【专项练】对角互补模型-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

命学科同·：子学 Www.2××k.c0m 让学习更高效 对角互补模型 中等题 1.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务. 关于“互补四边形的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为▲· 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为180的四边 形叫“互补四边形. 【性质探究】如图1，在“互补四边形ABCD"中，∠B+∠D=180°，∠DCE是四边 形ABCD的一个外角.试判断∠DCE与∠BAD的数量关系，并说明理由. 猜想：∠DCE=A. 证明：，'∠B+∠D+∠A+∠BCD=360°，∠B+∠D=180°， E D B 图1 任务： (1)材料“▲”处的内容为 (2)补全材料中“处的证明过程 (3)如图2，在互补四边形ABCD中，∠BAD+∠DCB=180,AD⊥CD,E为BC延长线上的一点， 且点E到AB和AD的距离相等，连接AE,交∠DCE的平分线于点F.求证：AF⊥CF, 高学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更离效 D B 图2 2.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求 证：DA=DC. 思考：“角平分线+对角互补可以通过截长、补短等构造全等去解决问题 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题， 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明 (2)问题解决：如图2，在（1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由； D D 图1 图2 3.四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形 B D 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=90°，AB=AD,求∠ACB的度数.小 云同学是这么做的：延长CB至M,使得BM=CD,连AM,可证明△CAD≌△MAB,通过判断△MAC 的形状，可以得出结论， 高学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ①在图1中按要求完成作图： ②△MAC的形状为 ③LACB=于 (2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,试证明：CA=CB+CD; (3)如图3，等腰△ABD、等腰△CDE的顶角分别为LBAD、∠C,点B在线段CE上，且∠BAD与∠C 互补.请你判断∠DAE与∠DBC的数量关系并证明 困难题 4.【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C= 180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形 图① 图② 【问题解决】 (1)若四边形ABCD是“对角互补四边形，且∠B=3∠D,求∠B的度数： (2)如图②，∠MON=60°，OB平分∠MON,A是射线0N上一动点，C是射线0M上的动点，且四 边形C0AB是“对角互补四边形. ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数： ②若0B=m,若Sa8oc:5a8o4=n,求0C的长（用含m、n的代数式表示）.命学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 对角互补模型 中等题 1.(1)360°： (2见解析： (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、同等)角的余（补）角相等的应用、三角形内角和定理的证明、 多边形纳角和问题 【分析】（1)根据四边形的内角和定理即可求解； (2)由“互补四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°，通过等角的补 角相等即可求证： (3)由AD⊥CD,则∠D=90°，由“互补四边形的性质可得∠B=90°，又点E到AB,AD的距离相 等，则AE平分∠BAD,由CF平分∠DCE和∠DCE=∠BAD,得∠ECF+∠AEB=9O°，最后由三角形的 内角和定理即可求解。 【详解】(1)解：由四边形的内角和为(4-2)×180°=360°， 故答案为：360°； （2)解：补全证明过程如下： .∴.∠A+∠BCD=360°-180°=180°， .∠DCE+∠BCD=180°， ,∴.∠DCE=∠A; (3)证明：，'AD1CD, .∠D=90, .'∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，∠BAD+∠DCB=180°， ..∠B=90, .∴.∠EAB+∠AEB=180°-90°=90°， ,'点E到AB,AD的距离相等， ∴.AE平分∠BAD, ∠EAB=LBAD, 'CF平分LDCE, 高学科同·：子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 ∴∠ECF=;DCE, 由(2)知，∠DCE=∠BAD, ,∴.LEAB=LECF, ∴.∠ECF+∠AEB=90°， .∴.∠CFE=180°-(LECF+∠AEB)=90°， ∴.AE⊥CF. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的判定，等角的补角相等，角平分线的有 关计算，四边形的内角和，补角的定义等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键， 2.(1)证明见解析；(2)AB+C=BD;理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 和性质 【分析】(1)根据题意，采用截取等长的方法，在BC上截BM=BA,构造△ABD兰AMBD,再利 用等腰三角形的性质求解： (2)巧妙利用(1)的结论和方法进行延伸，延长CB,结合等边三角形的性质，同时构造两个 全等三角形，进而找到边长关系 【详解】 图1 解：(1)方法1：在BC上截BM=BA,连接DM,如图， .BD平分LABC ∴.LABD=∠CBD, BD=BD 在AABD和△MBD中，(LABD=MBD, BA=BM ..△ABD兰△MBD,∠A=∠BMD,AD=MD, ,∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°， 高学科同·：子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 ∴.∠C=∠CMD,DM=DC, .'DA=DC. B 图1 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,如图， ,BD平分∠ABC ∴.∠NBD=∠CBD. BD=BD 在ANBD和△CBD中 ∠NBD=∠CBD, BN=BC .∴.△NBD≌△CBD,∠BND=∠C,DN=DC, ,'∠NAD+∠BAD=180,∠C+LBAD=180, .∴.∠BND=∠NAD, .'DN DA, .∴.DA=DC. (2)AB、BC、BD之间的数量关系为：AB+BC=BD, D 图2 如图2所示，延长CB到点P,使BP=BA,连接AP, 由（1)可知AD=CD, ∠DAC=60, ∴.△ADC为等边三角形.AC=AD,∠ADC=60°， .'∠BCD+∠BAD=180°， 高学科同·：子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 ,∴.∠ABC=360°-180°-60°=120°，∠PBA=180°-∠ABC=60, .'BP =BA, .△ABP为等边三角形， ,∴.∠PAB=60°，AB=AP, .∠DAC=60, ∴.∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,银即∠PAC=∠BAD, PA=BA 在△PAC和△BAD中，{∠PAC=∠BAD, AC=AD .△PAC兰△BAD,PC=BD, PC=BP+BC=AB+BC, ∴.AB+BC=BD 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形、等边三角形关系与性质，关键是 要采用截长补短的方法，添加适当的辅助线构造出全等三角形. 3.(1)①见解析；②等腰直角三角形；③45° (2)见解析 (3)片DAE+∠DBC=180°，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定 义及性质 【分析】(1)①按题意画出图形即可； ②证明△CAD≌△MAB,由全等三角形的性质得出∠CAD=∠MAB,AC=AM,可得出∠CAM=90°， 则可得出答案； ③由等腰三角形的性质可得出答案； （2)延长CB至M,使得BM=CD,连AM,证明△CAD兰△MAB,得出∠CAD=∠MAB,AC=AM, 证明△ACM为等边三角形，则可得出答案； (3)延长CD至M,使得DM=CB,连AM,AC,延长BA至F.证明△ABC兰△ADM,得出AC=AM, 则∠M=∠ACB=∠ACD,证明△ACD兰△ACE,由全等三角形的性质得出AD=AB=AE,得出 LDAE=2∠DBE,则可得出答案， 【详解】(1)①如图1， 盛学科同·短子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 D B M 图1 ②，'∠ADC+∠ABC=180°，∠ABM+LABC=180°， ∴·LADC=∠ABM, AD AB ,∴.△CAD兰△MAB(SAS), ∴.∠CAD=∠MAB.AC=AM, .∠CAD+∠CAB=90°， .∴.∠MAB+∠CAB=90°. 即∠CAM=90°， ∴.△MAC为等腰直角三角形 故答案为：等腰直角三角形： ③，'△MAC为等腰直角三角形， .∠ACB=45 故答案为：45°； (2)如图2，延长CB至M,使得BM=CD,连AM, D B M 图2 ,'∠ADC+∠ABC=180°，∠ABM+LABC=180°， ∴.∠ADC=LABM, .AD AB, .∴.△CAD≌△MAB(SAS), 命学科同·：子学 www.2X×k.c0m 让学习更高效 ,∴，∠CAD=∠MAB,AC=AM, ∴.∠CAM=∠MAB+∠CAB=∠CAD+∠CAB=∠BAD=6O°， ∴.△ACM为等边三角形 .'CA CM=CB +BM=CB+CD. (3)DAE+∠DBC=180.理由如下： 证明：如图3，延长CD至M,使得DM=CB,连AM,AC,延长BA至F. 8 A 图3 则∠ADM=LABC, 又AB=AD, ∴.△ABC兰△ADM(SAS), .'AC AM, ∴.∠M=∠ACB=∠ACD, 又CD=CE,CA=CA, .∴.△ACD兰△ACE(SAS), ∴.AD=AB=AE, ∴，∠DAF=2∠ABD,∠EAF=2∠ABE, .∴.∠DAE=2∠DBE, .∠DBE+∠DBC=180°， ∴DAE+∠D8C=180 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 困难 题 高学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 4.(1)∠B=135°， (2)①LBAN的度数为120或75，②3m n+1 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、多边形内 角和问题 【分析】(1)根据四边形ABCD是“对角互补四边形"，求得∠B+∠D=180°，根据题意列方程即 可得到结论： (2)①根据“对角互补四边形的定义得到∠ABC=120°，根据角平分线的定义得到∠B0C= ∠B0A=30°，当∠BC0=∠B0C=30时，求得∠CB0=120°=∠ABC(不符合题意，舍去)，当∠CB0= ∠B0C=30时，求得∠BAW=120;当∠CB0=∠0CB时，求得∠BAN=75°； ②如图②，过点B作BG⊥ON于G,BH⊥OM于H,根据已知条件得到0C:OA=n,根据四边形C0AB 是“对角互补四边形，求得ABC=120°，根据全等三角形的性质得到CH=AG,解方程即可得 到结论。 【详解】(1)解：：四边形ABCD是“对角互补四边形， .∴.∠B+∠D=180°， ∠B=3∠D, B+∠B=180°， .∴.∠B=135; (2)①.四边形C0AB是“对角互补四边形，∠M0N=60°， ,∴.∠ABC=120°， .OB平分LMON, .∴.∠B0C=∠B0A=30, 当∠BC0=∠B0C=30时， .∠CB0=180°-30°-30°=120°=∠ABC(不符合题意，舍去)， 当∠CB0=∠B0C=30时， ∴.∠AB0=120°-30°=90°， .∴.∠BAN=∠B0A+∠AB0=120°； 当∠CB0=∠0CB时， ∴.∠0BC=(180°-30)=75，∠A80=120°-75°=45， 高学科同·服子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ,∴.∠BAN=∠B0A+∠AB0=75°. 综上所述：∠BAW的度数为120°或75°； ②如图②，过点B作BG⊥ON于G,BH⊥OM于H, M ● GA N 图② ,∠B0C=∠B0A=30, .BG=BH-08-m.OH -0G-m, ..SAB0c:5B04=GOC.BH)0A.BG)=n, .∴.0C:0A=n, ,四边形C0AB是“对角互补四边形， ∴.∠ABC=180°-∠M0N=120°， ,∵∠BH0=∠BG0=90, .∴.∠HBG=180°-∠M0N=120°， .∠CBH=∠ABG, 在△CBH与△ABG中， (LBHC=∠BGA ∠CBH=∠ABG, BH=BG ∴.△CBH≌△ABG(AAS), .'CH AG, .∴.OC+CH=OA-AG, ∴.0C+2CH=0C, (G-1)0c=2CH, CH=器oC, .OH=OC+CH, 命学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 0c+号0c=9m, ∴0c== 【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股 定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形，正确地找出辅助线是解题的关键，