【专项练】等腰三角形的存在性问题-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

命学科网·短子学 www.Z×Xk.c0m 让学习更高效 等腰三角形的存在性问题 基础题 1.如图，在长方形ABCD中，E是AD边上一点（不与点A,D重合），将长方形ABCD沿B折叠 后点A落在点F处，∠CBF的平分线BM交直线CD于点M,交EF的延长线于点G,∠DEF的平分线交 直线CD于点N,交BM于点O. G (1)若∠ABE=28°，则∠EGM的度数为 (2)LE0G的度数为 (3)是否存在△MN0是等腰三角形？若存在，请求出LABE的度数；若不存在，请说明理由. 中等题 2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，∠A=47°，点D为AB的中点，如果点 P在线段BC上以x厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以y厘米秒的速度由C 点向A点运动 (1)若x=y=3,经过1秒后，此时△BPD与△CQP是否全等？请说明理由. (2)若x≠y,当x=3,y为何值时，能够使△BPD与△CQP全等？请说明理由. (3)是否存在点P,使△BPD为等腰三角形？若存在，求此时∠BPD的度数，若不存在，请说明理 由 高学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 3.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动（不与点B,C重合），连 接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. B40X40 D (1)当∠BAD=25时，∠ADB= °，∠EDC= ·,点D从点B向点C运动时，∠BAD逐渐 变 (填大或小)； (2)当DC等于多少时，△ABD兰△DCE?请说明理由： (3)在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA 的度数；若不存在，请说明理由， 4.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交射线BC 于点F,(友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等) B 图1 图2 (1)如图1，当DEAC时，求证：AE⊥BC; (2)如图2，若LB=40°，∠BAD=x(0°<x<60),是否存在这样的x的值，使得△DEF是以EF 为腰的等腰三角形.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。 高学科网·短子学 www.z×Xk.c0m 让学习更高效 5.在等边△ABC中，AC=8,动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线AC上运动， 设点P的运动时间为t秒 备用图 (1)用含t的代数式表示线段CP的长： (2)连结PB,当∠PBC=30时，求t的值； (3)若在线段BC上存在一点D,且CD=6.在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度 的速度从点C出发在线段CD上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C,当 △CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值. 困难题 6.如图，在边长为12cm的等边△ABC中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边 顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s.当点Q第一次到达B点时，p、 Q同时停止运动.设运动时间为t秒.求： 备用图 备用图 (1)t为何值时，P、Q两点第一次重合？ (2)t为何值时，△APQ为等边三角形？ (3)当点P、Q在BC边上运动时，是否存在以PQ为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动 的时间t;若不存在，请说明理由.多学科同·假子学 wWww.2x×k.c0m 让学习更高效 等腰三角形的存在性问题 基础题 1.(1)107° (2)45 (3)存在；22.5° 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查的是折叠的性质、角平分线的有关计算、三角形纳角和定理及等腰三角形性 质， (1)先求出∠BFG=90°，根据角平分线的定义求出∠FBG,即可求出结论； (2)先求出∠BE0=∠BEF+∠GEN=AEF+DEG=90,同理得出∠EB0=45,进而求出结 论： (3)分情况讨论，根据等腰三角形性质求出即可： 【详解】(1)解：将长方形ABCD沿BE折叠后点A落在点F处， ∴∠ABE=∠FBE=28°，LA=∠BFE=90°， ∠BFG=90°， :BM平分∠CBF, ∠F8G=号FBC=×(90°-2×28)=17， ÷∠EGM=∠FBG+∠BFG=17°+90°=107； 故答案为：107； (2)解：由折叠得AEB=∠FEB=AEF, :EN平分∠DEG, ∴LGEN=4GED, ∴LBE0=∠BEF+∠GEN=;AEF+片DEG=90, 同理，∠EB0=∠EBF+∠FBG=A8F+∠FBC=45, ÷∠E0G=180°-90°-45°=45°； 故答案为：45； 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 (3)解：存在.理由如下： 当0M=0N时，∠0MW=∠0NM=67.5°， 所以∠CBM=22.5, 所以∠ABE=22.5°. 当OM=MW时，∠OMW=90°，不合题意； 当ON=NM时，∠ONM=90°，不合题意， 综上，当LABE=22.5时，△OMW是等腰三角形. 中等题 2.(1)见解析 (2片理由见解析 (3)存在点P,△BPD为等腰三角形，∠BPD的度数是66.5或47或56.75时，使△BPD为等腰三角 形，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】(1)先求得BP=CQ=3,PC=BD=5,然后根据等边对等角求得∠B=∠C,最后根据 SAs即可证明； (1)因为x≠，所以BP≠CQ,又LB=∠C,要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4,根据 全等得出cQ=BD=5,然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动 速度： (1)由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠B的度数.需要分类讨论：∠B=∠BPD、∠B= ∠BDP、∠BPD=∠BDP三种情况， 【详解】(1)解：：t=1秒， .BP=CQ=3厘米 “AB=10厘米，D为AB中点， ·BD=5(厘米) 又：PC=BC-BP=8-3=5(厘米) ÷PC=BD 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 AB=AC, ∠B=∠C, 在△BPD与△CQP中， (BP CQ ∠B=∠C, BD PC ÷△BPD≌△COP (SAS); (2)解：x≠y, :BP CQ, 又：LB=∠C, 要使△BPD2△CPQ,只能BP=CP=4, :△BPD2△CPQ, ÷CQ=BD=6. 点的运动时间t=号-（秒）， 此时y=9==号（厘米秒）. D (3)解：存在点P,使△BPD为等腰三角形.理由如下： :△ABC中，AB=AC,∠A=47°， ∠B=∠C=18047=66.5 2 ①当∠B=∠BPD=66.5时，△BPD为等腰三角形 ②当∠B=∠BDP=66.5时，△BPD为等腰三角形，此时∠BPD=180°-2×66.5°=47°. ③当∠BPD=∠BDP=18065=56.75时，△8PD为等腰三角形， 综上所述，∠BPD的度数是665或47或56.75时，△BPD为等腰三角形 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用， 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质. 3.(1)115;25;大 (2)DC=2,△ABD兰△DCE,理由见解析 (3)存在，110或80 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等边对等角、三角形内角和 定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角和内角和的定理， 掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键 (1)利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理解题即可： (2)根据ASA证明全等即可； (3)根据等腰三角形的腰的情祝分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即 可分别求出∠BDA. 【详解】(1)解：，在△BAD中，∠B=40°，∠BAD=25°，∠ADE=40°， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=115°， ,∴.∠EDC=LBAD=25, 当点D从点B向点C运动时，∠BAD逐渐变大， 故答案为：115,25，大； (2)解：当DC=2时，△ABD兰△DCE,理由如下， 证明：，AB=AC,∠B=40°， ∴.∠C=∠B=40, 由(1)得∠EDC=∠BAD, '.'DC=AB=2, ∴.△ABD≌△DCE(ASA: (3)解：存在△AD是等腰三角形的情形，理由如下： .∠C=∠B=40, .∴.∠BAC=180°-40°-40°=100°， 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∴.∠DAE=180°-40°-40°=100°， 点D与点B重合，不符合题意； 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 当DA=DE时，∠DAB=∠DBA=×(180°-40)=70， ,∴.∠BDA=∠DAC+∠C=70°+40°=110； 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40, ,∴.∠BDA=∠DAC+∠C=40°+40°=80； 综上所述，△AD是等腰三角形时，∠BDA的度数为110或80. 4.(1)见解析 (2)存在，15或30° 【难度】0.65 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】(1)根据折叠的性质得到B=∠E,根据平行线的性质定理证明； (2)根据∠B=40,求得∠ABD,∠ADF,∠FDE,∠DFE,然后分LEDF=∠DFE、∠EDF=∠E=40两种 情况，列方程解答即可； 【详解】（1)证明：，ACIDE, ∴.∠CAF=LE, .'∠B=∠E,∠B=∠CAF, ,∠BAC=90°， ∴.∠CAF+∠BAF=90°， ,∴.∠B+∠BAF=90°， ∴.∠AFB=90°， .AE⊥BC; （2),∠BAD=x,∠B=40, ∴.∠ADB=180°-∠B-∠BAD=140°-40°-x=140°-x, .∠ADF=∠B+∠BAD=40°+X, 由翻折可知：∠ADE=∠ADB, ∴.∠FDE=∠ADE-LADF=100°-2x,∠DFE=∠AFC-40°+2x, ①当∠EDF=∠DFE时，100°-2x=40°+2x, 解得：x=15, ②当∠EDF=∠E=409时，100°-2x=40°， 解得，x=30°， 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 综上所述，当x=15或30时，△DEF是以EF为腰的等腰三角形. 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、三角形纳角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判 定，掌握三角形内角和等于180心°、翻转变换的性质是解题的关键， 5.(1)CP=13t-8 2t=9 (3)当△CPQ为等腰三角形时，t=或t=4 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、列代数式、等腰三角形的性质和判 定 【分析】(1)本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； (2)本题考查直角三角形30°所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线 段4C上或延长线上两类结合30所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案： (3)本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段AC上或延长线上，根据腰长列式求解即 可得到答案； 【详解】(1)解：设点P的运动时间为t秒. ∴.AP=3t .'AC=8,动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线AC上运动， 当t<时，CP=AC-AP=8-3t, 当t≥时，CP=3t-8, 综上所述，CP=3t-8: (2)解：如图所示， ①当P在线段AC上时， ,'△ABC是等边三角形，AC=8, ∴.∠C=60°，BC=AC=8, 当∠PBC=30时，∠CPB=90°， ∴.PC=BC, .8-3t=×8, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 解得：t=多 ②当P在AC的延长线上时， ∴，∠PBC=30°，LABC=60°∴.∠ABP=90° ∴.∠APB=30°=∠PBC, ∴.PC=BC=8, , 3t-8=8解得：t=普： (3)解：如图所示，当t<时，P在AC上运动时， ,∠C=60°，当△CPQ为等腰三角形时，则△CPQ为等边三角形， ∴.CP=CQ, .AC=8,CD=6, P点在4C上运动的时间为：t=号Q在CD上运动的时间为警=6，当Q点从点C运动到点D 的过程中，CQ=CP,CQ=2t, ∴.2t=8-3t, 解得：t= 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 当t>}即点P在Ac的延长线上时，此时点Q从D运动回点C, 当点Q从D点返回时，cQ=12-2t,CP=3t-8, ∴.12-2t=3t-8, 解得：t=4, 综上所述，当△CPQ为等腰三角形时，t=或t=4, 国难题 6.(1)t=12 (2)t=4 (3)存在，t=16 【难度】0.4 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）等边三角形的性质、全等的性质和ASA(AAS) 综合(ASA或者AAS)、等腰三角形的定义 【分析】(1)根据与Q的运动时间相等，利用P的路程+12=Q的路程列方程，可得结论 (2)根据AP=AQ列方程，可得结论： (3)先证明△APC兰△AQB,得PC=BQ,列方程可得结论. 【详解】(1)解：由题意得t+12=2t, t=12, 为12时，P、Q两点第一次重合； (2)解：如图1所示： 图1 :△ABC是等边三角形， ÷∠A=60°， :当AP=AQ时，△APQ是等边三角形， 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 a12-2t=t, .t=4; (3)解：存在以PQ为底边的等腰△APQ, 如图2所示： 图2 :△ABC是等边三角形， ÷AC=AB,∠B=∠C=60°， AP=AQ, ÷∠APQ=LAQP, ÷∠APC=∠AQB, 在△APC和△AQB中， ∠C=∠B LAPC=LAQB, AC=AB ÷△APC兰△AQB(AAS, ÷PC=BQ, ÷t-12=36-2t, t=16. 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动 点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方 程相结合解决问题，