2024-2025学年上海八年级数学下册第三次月考试卷 考试范围：一次函数、代数方程、四边形；2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练 （沪教版）

2024-2025学年度上海八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围：一次函数、代数方程、四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题3分）在下列方程中，无实数根的方程的个数是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（本题3分）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 5．（本题3分）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题3分）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）方程的解是 ． 8．（本题2分）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 9．（本题2分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是 边形． 10．（本题2分）顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是 ． 11．（本题2分）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 12．（本题2分）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 13．（本题2分）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 14．（本题2分）用换元法解无理方程，若设，则原方程 可化为整式方程： 15．（本题2分）将二元二次方程化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 16．（本题2分）已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为 千克． 17．（本题2分）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为 ． 18．（本题2分）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 三、解答题（共58分） 19．（本题6分）解方程组：． 20．（本题6分）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点P，且，求点P的坐标． 21．（本题6分）解下列关于x的方程 (1) (2) (3) (4) 22．（本题6分）已知直线与直线都经过点． (1)求的值； (2)当________时，； (3)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 23．（本题6分）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”    (1)已知这段高速公路全程限速110千米/小时，如果两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由； (2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，当张师傅行驶完这段高速公路时，求油箱里的剩余油量． 24．（本题6分）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 25．（本题6分）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 26．（本题8分）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上． (1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标； (2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标； (3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由． 27．（本题8分）如图，在正方形中，点在边上（点与点不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．    (1)由几个不同的位置，分别测量、的长，从中你能发现的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； (2)连接，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上海八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围：一次函数、代数方程、四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求出直线与轴的交点坐标，再代入到直线中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵直线与直线相交于轴上， ∴把代入，得：， 解得：； 故选D． 2．（本题3分）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴， ∴一次函数过一、二、四象限， ∴， 解得：，． 故选：D． 3．（本题3分）在下列方程中，无实数根的方程的个数是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理方程，分式方程，熟知相关方程的解法是解题的关键． 分别根据无理方程，分式方程的求解方法求解判断即可． 【详解】解：①， 两边同时平方得，移项后，此等式不成立，所以方程①无实数根，符合题意； ②，即，两边同时平方得，解得，检验：当时，，无意义，所以方程②无实数根，符合题意； ③， 方程两边同乘得，检验：当时，分母，所以是增根，方程③无实数根，符合题意； ④，两边同时平方得，解得，，检验：当时，，，；当时，，，，所以方程④无实数根，符合题意； ⑤，两边同时平方得，移项化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式，检验：当时，，，不满足等式；当时，，，满足等式，所以方程⑤有实数根，不符合题意． 综上，无实数根的方程有①②③④，共个， 故选：C． 4．（本题3分）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 5．（本题3分）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、多边形的内角，根据平行四边形的性质和判定、多边形的内角逐一判断解题． 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 6．（本题3分）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ， ∵为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、算术平方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，解出的范围，再根据算术平方根的非负性求解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， 或， 解得：（舍去）或， 方程的解是． 故答案为：． 8．（本题2分）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 9．（本题2分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是 边形． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得． 故这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 10．（本题2分）顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是 ． 【答案】32 【分析】根据三角形的中位线定理知：三条中位线围成的三角形的各边是对应原三角形各边的一半，结合题意，通过计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，原三角形的周长 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角形中位线的知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，从而完成求解． 11．（本题2分）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半． 根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．（本题2分）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用．利用勾股定理可得，由折叠得，即可得出点D的坐标． 【详解】解：把代入得， 把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 故答案为：． 13．（本题2分）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 14．（本题2分）用换元法解无理方程，若设，则原方程 可化为整式方程： 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法，设，可得原方程为，掌握无理方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴原方程为， 故答案为：． 15．（本题2分）将二元二次方程化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元二次方程，移项后，利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，转化为两个一次方程，即可． 【详解】解： ， ∴或； 故答案为：，． 16．（本题2分）已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为 千克． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象，根据题意设出一次函数表达式，然后把代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把，代入到表达式，求出x即可． 【详解】解：设一次函数表达式为：， ∵把两点坐标代入表达式，得： ， 解得， ∴， 把，代入到，解得： 故答案为：． 17．（本题2分）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为 ． 【答案】或． 【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形的面积，再利用建立含a的方程，把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A(，0)，B(0，1)，AB==2， ， 连接OP， 当点在第二象限时， ， ， 解得或（舍）； 当点在第一象限且在直线左侧时， ， 解得（舍）或（舍）； 当点在第一象限且在直线右侧时， ， 解得或（舍）； 故答案为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键． 18．（本题2分）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 【答案】 【分析】作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于. ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴; ∴, ∵，, ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共58分） 19．（本题6分）解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，利用因式分解法解方程是解题的关键．利用因式分解法对每个方程进行化简，再联立化简后的方程即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 解得：或， 由②得，， 解得：或， 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 综上所述，方程组的解为或或或． 20．（本题6分）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点P，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解方程等知识． （1）用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，由勾股定理分别求得、、，再由，根据勾股定理得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点P的坐标为，由勾股定理得，，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， 21．（本题6分）解下列关于x的方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)，方程无解；， ， 【分析】（1）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为一，检验即可． （2）根据移项，两边平方，再两边平方，检验即可． （3）设，则，原方程可化为，去分母得，解得，，再分别解和，然后进行检验确定原方程的解． （4）移项得到，在分别计算：时； 时， 即可解答． 本题考查了解分式方程，解无理方程，换元法将分式方程转化为整式方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1） 方程两边同时乘得，， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2） 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， 再两边平方得：， ， 解得：，， 经检验是原方程的增根，舍去， 故答案为：． （3） 设，则， ∴原方程可化为， 去分母得， 解得，， 当，，此方程无实数解， 当，，解得，， 经检验、是原方程的解， ∴原方程的解为，． （4） ， ， 当时，，，方程无解， 当时，，，解得，． 22．（本题6分）已知直线与直线都经过点． (1)求的值； (2)当________时，； (3)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键． （1）先将点代入直线得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入直线即可得的值； （2）画出两个一次函数的大致图像，结合函数图像求解即可得； （3）先分别求出两个一次函数与轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， ∴， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，，， 在平面直角坐标系中，画出两个一次函数的大致图像如下： 由函数图像可知，当时，， 故答案为：． （3）解：如图，设直线与轴交于点，直线与轴交于点， 对于直线，当时，，即， 对于直线，当时，，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 即这两条直线与轴围成的三角形的面积为5． 23．（本题6分）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”    (1)已知这段高速公路全程限速110千米/小时，如果两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由； (2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，当张师傅行驶完这段高速公路时，求油箱里的剩余油量． 【答案】(1)张师傅没有超速，理由见解析 (2)当张师傅行驶完这段高速公路时，油箱里的剩余油量升 【分析】此题考查分式方程的应用和从函数图象获取信息等知识，读懂题意和从函数图象获取有效信息是关键． （1）设张师傅的速度为千米/时，根据时间关系列方程并解方程即可进行解答； （2）从函数图象获取信息进行解答即可． 【详解】（1）解：张师傅没有超速， 理由：设张师傅的速度为千米/时， ． ∴（舍去），． 经检验，是原分式方程的解． ∵， ∴张师傅没有超速． （2）由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：（升）， ∴行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：（升）． ∴即行驶完这段高速公路，他至少需要33升． ∴当张师傅行驶完这段高速公路时，油箱里的剩余油量（升）． 24．（本题6分）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)见解析 (3)2或3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答． （1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点与点D重合或点E在边上时的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， ①当时，， ②当时，； （2）证明： 连接， 如图， 在中，为对角线的中点， ∴经过点，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 在和 中， ， ， ； （3）解：①当点与点重合时，如图， 由题意得：为等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点落在边上时，如图， 由题意得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在边上时，的值为：2或3． 25．（本题6分）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据点F、G分别是、的中点，得到，由、分别是边、上的中线，得到，即可证明； （2）根据第一问结论，可得，，即证得四边形是平行四边形，根据，证得，得到，结合，得到，再根据平行四边形对角线互相平分，得到，即证明四边形是矩形． 【详解】（1）点F、G分别是、的中点 ， 、分别是边、上的中线 是的中位线 ， ，． （2）、分别是边、上的中线 ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 ，互相平分 ， ． 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 26．（本题8分）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上． (1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标； (2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标； (3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)A（2，2）； (2)（2，2）或（10，﹣2）； (3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2） 【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可； （2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标； （3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上． ∵B（0，0），C（4，0）， ∴BC的中垂线为x＝2． 又点A在直线l：y＝﹣x+3上， ∴y＝﹣×2+3＝2， 即A（2，2）； （2）设A（a，b）．则依题意得 BC•|b|＝4，即×4|b|＝4， 解得|b|＝2 ∴b＝±2． ①当b＝2时，2＝﹣a+3， 解得 a＝2 则A（2，2）； ②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3， 解得 a＝10 则A（10，﹣2）． 综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）； （3）设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0）， ，，， ∠BAC＝90°， ，即， 解得或， 所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解． 27．（本题8分）如图，在正方形中，点在边上（点与点不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．    (1)由几个不同的位置，分别测量、的长，从中你能发现的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； (2)连接，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)点到直线的距离为 【分析】（1）过点作，垂足为，易得四边形是矩形，可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，即，结合，即可证明结论； （2）连接，结合全等三角形的性质以及勾股定理可得，根据三角形面积公式即可获得与之间的函数解析式，并确定该函数解析式的定义域即可； （3）连接，首先确定，故可设点到直线的距离为，则有，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点作，垂足为，如下图，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）连接，如下图，    由（1）可知，， ∴， ∵， ∴与之间的函数解析式为， ∵点在边上，且点与点不重合， ∴该函数解析式的定义域为． （3）连接，如下图，    ∵， ∴可设点到直线的距离为，则有， ∵， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$