【专项练】等腰（边）三角形的判定性质综合-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 等腰(边)三角形的判定性质综合 基础题 1.C 【难度】0.94 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先得出zCAD=2BAD,再根据等腰三角形的判定得出AD=DB,推出2B=ZEAD,进而 得出 CAD=2EAD=2B,根据2CAD+2EAD+ B=90*,即可得出答案 【详解】解:.2BAC=2BAD,2BAC= BAD+ CAD, ..ZCAD-ZBAD, .D是AD的平分线. DE1AB, ..AD=DB. ..乙B=乙EAD, ..2CAD=乙EAD=ZB, .CAD+乙EAD+ZB=90*, ..乙B-30*, 故选:C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,正确理解题意是解决问题的关键 2. A 【难度】0.94 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】等腰三角形的周长为20,一边长为5,分类讨论,是腰长是5或者底边长是5,再根 据构成三角形的三边的关系判断是否符合,由此即可求解。 【详解】解:①周长为20,腰长为5 .三角形的底边长是20-5-5=10,即三角形的两条腰长为5,底边长是10,根据构成三角 形的三边的关系可知,不能构成三角形,更不可以构成等腰三角形,不符合题意 ②周长为20,底边长为5, .三角形的腰长是20-=7.5,即三角形的两条腰长为7.5,底边长是5,根据构成三角形的三边 的关系可知,可以构成等腰三角形,符合题意 故选:A. 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,构成三角形的三边的关系,理解和掌握等腰三角形 的性质是解题的关键 3. D 【难度】0.94 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断 【详解】解:①三条边都相等的三角形是等边三角形,此选项符合题意 ②有一个角为60的等腰三角形是等边三角形,此选项符合题意 ③有两个角为60的三角形是等边三角形,此选项符合题意 ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴,则这个三角形是等边三角形,此选项 符合题意. 故选:D. 【点晴】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识 解题的关键是熟练掌握基本知识 4. B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、 等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查平行线的性质,解答的关键熟记平行线的性质两直线平行,同位角相等 先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得2BCD=120{,再利用三角形内角和求出 D=36{*},再由平行线的性质可得22=36 【详解】解:如图 -三角形是等腰三角形,2A-60。 .三角形是等边三角形, .2ACF-60*. .乙ACD=120*. .乙1=2CBD-24*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 . D=180*-120*-24*=36*$$ ·太阳光线平行照射在放置于地面的正三角形上 .2-2D=36*. 故选:B. 5.C 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理,理解题意 得出△BCC为等边三角形是解题关键 根据题意,分两种情况;当点4与点C重合时,当点4与点F重合时,分别利用等边三角形的 判定和性质,结合图形求解即可 【详解】解:如图所示: 当点A与点C重合时 .三角形ABCF沿着BF折叠后,点C的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直 线上, .BC=BC, .等腰三角形△ABC AD1BC .AD垂直平分BC. .BC=CC) .△BCC为等边三角形 '.BCC'=CBC'= BC'C=60*. ..乙BCA=乙ABC>60*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.乙BCA+乙ABC>120* '.0*<乙BAC<60*} 当点A与点C重合时,2BAC=60*. .'.0*<BAC<60; 当点A与点F重合时,如图所示 .三角形ABCF沿着BF折叠后,点C的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直 线上: ..BC=BC .等腰三角形△ABC,AD1BC, ..AD垂直平分BC .BC'-CC, .△BCC为等边三角形 ..BCC'=CBC'=BC'C-60*. 'BCA=乙ABC-30*} ..2BCA+乙ABC=60*, ..2BAC=120*, '当点A与点F重合时,2BAC=120* 综上可得:0·<zBAC120。 故选:C. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 中 等 题 6.12 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角的形定义,全等三角形的判定和性质,先证明△ACD△CBE,得 到CD=BE,即可求解 【详解】解::等腰直角三角形ABC,ACB三90* ..AC=BC.乙ACD+ZECB=90*. '.'乙ADE= BED=90*, '.乙ACD+乙CAD=90*) '.2CAD=ZBCE. 又''AC-BC. ADE=2BED-90*, ..△ACD:△CBE(SAS). .'.CD=BE=7cm. ..DE=DC+CE=7+5=12cm 故答案为:12 7. 2a-90* 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理,垂直平分线的性质,等腰三角形的判定和性质 等知识点,先由垂直平分线的性质得AB=BM,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得 ABD= MBD=90*-a,由 ABD= CBM,可推出 ABC=3(90*-a)=270*-3,最后由三角 形的内角和定理即可得解,熟练掌握其三角形的内角和定理,垂直平分线的性质,等腰三角形 的判定和性质的综合应用是解决此题的关键 【详解】解:.DM=AD,BD1AC于点D '.AB=BM, ..乙ABD=乙MBD=90*-a, .'乙ABD=ZCBM. '.ABD=ZMBD= CBM=90*-a 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. ABC-3(90*-a)=270*-3a, '.C=180*-(A+ ABC)=180*-(+2 70*-3)=2a-90* 故答案为:2a-90{. 8.1 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等边三角形的判定和性质 两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质 关键在于正确地作出辅助线,熟练运用相关的性质、定理,认真地进行计算,过p做BC的平行 线至AC干F.通过求证APFD和AOCD全等,推出FD=CD,再诵过证明△APF是等边三角形和PF AC, 推出AE=EF,即可推出AE+DC=EF+FD,可得ED=:AC,即可推出ED的长度 【详解】解:过p做BC的平行线至AC于F =ZFPD .等边△ABC, : APF= B=60*, AFP= ACB=60* .△APF是等边三角形 .AP-PF, .AP-CQ. .PF=CQ: -在△PFD和△OCD中 2FPD=乙Q PDF=2QDC, PF=CQ .△PFD:△OCD(AAS) .FD-CD, :PE1AC于E,AAPF是等边三角形 .AE=EF. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .AE+DC=EF+FD, :ED-AC, ·AC=2, .DE-1. 故答案为1. 9.5 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质 等边对等角 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,三角形外角性质;连接 AD,AF,先根据等腰三角形的性质求出2B=2C=30*},再根据线段垂直平分线的性质得到BF= AF CD=AD,求出$ DAF=60*$,$ AFD=60*,$ ADF=60*,进而求出BF=$CD=DF,即可求解$$$ 【详解】解:连接AD,AF,如图 “.'AB=AC,乙A=120*) ..2B=2C-30*. .AB的垂直平分线交AB于点E,AC的垂直平分线交AC于点G '.BF=AFCD=AD,则 B= BAF=30*, DAC= C=30$$ '. DAF=60*, AFD=60{*, ADF=60*$ *AD=AF=DF, .'.BF=CD=DF. .'BC=15cm. .DF-BC-5cm. 故答案为:5. 10. 【难度】0.65 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、含30度角的直角三角形、 等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30的直角三角 形的性质等知识,过D作DH1AB于H,证明△ADH:△ADF(AAS),得出AH=AF,可得BH=EF 利用含30*的直角三角形的性质可得BD=2BH=2EF,则可求BC=6EF,证明△ABC是等边三角 形,得出AB=BC-6FF,即可求解. 【详解】解:过D作DH1AB于H, :AD平分乙BAE, ..乙HAD=乙FAD. DHA= DFA=90*,AD=AD ..△ADH:△ADF(AAS). .'.AH=AF, “.'AB=AC,AC=AE ..AB-AE, '.AB-AH=AE-AF,即BH=FF “.'2BAC=60{*,2BHD=90* ..ZBDH=30* *.BD=2BH=2EF, CD=4EF, *'.BC=BD+CD=6EF, .'AB=AC,乙BAC-60*, '△ABC是等边三角形, ..AB=BC=6EF. :翻 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故答案为: 11. 相等 【难度】0.65 【知识点】用SAS证明三角形全等(SAs)、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了翻折变换,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,掌握翻 折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键.由翻折知,EF垂直平分AB,则AG三BG;又由 翻折知,AB=AG, GAM=ZBAM;从而得△ABG是等边三角形,则得2GAM=30*;再证明△AEG △AHB得乙ABH=乙AGE=30*,即可得两角的关系 【详解】解:由第一次翻折知,EF垂直平分AB .AG-BG,_AGE=乙AGB; 又由第二次翻折知,AB=AG,2GAM=乙BAM; :AG=BG=AB, .△ABG是等边三角形 .乙BAG= AGB=60* . GAM=30*,乙 AGE--乙AGB-30*; .点的对应点为点H .AE=AH; "2GAM= BAM,AB=AG .△AEG:△AHB, .乙ABH=乙AGE-30* :乙ABH= GAM-30* 故答案为:相等。 12.①② 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、内错角相等两直线平行、等边三角形的判定和性质 【分析】此题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质 和应用、平行线的判定,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键,① 根据全等三角形的判定方法,证出△ACD△BCE,即可得出AD=BE;③先证明△ACP:△BCQ. 即可判断出CP=C0,③正确;②根据2PC0=60*,可得△PC0为等边三角形,证出2POC=2DCE= 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 60{,得出PO|AE,②正确.④没有条件证出B0=0E,得出④错误;2A0B=2DAE+AE0= DAE+ ADC=zDCE=60*,正确;即可得出结论 【详解】解::△ABC和△CDE都是等边三角形 . AC=BC,CD=CE, ACB= DCE=60*$ .乙ACB+ BCD=乙DCE+乙BCD .乙ACD=ZBCE. 在△ACD和△BCE中 AC=BC 1ACD=2BCE, CD三CE .△ACD△BCE(SAS). : AD=BE,结论①正确 :△ACD=△BCE. .2CAD=乙CBE, 又.乙ACB= DCE-60*, .BCD=180*-60*-60*=60* .乙ACP=2BC0-60*, 在△ACP和△BCo中. (乙CAP=_CBQ 2ACP=2BCQ, AC=BC .△ACP△BCQ(AAS), .CP=cQ,结论③正确 : PC0=60*. :△PCo为等边三角形 .乙POC=2DCE-60* : P0lIAE,结论②正确 :△ACD△BCE .乙ADC=乙AEO, . AOB= DAE+ AEO= DAE+ ADC=2 DCE=60*,结论正确 没有条件证出B0=0E,④错误; 综上,可得正确的结论有4个:①②③.备学科同·圆子学 www.2x×k,C0m 让学习更离效 等腰（边）三角形的判定性质综合 基础题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠BAD,过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE恰好是∠ADB 的平分线，则的度数为() B D A.45° B.60 C.30 D.75 2.已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是() A.5 B.7.5 C.5或10 D.5或7.5 3.下列说法中，正确的个数是（) ①三条边都相等的三角形是等边三角形： ②有一个角为60的等腰三角形是等边三角形： ③有两个角为60的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若∠A=60°，∠1=24°，则∠2 的度数为（) A.24° B.36° C.48 D.56 5.如图，已知等腰三角形△ABC中，AB=AC,腰AC上存在一点F,连接BF,将三角形△BCF 沿着BF折叠后，点c的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直线上，则∠BAC 的度数的取值范围为() 高学科同·圆子学 www.2×k,C0m 让学习更离效 A.0。<LA≤60； B.∠A>60: C.0·<∠A≤120； D.60·≤∠A≤120· 中等题 6.如图把一块等腰直角三角形零件ABC(LACB=90)放置在一凹槽内，顶点A、B、C分别落 在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm,BE=7cm,则该零件中DE为」 cm. B D E 7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,点M是AC上一点，DM=AD,MN⊥BC于点N,且∠ABD=∠CBM, 若∠A=a,则用表示∠c的度数为 B 8.如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE1AC于E,Q为BC延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ交AC边于D,则DE长为】 备学科同·圆子学 www.zx×k.C0m 让学习更离效 9.如图，在△ABC中，AB=AC∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交AB于点E,交BC于点F, DG为AC的垂直平分线，交AC于点G,交BC于点D.若BC=15cm,则DF= cm. A B F 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，点D在BC边上，AC=AE,连接CE,且AD平分∠BAE, 过点D作DF⊥AE于点F,若CD=4EF,则5的值为 11.如图，将长方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使 点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为G,H,展平纸片， 连结BG,BH,则LABH与∠GAM的关系是 D M 12.如图，C为线段AE上一动点（不与A、重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE, AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：①AD=BE; ②POAE;③CP=CQ;④∠AOB=60,一定成立的有（填序号） 备学科同·园子学 wWw.zx×k.C0m 让学习更离效 13.将两个等腰直角三角板如图1放置，点D是C边中点. G D D 图1 图2 (1)试判断HD与GD的数量关系，并说明理由. (2若将三角板如图2摆放，使得点A,F重合，且点E,D,c三点共线，连接BE.求证：BE⊥CE, 困难题 14.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,作射线AP,点C关于直线AP的对称点为D,连接AD, 直线DC,DB,分别交AP于点E,F,连接CF, (图1) (图2) (备用图) (1如图1，射线AP在△ABC的外部，当a=40时，求∠BDC的度数； (2如图2，射线AP的一部分落在△ABC内部，当a=60时， ①直接写出LBDC的度数； ②求证：AF=BF+CF. (3)当a=60时，若△DBC是等腰三角形，直接写出∠CAD的度数. 备学科同·园子学 www.zx×k.C0m 让学习更离效 15.已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D为射线AM上的一点，E为平 面内的一点，满足BE=BD D 图1 图2 M 图3 备用图 (I)如图1，连接CD,若点E恰好在cD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度数； (2如图2，连接DE交BC于点F,若∠DBE=120°，且F怡为BC的中点，求证：DF=AD+EF; (3)如图3，若∠BAM=38°，∠DBE=120°，连接CE,当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取 点H,在边BC上截取一点I,使CH=BL,连接AH,AI则当AH+AI的值最小时，请直接写出∠HAB 的度数.