专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 倒数法求分式的值 题型十一 分式的新定义问题 知识点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 3．（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 2．（23-24八年级下·山西运城·阶段练习）已知（，且），，，…，则 ． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________ (2)写出第10个等式：____________________． (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 3．（23-24八年级上·四川广元·期末）从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母： (1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们． (2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 1．（23-24九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 3．（23-24八年级上·广东·单元测试）已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知分式的值为，那么的值为（   ） A．且 B．或 C． D． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 1．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 3．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【经典例题十 倒数法求分式的值】 【例10】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【经典例题十一 分式的新定义问题】 【例11】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料1】如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若分式值为，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，则 ． 8．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 10．（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 14．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 15．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 倒数法求分式的值 题型十一 分式的新定义问题 知识点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 【答案】 ， ，，0 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，分母有字母，故是分式． 单项式有，，0． 故答案为：，；，，0． 【点睛】本题考查分式的定义，单项式的识别，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母． 3．（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 【答案】(1)选择两个整式为：，，组成的分式为： (2)选择两个整式为：，， 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据题意，选择两个整式组成一个分式即可； （2）根据题意，选择的两个整式乘法运算不含1次项即可． 【详解】（1）解：选择两个整式为：，，组成的分式为：； （2）选择两个整式为：， 其乘法运算： ． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山西运城·阶段练习）已知（，且），，，…，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的规律探究问题，先求得前个式子，找到规律，3个一循环，进而即可求解． 【详解】根据规律可知，， ． ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________ (2)写出第10个等式：____________________． (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号加1的平方，分子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大1，从而可得第5个等式； （2）由（1）归纳出第10个等式即可； （3）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． （2）第10个等式：； （3）由（1）可得：第n个等式为：（n为正整数） 证明如下： 左边 右边． 【点睛】本题考查的是二次根式和分式的规律探究，分式的化简，掌握探究方法并总结规律是解本题的关键． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解． 【详解】解：这种图书的库存量是：（册）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系． 1．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，理解题意，根据题意列出分式，是解题的关键．根据时间总数工作效率，列出分式即可． 【详解】解：按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要的时间为： ． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 【答案】(1)等，答案不唯一 (2)，答案不唯一 【分析】（1）根据分式的概念求解即可； （2）首先根据整式的加法运算法则计算，然后利用因式分解的方法求解即可． 【详解】（1）分式有：等，答案不唯一； （2） ，答案不唯一 【点睛】此题主要考查了分式的定义，整式的加减运算，因式分解，正确把握分式的定义，整式的加减运算和因式分解的方法是解题关键．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 3．（23-24八年级上·四川广元·期末）从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母： (1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们． (2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果． 【答案】(1)6个，见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用分式的概念可得； （2）利用分式的基本性质约分化简即可求解． 【详解】（1）解：一共能得到6个不同的分式： ①，②，③，④，⑤，⑥． （2）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 综上可知，③④能化为整式，得：      【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知，且，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则有，且， A.当时，，故本选项不符合题意； B. 当时，，故本选项符合题意； C. 当时，，故本选项不符合题意； D. 当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 1．（23-24九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 2．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据分式的分母等于0时，分式没有意义，求出的值，进而判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握分式的分母等于0时，分式没有意义，以及一次函数的图象和性质，是解题的关键． 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程，解方程即可． 【详解】∵分式无意义，         ∴， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 3．（23-24八年级上·广东·单元测试）已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 【答案】(1) (2)或0 【分析】（1）根据分母等于0计算即可； （2）根据值为整数进行判断求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：代数式的值为正整数， 或， 解得：或0． 【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知分式的值为，那么的值为（   ） A．且 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为，分子的值为且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 【答案】 取一切实数 值为1 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）确定分母恒大于0，则分子取一切实数即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0 求解． 【详解】解：∵， ∴，则分母始终不为0， ∴取一切实数； ∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：取一切实数；值为1． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为负数的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0求解即可； （3）先判断分子非负，则问题转化为分母小于0求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得： ∴当时，分式无意义； （2）解：由题意得， 则，， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴，， 解得：． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，不成立， 当时，， 则 ； 综上分析可知：的值为， 故选：B． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)17 (2)7 【分析】本题考查代数式求值，分式的求值： （1）根据，得到，整体代入法进行求解即可； （2）等式两边同时除以，得到，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 【详解】解∶ ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选∶B． 【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 1．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围： （1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可； （2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可． 【详解】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等组①得 解不等式组②得无解． ∴原不等式的解集是 （2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等式组①得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 2．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 【经典例题十 倒数法求分式的值】 【例10】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）解：∵，且 ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）仿照例题利用“倒数法”解决问题，先求得，继而计算的值，再取倒数即可求解． （2）根据题意可得，利用“倒数法”即可求解； （3）根据“倒数法”求得，，，①＋②＋③即可求解． 【详解】（1）解：由，知，∴，即， ∴， ∴的值为7的倒数，即； （2）由，知，∴，∴，即， ∴， ∴的值为21的倒数，即； （3）由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， ①＋②＋③得：，∴， ∴， ∴的值为1的倒数，即1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解题意是解题的关键． 【经典例题十一 分式的新定义问题】 【例11】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料1】如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式；； (3)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的性质，熟练掌握基本不等式，理解新定义，是解题的关键： （1）根据基本不等式进行求解即可； （2）根据新定义，判断是真分式，分离系数法将假分式化为带分式，根据分式的值为整数进行求解即可； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：由题意：是真分式； ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或，故共有5个， 故答案为：真分式；；5； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，不等式的性质，先根据及得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将转化为，据此可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 则， 解得， 又因为，且， 所以， 所以有最大值，且最大值为． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 【答案】D 【分析】本题考查的是求解分式的值，平方差公式的应用，先由条件可得，可得，同法可得，，再进一步计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若分式值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值，掌握分式的值为零的条件是关键． 根据分式的值为零，分式的分子为，分母不为解答． 【详解】解：若分式值为， 且， ； 故答案为： 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的求值，根据，，得到，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案为：7． 8．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 【答案】 2 或2/2或 2 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可． 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 10．（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． （1）根据图象表示出即可； （2）根据分解因式可得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个长方形的面积都是5， ， ， 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可 （2）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （4）解：∵分式有意义， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0时，分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 根据分式的值为0时，分子为0，而分母不为0列不等式求解． 【详解】解：由题意可得且， 即时，分式的值为0． 14．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 15．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 学科网（北京）股份有限公司 $$