【专项练】截长补短模型-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 截长补短模型 基础题 1. B 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、根据等角对等边证明边相等 【分析】如图,在CA上截取CN=CB.连接DN证明△CBD:△CND利用全等三角形的性质证明 BD=ND.求解CN=9.AN=7. 再证明DN=AN.从而可得答案 【详解】解:如图,在CA上截取CN=CB.连接DN .CD平分ACB .2BCD=NCD .CD=CD. .△CBD=△CND(SAS) .BD=ND.2B=ZCND B D A .BC=9,AC=16 :CN=9.AN=AC-CN=7 :2CND=乙NDA+ZA .2B=NDA+/A .B=2A .乙A=NDA .ND-NA .BD=AN-7 故选:B. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,掌握以上知识是解题的 关键. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 中 等 题 2. C 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】在AB上截取AF=AD,连接EF,易得 AEB=90*和△ADE△AFE,再证明 ABCE△BFE,利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系 【详解】解:如图所示,在AB上截取AF三AD,连接EF :AD/BC, .ABC+ DAB=180”, 又:BE平分ABC,AE平分乙DAB . ABE+EAB-(乙ABC+DAB)=90*, 'AEB-90即2+ 4=90* 在△ADE和△AFE中, AD-AF 乙DAE-ZFAE AE-AE .△ADE△AFE(SAS), 所以1-2, 又 2+ 4-90, 1+ 3-90 所以3-之4. 在△BCE和△BFE中. (_CBE-ZFBE BE-BE 23=24 ..△BCEC2△BFE(ASA). 所以BC-BF 所以AB-AF+BF-AD+BC; 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故选C. 【点晴】本题考查全等三角形的判定和性质,截长补短是证明线段和差关系的常用方法 3. C 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD△AED,得到 B= AED,AB=AE 再证明CD=CE,进而代入数值解答即可 【详解】在AC上截取AE=AB,连接DE , :AD平分乙BAC, . BAD- DAC 在△ABD和△AED中, AE=AB BAD=DAC, AD=AD .△ABD△AED(SAS). .. B= AED, ADB= ADE,AB=AE, /B-2ADE * AED-2ADB. BDE=2 ADB *' AED= C+ EDC=2 ADB. BDE= C+ DEC=2 ADB$ ..DEC=EDC .'.CD=CE, “.AB-5,cD-6. :.AC=AE+CF=AB+CD=5+6=11 故选:C. 【点晴】本题考查全等三角形的判定和性质;利用了全等三角形中常用辅助线,截长补短法松 造全等三角形,然后利用全等三角形解题,这是解决线段和差问题最常用的方法,注意掌握. 4. A 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质 【分析】在BC上截取CG=CF,连接FG,通过证明△DFG△EFC,可得DG=EC,即可求解 【详解】解:如图,在BC上截取CG=CF,连接FG E :△ABC是等边三角形 .乙ACB-60*} :F是Ac的中点 .CF=CG=-AB=:BC .△FCG是等边三角形 .Z GFC=60*,FG=CF .△DFE是等边三角形 . FD=FE, DFE=60*, . DFG= EFC 在△DFG与△EFC中. FD-EF DFG=ZEFC. FG-CF .△DFG:△EFC(SAS). .DG-EC .CF+EC=CD. .BC+EC=CD. ,_c_1 ,2 .一- a=1; 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故选:A. 【点晴】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,本题的 难点是作出辅助线,构成全等三角形 5.4 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】在BC上截取BE=AB,利用“边角边”证明△ABD△EBD,根据全等三角形对应边 相等可得DE=AD,由全等三角形对应角相等可得乙BED=乙A,然后求出C=CDE,根 据等角对等边可得CE-DE,等量代换得到EC=AD,则BC=BE+EC=AB+AD即可求出A 长. 【详解】解:(1)在BC上截取BE一BA,如图. B .BD平分ABC, '.ABD=乙EBD 在△ABD和△BED中. BE=BA 乙ABD-ZEBD, BD-BD ..△ABD△EBD(SAS): '.DE-AD,BED-乙A .乙A-2C '.BED=C+ EDC=2C .乙EDC=乙C ..ED-EC, .EC-AD. .".BC=BE+EC=AB+AD “.BC-10,AB-6 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ..AD-10-6-4; 故答案为:4. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和的性质,等角对等边的性质,作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键 6. 180-2x 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明、正多边形的内角问题 【分析】在CD上截取CE=CB,证明△ABC△AEC得AE=AB,B= AEC可进一步证明 之D+之B=180*再根据四边形内角和定理可得结论 【详解】解:在CD上截取CE=CB,如图所示 C B 在△ABC和△AEC中. CE=CB ACE=LACB 1AC=AC ..△ABC2△AEC(SAS) 'AE=AB.B= AEC :AB=AD. ..AD-AE. .D-乙AED, .乙AED+ AEC=180", .'. D+B=180. .DAB+ ABC+ BCD+ CDA=360 DAB+$BCD=360*-ABC-$$CDA=360*-180*=180*$$$$ . BCD= ACB+ ACD=x+x=2x '. DAB=180*- BCD-180*-2x 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故答案为:180*-2x 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识 作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点 7. 200 【难度】0.65 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质 【分析延长AB至点E使BE=AD,连接CE,证明△AEC是等边三角形,设乙ACD=x,则2ABC=4x 再证明△ADC△EBC(SAS),即可得到结果 【详解】解:如图,延长AB至点E使BE=AD,连接CE. .'.AE=AD+DB+BE=2AD+BD. .'AC=2AD+BD. ..AE=AC. .乙A-60”, .△AEC是等边三角形, .2E=乙ACE-60*, '.'乙ABC-4乙ACD '.设2ACD=x,则 ABC=4x.在△ADC与△EBC中 #二 (AD=BE .△ADC:△EBC(SAS). ..乙ACD=ZECB=x. '.'乙ABC= E+ZBCE, ..4x-60*+x. ..x-20”, *.BCD-60*-20*-20*=20* 故答案是20*. 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 E 【点晴】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,准确分析计算 是解题的关键 8.120*-a/-a+120 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质 【分析】在BD上截取BE=AD,连结CE,可证得△BEC:△ADC,从而得到CE=CD DCE= ACB=60*,从而得到△DCE是等边三角形,进而得到 BDC=60*},则有 BCE=60{*-a$$ 即可求解. 【详解】解:如图,在BD上截取BE=AD,连结CE :△ABC为等边三角形: "BC=AC. BAC- ABC= ACB=60* .'乙DBC=2DAC=a, BE-AD. ..△BEC:△ADC, ".CE=CD, BCE= ACD .BCE+ ACEACD+ACE 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. DCE= $ACB=6 0$$ : CE=CD, '.ADCE是等边三角形 . BDC=60*. *.BCD=180*-60*-a=120*-a 故答案为:120*-a 【点晴】本题主要考查了等边三角形判定和性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是做 出辅助线构造全等三角形是解题的关键 9.。 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的 性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的性质等 知识点,解题关键在于学会添加常用辅助线,构造出全等三角形.在FA上取一点7,使得FT=BF 连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.证明AT=DK,DK=BD,推出BD=AT,推 出BT=AD即可解决问题 【详解】解:在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK ..EF1AB,FT=BF, ..EB=ET, ..B-乙ETB, .'ETB= 1+AET,乙B=乙1+乙2 ..AET=Z2, '.'AE=CD.ET=CK ..△AET:△DCK(SAS). ..DK=AT,乙ATE=ZDKC, .'.2ETB=ZDKB 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.B= DKB$$ '.DB=DK$ '.BD=AT, '.AD=BT$ .AD= #fm 故答案为: 10. 13 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】考查了全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键 在DF上截取DG=BE,先证△ADG:△ABE,再证△AFG:△AEF,可得EF=FG,再由△CEF的周 长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答 【详解】解:在DF上取点G,使DG=BE .'ABE+ ABC=180*,ABC+乙ADC=180* .'.ZD=乙ABE 在△ADG与△ABE中 (AB-AD _ABE=2D, (1BE=DG '.△ABE:△ADG(SAS), *.AG=AE,乙EAB=ZDAG, '. EAB+ GAB= DAG+ GAB,即 EAG= BAD .ZEAF-BAD,扇学科同·艇子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 截长补短模型 基础题 1.如图，△ABC中，∠B=2∠4，∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC-16,BC=9,则 BD的长为() B D A.6 B.7 C.8 D.9 中等题 2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且 BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是() B A.AB>AD+BC B.AB<AD+BCC.AB=AD+BCD.无法确定 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=5,CD=6,则AC的长为() D A.3 B.9 C.11 D.15 扇学科同·服子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 4.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在D的右侧 作等边△DF,连接EC,若存在实数k,使得Ct为定值a,则和a分别是（） A.k=3a=1B.k=3a=1C.k=1,a= D.k=2,a=3 二、填空题 5.如图，∠A=2C,BD平分∠ABC,BC=10,AB=6,则AD=一 B 6.如图，△ABC与△ADC有一条公共边AC,且AB=AD,∠ACB=∠ACDx,则∠BAD=.(用 含有x的代数式表示) B 7.如图，已知AABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,则∠DCB的度 数是 函学科同·腰子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 B 8.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=a(0°<&<60)，则∠BCD= (用含a 的式子表示) 9.如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF1AB于F,∠B=∠1+∠2，AE=CD,BF= 则AD的长为 2 E 10.在四边形A8CD中，AB=AD,LA8C与LADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且LEAF=∠BAD, 当BC=4,DC=7,CF=1时，△CEF的周长等于 高学科网·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 11.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M N,使△AN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 12.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F, 过点0作0D1BC于D,下列四个结论：①LA0B=90°+C;②当C=60时，AF+BE=AB;③ 若0D=a,AB+BC+CA=2b,则S。ABc=ab.其中正确的是 (填写正确的序号) B E万 困难题 13.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求 证：DA=DC 思考：“角平分线+对角互补可以通过“截长、补短等构造全等去解决问题， 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明 (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE1BC,垂足 为点E,请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系， 高学科同·服子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 B B D 图1 图2 图3 14.课堂上，老师提出了这样一个问题： E D D 图1 图2 A D B D 图3 图4 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,且AB+BD=AC,求证：∠ABC=2∠ACB,小明 的方法是：如图2，在AC上截取AE,使AB=AB,连接DE,构造全等三角形来证明. (1y小天提出，如果把小明的方法叫做截长法”，那么还可以用“补短法通过延长线段A构造全 等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长AB至F,使F=,连接DF请补全小天提出的 辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线： (2小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,且AB+BD=AC.求 证：∠ABC=2LACB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； 高学科网·短子学 www.2×Xk.c0m 让学习更高效 (3y小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,点D在边BC上，AB+BD=AC,那么AD平分∠BAC小东判断这 个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明， 15.如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系， 图1 图2 图3 (Iy小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE兰△ADG, 再证明△AEF兰△AGF,可得出结论，他的结论应是 ；(直接写结论，不需证明) (2如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADF=180°，E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF= 4BAD,(1)中结论是否仍然成立，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC、CD延长线上的 点，且EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 们之间的数量关系，并证明，