质 13．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 14．（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 15．（23-24高一下·广西河池·期末）如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 题型6：平行与垂直的综合问题 16．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 17．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知、是两个平面，、是两条直线，.下列四个命题： ①若，则或 ②若，则， ③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则 其中，所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（23-24高一下·江苏扬州·期末）在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（    ）. A． B． C．平面 D．平面平面 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若m⊥α，n⊥α，则 C．若，，且，，则 D．若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 二、多选题 8．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 9．（23-24高一下·江苏南京）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 10．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 11．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 三、解答题 12．（23-24高一下·江苏）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 13．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 14．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 15．（23-24高一下·江苏徐州）如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. (3)求直线与平面所成的角. 16．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 17．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18．（23-24高一下·江苏无锡）已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面． (1)求证：； (2)求证：平面平面． 19．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形. 为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若平面平面，求证：平面平面. 20．（23-24高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱中，已知点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若.求证：平面. 22．（23-24高一下·江苏南京）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 23．（23-24高一下·江苏镇江）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. (1)若点为中点，求证：平面； (2)若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$