【专项练】全等三角形的存在性问题-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

高学科同·：子学 www,2××k.C0m 让学习更高效 全等三角形的存在性问题 基础题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=6cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别 在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全 等，则AP的值为() B A.6cm B.12cm C.12cm或6cmD.以上答案都不对 2.如图，∠A=∠B=90°，AB=60,E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出 发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时 停止，在射线AC上取一点G,使△AEG与△BEF全等，则AG的长为() D E A.18 B.70 C.88或62 D.18或70 3.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从 点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC一CD一DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒， 当t的值为()秒时，△ABP与△DCE全等. B P A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7 4.题目：如图，AB=7cm,AC=5cm,∠CAB=∠DBA=60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由 点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xc/s,它们运动的时间为t(s(当点P 命学科同·短子学 www.2×xk.c0m 让学习更高效 运动结束时，点Q运动随之结束)，当点P,Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求相 应的x,t的值，其答案为：轩轩的答案：x=2,t=1,笑笑的答案x=碧，t=子丽丽的答案： x=”,t=1,则下列说法正确的是（) A.只有轩轩的答案正确 B.轩轩和笑笑的答案合在一起才完整 C.丽丽与轩轩的答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整 中等题 5.如图，CA1AB,垂足为点A,射线BM⊥AB,垂足为点B,AB=15cm,AC=6cm.动点E 从A点出发以3cs的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终 保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒t>0),则当t= 秒时，△DEB与△BCA全等. B 6.如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以2cm秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的 值是 D 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=8cm,BC=12cm,CD=16cm,点P在线段BC 上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与 高学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 △cQP在某一时刻全等，则点Q运动速度为cm/s. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AC=22cm,CD为AB边上的高，直线CD上一 点F满足cF=AB,点从点B出发在直线BC上以2cm/s的速度移动，设运动时间为秒，当t= 秒时，能使△ABC与以点C、F、E为顶点的三角形全等. 9.如图，在△ABC中，AB=AC=28cm,∠B=∠C,BC=24cm,点D为AB的中点，点P在线段BC 上以6cm/s秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速 度为 cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等】 10.如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=4cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB 边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以心ms的速度沿BC边向点C运动， 到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当v为m/s 时，存在某一时刻，△ADP与△BPQ全等 D 命学科网·：子学 www.zxxk.com 让学习更高效 11.如图，已知长方形ABCD的边长AB=30cm,BC=24m,点E在边AB上，AE=14cm,如果点 P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上从点C向点D运动.则 当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等. D 0 B 12.如图，在四边形ABCD中，AD I BC,AD=6cm,BD=10cm,BC>8cm.动点P以1cm/s的 速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿边8C向点C匀 速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动，三点同时出发.连接PM、QM,当 动点M的速度为 cm/s时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与△QBM 全等. g 13.已知，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC, E m D E m 图① 图② 图③ (I)如图①，若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为 ,BD,CE与DE的数量关系为 (2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由： (3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cmDE=10cm点A在线段DE上以2cm/s的速度 由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的 时间为tS).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请 说明理由， 命学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 困难题 14.已知AB=4cm,AC=BD=3cm.点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点 Q在BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s). D 图① 图② (1)如图①，AC⊥AB,BD⊥AB,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP 与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系： (2)如图②，将图①中的“AC⊥AB,BD1AB改为“∠CAB=∠DBA=60”,其他条件不变.设点Q 的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的 值；若不存在，请说明理由。 15.综合与探究 如图，在长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=12cm,AD=BC=16cm,点E 在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点F在线段CD上由点C向点D运动，它 们运动的时间为t(s) D (1)EC= cm(用含t的代数式表示)； (2若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当t=2时，判断线段A和EF的数量关系和位置 关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为vcm/s,是否存在v的值，使得△ABE与△ECF全等？若存在直接写出v 的值；若不存在，请说明理由学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 全等三角形的存在性问题 基础题 1.C 【难度】0.94 【知识点】添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质,熟知全等三角形的性质是解题的关键.先根据题 意得到zBCA=2PA0=90*,则以A、B、C为顶点的三角形与以4、P、O为顶点的三角形全等 只有△ACB=△OAP和△ACBAPAO两种情况,由此利用全等三角形的性质求解即可 【详解】解::Ax是AC的垂线 ..BCA= PA0-90* .以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、O为顶点的三角形全等,只有△ACB:△0AP和△ACBA PAo两种情况. 当△ACB:△QAP, ..AP=BC=6cm; 当△ACB:△PAQ. '.AP=AC=12cm 故选:C. 2. D 【难度】0.85 【知识点】全等三角形的性质 【分析】设BE=3t,则BF=7t,使△AEG与△BEF全等,由2A=2B可知,分两种情况:当BE= AG. BF三AE时,当BE三AE,BF三AG时,列方程即可求解,本题主要考查了全等三角形的性质 利用分类讨论思想是解答此题的关键 【详解】解:设BE=3t,则BF=7t, '.'乙A=2B-90*, :.△AEG与△BEF全等,可分两种情况 情况一:当BE=AG,BF=AE时 ".'BF=AE,AB-60 ..7t-60-3t 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 解得:t=6, ' G$=$ $E-3$-3$$ = $$ 情况二:当BE=AE,BF=AG时 '.'BE=AE,AB=6 0$ '.3t=60-3t 解得:t=10, ' A G$=$BF=$ $t=7$t 0 = 0$ 综上所述,AG=18或70 故选:D. 3. C 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,根据题意,分两种情况进行讨论,根据题意得 出BP=2t-2和AP=16-2t=2即可求得 【详解】解:由题意得:AB=CD,乙ABP=2DCE=90 若 ABP= DCE-90*,BP=CE=2 根据SAS证得△ABP△DCE . BP=2t=2,即t=1, 若 BAP=2DCE=90*,AP=CE=2. 根据SAS证得△BAP:△DCE, .AP=16-2t-2,即t-7. .当:的值为1或7秒时,△ABP与△DCF全等 故选:C. 4. B 【难度】0.85 【知识点】全等三角形的性质、代入消元法 【分析】分△ACP△BPO,△ACP△B0P两种情况进行讨论,求出x、:的值,即可得出答案 【详解】解:根据题意得:AP=2t,BP=7-2t,BQ=xt, 当△ACP:△BPO时,AP=BQ,AC=BP, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 2# 解得:( 当△ACP=△BOP时,AP=BP,AC=B, #27-2 。 综上分析可知,轩轩与笑笑的答案合在一起才完整,故B正确 故选:B. 【点晴】本题主要考查了全等三角形的性质、解二元一次方程组,解题的关键是熟记全等三角 形的性质,并注意分类讨论 中等错 题 5.3或7或10 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合(HL) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质,学会分类是解题的关键,分情况,当E 在线段AB上,或当E在线段AB延长线上,由HL即可求解 【详解】解:.CA1AB,BM1AB ..2CAB= DBE=90*. “:ED-CB, 当E在线段AB上时. 若BE=AC ..Rt△DEBRt△BCACHL) .'AE-3tcm. *.BE=AB-AE=(15-3t)cm, ..15-3t=6. .t-3; 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 若BE=AB, '.Rt△DEB Rt△CBA(HL) '.AE=0, .t=0(舍去). 当E在线段A延长线上时 若BE=AC, '.Rt△DEB Rt△BCA(HL) '.' F=3$t=AB+BE=15+6 =2 1($cm $ ..t-7, 若BE=AB, '.Rt△DEB=Rt△CBA(HL) .AE=3t=AB+BE=15+ 15=30(cm$$ ..t-10. :.当t=3或7或10秒时,ADFB与△BCA全等 故答案为:3或7或10 6.1 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质,利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答 ①当△ABPAPCO和②当△ABP:A0CP时,利用全等三角形对应边相等,列出方程即可求解 利用全等三角形对应边相等,列出方程是解题的关键 【详解】解:由题意知,BP=2t(cm),PC=(6-2t)cm, .AB-4cm: ①当△ABP△PCo时, .BA=CP. .6-2t=4. t=1; ②当△ABP丝△OCP时 '.BP-CP-3cm 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .2t-3, .t- 综上,当t的值是1或时,能够使△ABP与△C0P全等 故答案为:1或 7.41 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质,设点P运动时间为,秒,点0运动速度为vcm/s 则BP=4tcm,C0=vtcm,根据2B=C=120*,可得△BAP△COP或△BAP△CP0,再根据全 等三角形的性质,即可求解 【详解】解:设点P运动时间为t秒,点o运动速度为vcm/s,则BP=4tcm,cQ=vtcm, .CP=(12-4t)cm. .2B=2C=120*, .△BAP△COP或△BAP=△CPQ. 当△BAP=△CQP时,CQ=AB=8cm,BP=CP=-BC=6cm, .4t6,解得:t-} .-8 解得:v-15cm/s; 当△BAP=△CPO时,CQ=BP,BP-CQ=vtcm, '.4t=vt,解得:v-4cm/s; 综上所述,点o运动速度为4cm/s或cm/s. 故答案为:4或{ 8. 7或15 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质,分两种情况讨论,BE=CE一BC或BE=CE+BC,进而 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 求得t的值,即可求解 【详解】解::CD为AB边上的高 . BDC=90*$ '乙A+ ABC=90*, DBC+ BCD=90* .乙A=乙BCD. .CF=AB, :当CE=AC时,△CFE:△ABC(SAS). .CE=AC=22cm. :BF=CE-B$C=22-8=14(c m)BE=CE+BC=22+8=30($ m$ .-=7或t-30-15, 即当t=7或15秒时,能使AABC与以点C、F 故答案为:7或15 9.6或7 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质,设点P、o的运动时间为ts,o的运动速度为acm/s,则 BP=6tcm,C0=atcm,PC=(24-6t)cm,再根据全等三角形的性质分①当△BDP:△cPo时. BD=PC,BP=CQ和②当△BDP=△CQP时,BD=CQ,BP=CP两种情况讨论即可,熟练掌握全 等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键 【详解】:AB=28cm,点D为AB的中点 B_D-AB-x28=14cm, 设点P、o的运动时间为ts,o的运动速度为acm/s,则BP=6tcm,C0=atcm. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .BC=24cm .PC=(24-6t)cm : B= C$ .△BPD与△COP全等共有两种情况 ①当△BDP=△CPQ时,则有BD=PC,BP=CQ. :14=24-6t,6t=at, .a=6,故点o的运动速度为6cm/s; ②当△BDP=△COP时,则有BD=CO,BP=CP .14=at,6t=24-6t, .t-2, .a=7,故点o的运动速度为7cm/s 综上所述:点0的运动速度为6或7cm/s 10.1或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】主要考查了全等三角形的性质,一元一次方程的几何应用,解本题的关键是熟练掌握 全等三角形的判定与性质.可分两种情况:①△DAP△PBO得到AP=B0,AD=BP,②△DAPA OBP得到AD=BQ,AP=BP,然后分别计算出t的值,进而得到v的值. 【详解】解:①当AP=BQ,AD=BP时,△DAP=△PBQ, .AD-4cm, .PB-4cm, .AP-6-4=2(cm). .BQ-2cm. :1t=2,解得:t-2, .2v=2, .v=1, ②当AD=BQ,AP=BP时,△DAP=△OBP, .AP-BP=3cm. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 . 1t=3,解得:t=3, 'AD=B0=4cm$$ .vt3=4, 解得:v-{ 综上所述,当v=1或封,存在某一时刻,△ADP与△BP0全等 故答案为:1或 1. 4 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质,分别利用:①当EB=PC,BP=OC时,△BPEA CQP;②当BP=CP,BE=QC时,△BPE:△CPQ,进行求解即可,关键是掌握三边对应相等的 两个三角形全等. 【详解】①当EB=PC,BP=QC时,△BPE:△CQP. :AB=30cm,AE=14cm .BE-16cm, .PC=16cm, .BC-24cm. .QC=BP=BC-PC=8cm ·点P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C向运动 .时间为:8+4=2(s), -点o的运动速度为8+2-4(cm/s); ②当BP=CP,BE=QC时,△BPE=△CPQ. 设x秒时,BP=CP, 由题意得:4x=24-4x, 解得:x-3, .QC=BE=16cm .16+3-15(cm/s), 故答案为:4或{。 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 12.0.5或2.5 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、几何问题(二元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质,平行线的性质,解二元一次方程组,设运动的时 间为ts,动点M的速度为vcm/s,则AP=tcm,BQ=2tcm,BM=vtcm,进而得到PD=(6- t)cm,DM=(10-vt)cm,再分当△DPM:ABMO时,当△DPMABOM时,两种情况根据全等三 角形对应边相等建立方程组求解即可 【详解】解:设运动的时间为ts,动点M的速度为vcm/s 由题意得,AP=tcm,BQ=2tcm,BM=vtcm, .'.PD=(6-t)cm,DM=(10-vt)cm . ADlIBC, ..乙ADB=ZDBC. 当△DPM:△BMO时,则DP-BM,DM=BQ, ..6-t=vt,10-vt=2t 解得t-4, ..6-4-4v, 解得v-0.5. 当△DPM:△BOM时,则DP=BO,DM=BM ..6-t=2t,10-vt=vt 解得t-2, ..10-2v=2v. 解得v-2.5. 综上所述,动点M的速度为0.5cm/s或2.5cm/s 故答案为:0.5或2.5 13.(1)BD=AE.BD+CE-DE (2)成立,理由见解析 (3)存在,t-x-2或t-x- 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论 等知识,证明三角形全等是解题的关键 (1)由平角的定义和三角形内角和定理得zCAE=2ABD,再由AAS证明△ABD=△CAE,得BD= AE.CE三AD,即可解决问题 (2)同(1)得△ABD:△CAE(AAS),得BD=AE.CE=AD,即可得出结论 (3)分△DABAECA或△DAB△EAC两种情形,分别根据全等三角形的性质求出:的值,即 可解决问题. 【详解】(1)解:.AB1AC ..ZBAC-90* .'. BDA= AEC= BAC=90* '.'BAD+ CAE=90{*.2BAD+ ABD=90* ..CAE=ABD. .AB=CA, .'.△ABD=△CAE(AAS). ..BD=AE.AD=CE. ','AF+AD-DE ..BD+CE=DE. 故答案为:BD=AE.BD+CE=DEt (2)解:成立,理由如下 .' BDA= AEC= BAC,$ BAD+ CAE+ BAC= BAD+ ABD+ BDA=$18$0*$ .._BAD+ CAE=ZBAD+乙ABD. ..CAE=乙ABD .'BDA=ZAEC.AB=CA, ..△ABD=△CAE(AAS), ..BD=AE.AD=CE. '.'AE+AD-DE .'.BD+CE=DE; (3)存在,理由如下; 当△DAB:△ECA时,AD=CE.BD=AE=7cm “''AD+AF=DF=10cm.