【专项练】倍长中线模型-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·子学 Www.2××k.c0m 让学习更离效 倍长中线模型 基回题 1.如图，点D是△ABC的边BC上的中线，AB=6,AD=4,则AC的取值范围为() D A.2<AC<14 B.2<AC<12 C.1<AC<4 D.1<AC<8 2.如图，AD为△ABC的中线，AB=3,AC=2,则AD的长可能是（) A.0.5 B.2 C.2.5 D.3 3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3,AD=4.则AB可以是() B D A.3 B.4 C.5 D.7 4.在△ABC中，D点是BC的中点，AD=5,AB=6,则AC的取值范围是() A.1<AC<11B.4<AC<16 C.2×AC<8 D.<AC< 5.在△ABC中，AC=6,BC边上的中线AD=7,则AB边的取值范围是() A.6<AB<7 B.5<AB<14 C.7<AB<20 D.8<AB<20 6.如图，在长方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上一点，若SAAEF:SACEF=4:1,则AB与CF 的数量关系是() 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 A.AB=5CF B.AB=4CF C.AB=3CF D.AB=2CF 中等题 7.如图所示，在△ABC中，AB=3.AC=4,则BC边上的中线AD的长x取值范围是 8.已知△ABC的两边AB,AC长分别为3和5，BC边上的中线AD的取值范围为 9.已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 10.如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若BE=AC,AF=2, CF=8,那么BF的长度为 11.【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在△ABC中，AB=7,AC=5,求出BC边上的中线AD的取值范围 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中】 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 【问题解决】 解： 12.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8, AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围 图1 图2 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明 的方法思考： (1)选择：由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是() A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)填空：求得AD的取值范围是 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点“中线字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知 条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，已知：CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. 13.阅读下列材料，完成相应任务。 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长AD至E,使DE=AD, 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 ,AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD, 在△BDE和△CDA中， BD =CD ∠BDE=∠CDA, DE=DA ∴.△BDE≌△CDA(依据1)， .'BE CA, 在△ABE中，AB+BE>AE(依据2)， ∴.AB+AC>2AD. 图1 图2 图3 图4 (1)任务一：上述证明过程中的“依据1和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线AD,使DE=AD,构造了一对全等三角形，将AB,AC,AD转化到一个 三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”，“倍长中线法"多用于构造全等三角形 和证明边之间的关系， (2)任务二：如图3，AB=6,AC=8,则AD的取值范围是_； A.6<AD<8;B.6≤AD≤8；C.1<AD<7 (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题 如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90,D为BC中点，求证：AD=BC. 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 困难题 14.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M,使DM=AD,连接BM. 【探究发现】 (1)如图①，AC与BM的数量关系是 位置关系是 【初步应用】 (2)如图②，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围： 【探究提升】 (3)如图③，AD是△ABC的中线，过点分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC, 延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由. E 图① 图② 图③ 15.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流.小明 得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD 请根据小明的方法思考： B (1)求得AD的取值范围是 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC,DC=DE,P为BE的中点. 多学科同·子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 图1 图2 图3 (2)如图1，若A,C,D共线，求证：AP平分∠BAC; (3)如图2，若A,C,D不共线，求证：AP⊥DP; (4)如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x,且AB=AC=CD=DE,则∠PDC的度数是 (用含的代数式表示)，学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 倍长中线模型 基础题 1. A 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系,解题的关键是作辅助 线,构造全等三角形. 延长AD至E,使DE=AD,连接CE. 由SAS证明△ABD△ECD,得CE=AB=6,再根据三角形 的三边关系即可求解 【详解】解:延长AD至E,使DE三AD,连接CE. , 则AF-2AD-8. :AD是边BC上的中线 .CD=BD: 在△ABD和△ECD中 AD=ED ADB=ZEDC: BD=CD .'.△ABD:△ECD(SAS). .'.CE=AB-6. 在△ACE中,AE-EC<AC<AE+EC 即8-6<AC<8+6 :2<AC<14 故选:A. 2. B 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型一倍长中线模型及三角形三边关系的应用.倍长AD 构造△ABD△ECD,推出AB=CE=3,再利用三角形三边关系求解即可 【详解】解:如图,延长AD至E,使AD三DE,连接CE :AD是△ABC的中线 .CD=BD. 在△ABD和△ECD中. AD-DE 2ADB=2EDC, BD=CD .'.△ABD:△ECD(SAS). .AB-CE-3. 在△ACE中,CE-AC<AE<CE+AC ..1<2AD<5. ..0.5<AD<2.5. 观察四个选项,B选项符合题意 故选:B. 3.D 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系,添加恰当辅助线构造全等 三角形是解题的关键.延长AD至H,使AD-DH-4,连接BH,由"SAS可证△ADC:△HDB,可 得AC=BH-3,由三角形的三边关系可求解 【详解】解:如图,延长AD至H,使AD=DH=4,连接BH 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 H 则AH=8, ·D为BC的中点, .BD=CD, 在△ADC和△HDB中. $AD=DH$ ADC= HDB,$ CD=BD .△ADC△ HDB(SAS) .AC=BH=3, 在△ABH中,AH-BH<AB<AH+BH$ :5<AB<11. 故选:D. 4. B 【难度】0.85 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE:△CDA,得出AC=BE,再根据三角形 的三边关系得到结论 【详解】解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE .1 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 在△ACD与△EBD中. BD=CD BDE=LADC, AD=DE '.△BDE=△CDA(SAS). '.BE=AC, .'$AD=$,A B=$6 $$ ..AE=10$ ..4<BE<16. .4AC16. 故选:B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的三边关系,理解倍长中线法,证明 △BDE:△CDA是解题的关键 5.D 【难度】0.85 【知识点】灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)、确定第三边的取值范围、全 等三角形的性质、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题,熟练掌握“倍长 中线法构造全等三角形是解题关键 延长AD至E,使AD=ED,利用“边角边"证明△ADC△EDB,根据全等三角形对应边相等可得 AC=EB,再利用三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边求出A 的取值范围. 【详解】解:如图,延长AD至E,使AD=ED-7. .AD是△ABC的中线 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .BD=CD, 在△ADC和△EDB中 CD=BD ADC= EDB$ ( AD=ED .△ADC=△ EDB(SAS). $AC=EB=6 $$$ 'AD=ED=7$$$$$ $AE=2AD=14 $$ * 14+6 = 0, 14-6 =$$ :8<AB<20. A、错误,不符合题意; B、错误,不符合题意 C、错误,不符合题意 D、正确,符合题意. 故选:D. 6.C 【难度】0.85 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式,学会添加适当的辅助线构 造全等三角形是解题的关键,延长AE交DC延长线于点G,通过证明△ABE:△GCE得到AB=GC AE=GE,由Sasr:Scrr=4:1,可设SAcr5=a,则S ars=4a,得到S cro=3Scsr,利用三角形 的面积公式得到CG=3CF,即可得出结论 【详解】解:如图,延长A交DC延长线于点G _ B C .长方形ABCD 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $$ $= B$CD=$ $E[CG$= 0$$ -E为BC的中点, .BE=CE, 又 AEB= GEC$ .△ABE=△ GCE(ASA) .AB=GC,$AE=$GE$ 'S△ArF:ScEF =4:1, :设S△csr=a,则S△Arr=4a, :AE=GE, .S$GrF=S△ArF=4a .SAcEG=S△GEF-ScEF=3a .ScEG=3ScEF: .. CE·CG 3..CE·CF, .CG=3CF; .AB=GC$ .AB-3CF. 故选:C. 中等题 7. 0.5<x<3.5 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查三角形的中线定义,全等三角形,三角形三边关系;倍长中线,构造全等三 角形,在新的三角形中运用三边关系定理求解,延长AD到E,使AD=DE,连接BE,证△ADCA EDB,推出EB=AC,根据三角形的三边关系求出即可 【详解】解:如图所示,延长AD到E,且AD=DE,并连接BE 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 E ·D是BC中点. .BD=CD, :LADC= BDE$AD=DE$$ :△ADC:△ EDB(SAS), .AC=BE. 在△ABE中, 有BE-AB<AE<AB+BE, .1<AE<7,即1<2AD<7$ :0.5<AD<3.5. 8.1<AD<4 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度、倍长中线模型(全等三角形的辅 助线问题) 【分析】本题考查了三角形中线的性质,全等三角形的性质和判定,三角形三边关系,根据延 长AD,取DE=AD,连接BE证明△ADC△EDB(SAS)得到BE=AC,再利用三角形三边关系得到 BE-AB<AE<AB+BE,即可解题. 【详解】解:延长AD,取DE=AD,连接BE,如下图所示 C :AE-2AD, :AD为BC边上的中线 .BD-CD, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '乙ADB= EDC, △ADB=△ EDC(SAS), .AB=EC "AB=3,AC=5 $$ .EC-3 .AC-CE<AE<AC+CE 即5-3<2AD<5+3, .2<2AD<8. .1<AD<4. 故答案为:1<AD<4. 9.15<x<4.5 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】由SAS可证△BDE=△CDA,可得BE=AC=6,AE=2x,根据在三角形中任意两边之 和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即可求解。 【详解】解:如图所示,AB=3,AC=6,延长AD至E,使AD=DE,连接BE、EC,设AD=x 在△BDE与△CDA中. AD=DE 2ADC=2BDE, BD-DC ..△BDE:△CDA(SAS). '.BE=AC-6,AE=2x, 在△ABE中,BE-AB<AE<AB+BE,即6-3<2x<6+3, .1.5<x<4.5, 故答案为:1.5<x<4.5. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是根据题意构造全等三角形及三 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 角形的三边关系. 10.12 【难度】0.65 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质,延长A到G使DG= AD,连接BG,通过△ACD△GBD,根据全等三角形的性质得到2CAD=2G,AC=BG,等量代 换得到BE=BG,由等腰三角形的性质得到2G=ZBEG,推出EF=AF即可得解决问题 【详解】解:如图,延长AD到G使DG=AD,连接BG 在△ACD与△GBD中. CD=BD _ADC=BDG, AD-DG .△ACD-△GBD(SAS) .2CAD=ZG,AC=BG :BE=AC. .BE=BG. .2G=ZBEG. .ZBEG=ZAEF .乙AEF=ZEAF. .EF=AF, :AF+CF=BF-AF,即2+8=BF-2 .BF-12, 故答案为:12. 11.1<AD<6 【难度】0.65 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题 【分析】本题考查了三角形三边关系,三角形全等的性质与判定,利用倍长中线辅助线方法是 解题的关键;延长AD到E,使得DE=AD,连接BE,根据题意证明△EDB△ADC,可知BE=AC 在△ABE中,根据AB-BE<AE<AB+BE,即可; 【详解】(1)解:如图,延长AD到E,使得DE=AD,连接BE “E :AD是△ABC的中线 .BD=CD, 在△EDB和△ADC中, BD-CD 2BDE=ZCDA, DE-AD .'.△EDB△ADC(SAS). .*BE=AC=5. 在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE, ..7-5<AF<7+5,2<AF<12 ..1<AD6. 12.(1)B;(2)1<AD<7;(3)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定 第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识点 (1)由sAS证明△ADC:△EDB,即可求解 (2)在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,即2<AE<14,即可求解 (3)证明△ABE=△FDE(SAS)、ADF:△ADC(SAS),得到乙F=zC,即可求解; 熟练掌握其性质,正确作出辅助线是解决此题的关键 【详解】(1)解::AD是中线