第1讲 定义新运算(讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的" 举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要 点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 定义新运算，是指运用某种特殊符号和已知运算表达式来表 示一种新的运算。 解答定义新运算，关键是要正确理解新运算的算式含义，再 严格按照其计算程序，将数值代入，转化为四则运算算式，进行 计算。 须注意两点：一是新运算的运算符号属于特殊的运算符号， 如 Θ、Δ、∇、☆、*等，与四则运算中的"+、-、×、÷"是不同 的；二是新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。 定义新运算第 1讲 专题概述 【例 1】设 A,B 是两个数，规定：A☆B = 3 × A−(A + B) ÷ 2， 求 7☆(2☆4)。 【触类旁通】"☆"是一种新运算符号。根据新定义运算的规则，先计 算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算。把相应的数值代入 到给定的式子中，即可得出结果。列式：7☆(2☆4) = 7☆[3×2-(2+4) ÷ 2] = 7☆3 = 3×7-(7+3) ÷ 2 = 16。 【例 2】规定 a ∘ b = a b + b a + 1 2 ，求（1992 ∘ 996）∘（996 ∘ 498） 的值。 【触类旁通】先算小括号里的运算，再算小括号外面的。将数值按照 新运算规则，一代入式子中，可知：原式 = ( 1992 996 + 996 1992 + 1 2 ) ∘ ( 996 498 + 498 996 + 1 2 ) = 3 ∘ 3 = 3 3 + 3 3 + 1 2 = 2 1 2 1.定 A▲B=（A+B）×（A-B）．求 27▲9． 重点例题 1、2 培优拔尖 1 2.设 a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 【例 3】如果已知 1 ∘ 5 = 1 + 11 + 111 +1111 +11111， 2 ∘ 4 = 2 + 22 + 222 +2222，3 ∘ 3 = 3 + 33 + 333，⋯，求 4 ∘ 4 的结果。 【触类旁通】观察可知，A ∘ B，等于 B 个含 A 的数相加之和，且 含 A 的个数与该数的位次相同。求 4 ∘ 4，即求 4 个含 4 的数相 加之和，且这 4 个数依次是 4, 44, 444, 4444。列式如下： 重点例题 3 4 ∘ 4 = 4 + 44 + 444 + 4444 = 4936。 1.设 a*b=a2+2b,求 5*（2*8）． 2.设 A*B=B2+A，求 （5*6）*（2*8）的值。 3.设 a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 培优拔尖 2 4.设 a△b=a2-2b,那么（8△7）△246=______． 【例 4】设 a★b = 3a−2b，已知 x★(4★1) = 7，求 x。 【触类旁通】先计算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算， 列算式如下： 4★1 = 3 × 4−2 × 1 = 10 𝑥★10 = 3 × 𝑥−2 × 10 = 3𝑥−20 3x−20 = 7 x = 9 重点例题 4、5 【例 5】规定 x✧y = 1 xy + 1 y(a + x) （a 是一个确定的整数）。如果 1 ✧ 1=1 1 3 ，求 998 ✧ 999 的值。 【触类旁通】因为 1✧1 = 1 1 × 1 + 1 1 × (a + 1) = 1 1 3 ，所以 a = 2。 从而，x✧y = 1 xy + 1 y(2 + x) 。 998✧999 = 1 998 × 999 + 1 999 × 1000 = 1 998 − 1 999 + 1 999 − 1 1000 = 1 998 − 1 1000 = 2 998000 = 1 499000 1..x,y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny,x△ y=kxy,其中 m,n,k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△ 2）*3的值。 2.定义新运算：规定 a△b=3a-2b。 培优拔尖 3 （1）5△2=______； （2）已知 x△（4△1）=7，求 x的值。 强化训练 1．现定义一种运算：A ∗ B = A−1 B ，则 3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果 a◇b=a×（b+1），那么 5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么 7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 4．如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么 7*4= ______，210*2= ______。 5．已知 2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆ 3=27，那么 x的值等于______． 7．定义新运算 a*b= a + b b−a ，若 3*m=2，那么 m的值是 ______。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运 算．A*B表示 2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么 9*6=______． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则 2*（1*2） =______． 10．有这样两种运算◆和■：规定 a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6 ◆5）■4=______． 11．a、b表示两个数，规定 a△b=5a+3b,求 3 4 △（ 1 5 △ 1 3 ）=______． 12．如果规定：a*b=3b- 1 2 a,则（6*3）*（10*9）=______。 13．定义新运算 x*y=2x-y,如果 5*a=8，那么 a是 ______。 14．对于两个数 a与 b,规定：ab=a•b-（a+b），计算 7•5=______。 15．对于整数 a,b,规定 a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则 x=______。 16．规定 A△B=5A-B，如果 X△（5△2）=1；那 X=______。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字 母表示你发现的规律 ______。 18．定义运算“※”，使得 a※b=（ b a − a b ）×a×b（a≠0，b≠0），如 2 ※3=（ 3 2 − 2 3 ）×2×3=5。则 5※8的值是 ______。 19．若 a△b= a b− b a ，试求[2△（5△3）]+ 8 15 的值． 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               定义新运算 第1讲     专题概述 定义新运算，是指运用某种特殊符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。 解答定义新运算，关键是要正确理解新运算的算式含义，再严格按照其计算程序，将数值代入，转化为四则运算算式，进行计算。 须注意两点：一是新运算的运算符号属于特殊的运算符号，如 Θ、Δ、∇、☆、*等，与四则运算中的"+、-、×、÷"是不同的；二是新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。 重点例题1、2 【例1】设 是两个数，规定：，求7☆(2☆4)。 【触类旁通】"☆"是一种新运算符号。根据新定义运算的规则，先计算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算。把相应的数值代入到给定的式子中，即可得出结果。列式：7☆(2☆4) = 7☆[3×2-(2+4) ÷ 2] = 7☆3 = 3×7-(7+3) ÷ 2 = 16。 【例2】规定 ，求（1992 ∘ 996）∘（996 ∘ 498）的值。 【触类旁通】先算小括号里的运算，再算小括号外面的。将数值按照新运算规则，一代入式子中，可知：原式 = 培优拔尖1 1.定A▲B=（A+B）×（A-B）．求27▲9． 【分析】根据所给出的式子，知道新的运算方法是，A▲B等于A与B的和乘A与B的差，再利用此运算方法计算27▲9的值． 【解答】解：27▲9=（27+9）×（27-9）， =36×18， =648， 答：27▲9的值是648． 2.设a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 【分析】根据给出的式子知道，a△b等于a的平方减去b的2倍，用此方法计算（5△2）△3的值． 【解答】解：（5△2）△3． =（5×5-2×2）△3， =21△3， =21×21-2×3， =441-6， =435． 重点例题3 【例3】如果已知 ，，，⋯，求 的结果。 【触类旁通】观察可知，，等于 个含 的数相加之和，且含 的个数与该数的位次相同。求 ，即求 4 个含 4 的数相加之和，且这 4 个数依次是 4, 44, 444, 4444。列式如下：。 培优拔尖2 1.设a*b=a2+2b,求5*（2*8）． 【分析】a*b=a2+2b,可得运算法则：a*b表示第一个数的平方，加上第二个数的2倍，由此进行求解． 【解答】解：5*（2*8） =5*（22+8×2） =5*（4+16） =5*20 =52+20×2 =25+40 =65． 2.设A*B=B2+A，求 （5*6）*（2*8）的值。 【答案】4397。 【分析】有括号的要先算括号里；在（5*6）、（2*8）里，A分别为5、2，B分别6、8，将A、B的值分别代入B2+A计算即可。 【解答】解：（5*6）*（2*8） =（62+5）*（82+2） =41*66 =4397 答：（5*6）*（2*8）=4397。 3.设a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 【分析】根据给出的式子知道，a△b等于a的平方减去b的2倍，用此方法计算（5△2）△3的值． 【解答】解：（5△2）△3． =（5×5-2×2）△3， =21△3， =21×21-2×3， =441-6， =435． 4.设a△b=a2-2b,那么（8△7）△246=______． 【分析】由题目中给出的运算方法，先计算出8△7的结果，然后再计算（8△7）△246即可推出结果． 【解答】解：因为a△b=a2-2b, 所以： （8△7）△246 =（82-2×7）△246 =50△246 =502-2×246 =2500-492 =2008 故答案为2008． 重点例题4、5 【例4】设 ，已知 ，求 。 【触类旁通】先计算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算，列算式如下： 【例5】规定 （a 是一个确定的整数）。如果 1 1=1 ，求 998 999 的值。 【触类旁通】因为 ，所以 。从而，。 培优拔尖3 1..x,y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m,n,k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。 【答案】10。 【分析】由x*y=mx+ny,1*2=5，求出m+2n=5，因为m,n均为自然数，确定①m=1，n=2，②m=3，n=1；再根据（2*3）△4=64，k为自然数，确定k的值；再根据新的运算求出（1△2）*3的值即可。 【解答】解：因为x*y=mx+ny,1*2=5，其中m,n,k均为自然数 m+2n=5 ①当m=1，n=2时： （2*3）△4 =（2×1+2×3）△4 =8△4 =k×8×4 =32k 32k=64     k=2 ②当m=3，n=1时： （2*3）△4 =（3×2+1×3）△4 =9△4 =k×9×4 =36k 36k=64     k=1（不符合题意） 所以m=1，n=2，k=2 （1△2）*3 =（2×1×2）*3 =4*3 =1×4+2×3 =10 2.定义新运算：规定a△b=3a-2b。 （1）5△2=______； （2）已知x△（4△1）=7，求x的值。 【答案】（1）11； （2）9。 【分析】（1）根据所给出是等式，知道a△b等于3与a的积减去2与b的积，由此用此方法计算5△2的值； （2）a△b等于3与a的积减去2与b的积，先求出4△1的值，然后进行代入，即x△10=7，由此再求出x的值。 【解答】解：（1）5△2 =3×5-2×2 =15-4 =11 答：5△2=11。 （2）4△1 =3×4-2×1 =12-2 =10    x△10=7 3x-2×10=7     3x-20=7          3x=20+7          3x=27            x=9 答：x的值为9。 故答案为：11。 强化训练 第一讲 定义新运算 强化训练 1．现定义一种运算：，则3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：4*6 = = 3*（4*6） =3* =（3-1）÷ =4 故选：C。 2．如果a◇b=a×（b+1），那么5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 【答案】D 【解答】解：5◇6 =5×（6+1） =5×7 =35． 故选：D． 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 【答案】C 【解答】解：7*6*5 =（4×7-3×6）*5 =（28-18）*5 =10*5 =4×10-3×5 =40-15 =25 故选：C。 4．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4= ______，210*2= ______。 【答案】8638；210420。 【解答】解：7*4 =7+77+777+7777 =84+777+7777 =861+7777 =8638 210*2 =210+210210 =210420 故答案为：8638；210420。 5．已知2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 【答案】3。 【解答】解：（3*3）÷（4*2） =（3×4×5）÷（4×5） =3×4×5÷4÷5 =3 故答案为：3。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆3=27，那么x的值等于______． 【解答】解：根据题意，得， （x☆2）☆3=27， [（x+1）×2+1]×3=27， [2x+2+1]×3=27， [2x+3]×3=27， 6x+9=27， 6x=27-9， 6x=18， x=3， 故答案为：3． 7．定义新运算a*b=，若3*m=2，那么m的值是 ______。 【答案】9。 【解答】解：因为a*b=， 所以3*m=， =2 3+m=2×（m-3） 3+m=2m-6 3=m-6 m=9 故答案为：9。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么9*6=______． 【解答】解：9*6=9×2-6=12； 故答案为12． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则2*（1*2）=______． 【解答】解；因为：a*b=a+b÷（b-a）， 所以： 1*2 =1+2÷（2-1） =1+2÷1 =1+2 =3 所以： 2*（1*2） =2*3 =2+3÷（3-2） =2+3 =5 故答案为：5． 10．有这样两种运算◆和■：规定a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6◆5）■4=______． 【解答】解：由题意得： （6◆5）■4， =（6×5-6）■4， =24■4， =24÷4+24， =30． 故答案为：30． 11．a、b表示两个数，规定a△b=5a+3b,求△（△）=______． 【解答】解：△（△） =△（×5+×3） =△2 =×5+2×3 =3+6 =9 12．如果规定：a*b=3b-a,则（6*3）*（10*9）=______。 【答案】63。 【解答】解：6*3 =3×3-×6 =9-3 =6 10*9 =3×9-×10 =27-5 =22 6*22 =3×22-×6 =66-3 =63 答：（6*3）*（10*9）=63。 故答案为：63。 13．定义新运算x*y=2x-y,如果5*a=8，那么a是 ______。 【答案】2。 【解答】解：因为x*y=2x-y, 所以5*a=8，即： 2×5-a=8   10-a=8        a=2 答：a是2。 故答案为：2。 14．对于两个数a与b,规定：ab=a•b-（a+b），计算7•5=______。 【答案】23。 【解答】解：7•5 =7×5-（7+5） =35-12 =23 故答案为：23。 15．对于整数a,b,规定a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则x=______。 【答案】0.5。 【解答】解：3※x=3×x-1=3x-1 （3x-1）×2-1=0 6x-2-1=0 6x=3 x=0.5 故答案为：0.5。 16．规定A△B=5A-B，如果X△（5△2）=1；那X=______。 【答案】。 【解答】解：经分析得： X△（5△2） =X△（5×5-2） =X△23 =5X-23 则由X△（5△2）=1得， 5X-23=1 5X=24 X= 故答案为。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律 ______。 【答案】a@b=a×5-b×2。 【解答】解：已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律：a@b=a×5-b-×2。 故答案为：a@b=a×5-b×2。 18．定义运算“※”，使得a※b=（）×a×b（a≠0，b≠0），如2※3=（）×2×3=5。则5※8的值是 ______。 【答案】39。 【解答】解：5※8 =（-）×5×8 =×5×8 =39 答：5※8的值是39。 故答案为：39。 19．若a△b=，试求[2△（5△3）]+的值． 【解答】解：[2△（5△3）]+， =[2△（）]+， =[2△（）]+， =2-÷2+， =． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 定义新运算 强化训练 1．现定义一种运算：，则3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果a◇b=a×（b+1），那么5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 4．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4= ______，210*2= ______。 5．已知2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆3=27，那么x的值等于______． 7．定义新运算a*b=，若3*m=2，那么m的值是 ______。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么9*6=______． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则2*（1*2）=______． 10．有这样两种运算◆和■：规定a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6◆5）■4=______． 11．a、b表示两个数，规定a△b=5a+3b,求△（△）=______． 12．如果规定：a*b=3b-a,则（6*3）*（10*9）=______。 13．定义新运算x*y=2x-y,如果5*a=8，那么a是 ______。 14．对于两个数a与b,规定：ab=a•b-（a+b），计算7•5=______。 15．对于整数a,b,规定a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则x=______。 16．规定A△B=5A-B，如果X△（5△2）=1；那X=______。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律 ______。 18．定义运算“※”，使得a※b=（）×a×b（a≠0，b≠0），如2※3=（）×2×3=5。则5※8的值是 ______。 19．若a△b=，试求[2△（5△3）]+的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 定义新运算 强化训练 1．现定义一种运算：，则3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：4*6 = = 3*（4*6） =3* =（3-1）÷ =4 故选：C。 2．如果a◇b=a×（b+1），那么5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 【答案】D 【解答】解：5◇6 =5×（6+1） =5×7 =35． 故选：D． 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 【答案】C 【解答】解：7*6*5 =（4×7-3×6）*5 =（28-18）*5 =10*5 =4×10-3×5 =40-15 =25 故选：C。 4．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4= ______，210*2= ______。 【答案】8638；210420。 【解答】解：7*4 =7+77+777+7777 =84+777+7777 =861+7777 =8638 210*2 =210+210210 =210420 故答案为：8638；210420。 5．已知2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 【答案】3。 【解答】解：（3*3）÷（4*2） =（3×4×5）÷（4×5） =3×4×5÷4÷5 =3 故答案为：3。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆3=27，那么x的值等于______． 【解答】解：根据题意，得， （x☆2）☆3=27， [（x+1）×2+1]×3=27， [2x+2+1]×3=27， [2x+3]×3=27， 6x+9=27， 6x=27-9， 6x=18， x=3， 故答案为：3． 7．定义新运算a*b=，若3*m=2，那么m的值是 ______。 【答案】9。 【解答】解：因为a*b=， 所以3*m=， =2 3+m=2×（m-3） 3+m=2m-6 3=m-6 m=9 故答案为：9。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么9*6=______． 【解答】解：9*6=9×2-6=12； 故答案为12． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则2*（1*2）=______． 【解答】解；因为：a*b=a+b÷（b-a）， 所以： 1*2 =1+2÷（2-1） =1+2÷1 =1+2 =3 所以： 2*（1*2） =2*3 =2+3÷（3-2） =2+3 =5 故答案为：5． 10．有这样两种运算◆和■：规定a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6◆5）■4=______． 【解答】解：由题意得： （6◆5）■4， =（6×5-6）■4， =24■4， =24÷4+24， =30． 故答案为：30． 11．a、b表示两个数，规定a△b=5a+3b,求△（△）=______． 【解答】解：△（△） =△（×5+×3） =△2 =×5+2×3 =3+6 =9 12．如果规定：a*b=3b-a,则（6*3）*（10*9）=______。 【答案】63。 【解答】解：6*3 =3×3-×6 =9-3 =6 10*9 =3×9-×10 =27-5 =22 6*22 =3×22-×6 =66-3 =63 答：（6*3）*（10*9）=63。 故答案为：63。 13．定义新运算x*y=2x-y,如果5*a=8，那么a是 ______。 【答案】2。 【解答】解：因为x*y=2x-y, 所以5*a=8，即： 2×5-a=8   10-a=8        a=2 答：a是2。 故答案为：2。 14．对于两个数a与b,规定：ab=a•b-（a+b），计算7•5=______。 【答案】23。 【解答】解：7•5 =7×5-（7+5） =35-12 =23 故答案为：23。 15．对于整数a,b,规定a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则x=______。 【答案】0.5。 【解答】解：3※x=3×x-1=3x-1 （3x-1）×2-1=0 6x-2-1=0 6x=3 x=0.5 故答案为：0.5。 16．规定A△B=5A-B，如果X△（5△2）=1；那X=______。 【答案】。 【解答】解：经分析得： X△（5△2） =X△（5×5-2） =X△23 =5X-23 则由X△（5△2）=1得， 5X-23=1 5X=24 X= 故答案为。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律 ______。 【答案】a@b=a×5-b×2。 【解答】解：已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律：a@b=a×5-b-×2。 故答案为：a@b=a×5-b×2。 18．定义运算“※”，使得a※b=（）×a×b（a≠0，b≠0），如2※3=（）×2×3=5。则5※8的值是 ______。 【答案】39。 【解答】解：5※8 =（-）×5×8 =×5×8 =39 答：5※8的值是39。 故答案为：39。 19．若a△b=，试求[2△（5△3）]+的值． 【解答】解：[2△（5△3）]+， =[2△（）]+， =[2△（）]+， =2-÷2+， =． 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 讲 定义新运算 强化训练 1．现定义一种运算：A ∗ B = A−1 B ，则 3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果 a◇b=a×（b+1），那么 5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么 7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 4．如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333， 4*2=4+44，那么 7*4= ______，210*2= ______。 5．已知 2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆3=27，那么 x的 值等于______． 7．定义新运算 a*b= a + b b−a ，若 3*m=2，那么 m的值是 ______。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表 示 2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么 9*6=______． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则 2*（1*2）=______． 10．有这样两种运算◆和■：规定 a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6◆5）■ 4=______． 11．a、b表示两个数，规定 a△b=5a+3b,求 3 4 △（ 1 5 △ 1 3 ）=______． 12．如果规定：a*b=3b- 1 2 a,则（6*3）*（10*9）=______。 13．定义新运算 x*y=2x-y,如果 5*a=8，那么 a是 ______。 14．对于两个数 a与 b,规定：ab=a•b-（a+b），计算 7•5=______。 15．对于整数 a,b,规定 a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则 x=______。 16．规定 A△B=5A-B，如果 X△（5△2）=1；那 X=______。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发 现的规律 ______。 18．定义运算“※”，使得 a※b=（ b a − a b ）×a×b（a≠0，b≠0），如 2※3=（ 3 2 − 2 3 ）×2×3=5。则 5※8的值是 ______。 19．若 a△b= a b− b a ，试求[2△（5△3）]+ 8 15 的值． 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               定义新运算 第1讲     专题概述 定义新运算，是指运用某种特殊符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。 解答定义新运算，关键是要正确理解新运算的算式含义，再严格按照其计算程序，将数值代入，转化为四则运算算式，进行计算。 须注意两点：一是新运算的运算符号属于特殊的运算符号，如 Θ、Δ、∇、☆、*等，与四则运算中的"+、-、×、÷"是不同的；二是新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。 重点例题1、2 【例1】设 是两个数，规定：，求7☆(2☆4)。 【触类旁通】"☆"是一种新运算符号。根据新定义运算的规则，先计算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算。把相应的数值代入到给定的式子中，即可得出结果。列式：7☆(2☆4) = 7☆[3×2-(2+4) ÷ 2] = 7☆3 = 3×7-(7+3) ÷ 2 = 16。 【例2】规定 ，求（1992 ∘ 996）∘（996 ∘ 498）的值。 【触类旁通】先算小括号里的运算，再算小括号外面的。将数值按照新运算规则，一代入式子中，可知：原式 = 培优拔尖1 1.定A▲B=（A+B）×（A-B）．求27▲9． 2.设a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 重点例题3 【例3】如果已知 ，，，⋯，求 的结果。 【触类旁通】观察可知，，等于 个含 的数相加之和，且含 的个数与该数的位次相同。求 ，即求 4 个含 4 的数相加之和，且这 4 个数依次是 4, 44, 444, 4444。列式如下：。 培优拔尖2 1.设a*b=a2+2b,求5*（2*8）． 2.设A*B=B2+A，求 （5*6）*（2*8）的值。 3.设a△b=a×a-2×b,求（5△2）△3． 4.设a△b=a2-2b,那么（8△7）△246=______． 重点例题4、5 【例4】设 ，已知 ，求 。 【触类旁通】先计算小括号里面的运算，再计算小括号外面的运算，列算式如下： 【例5】规定 （a 是一个确定的整数）。如果 1 1=1 ，求 998 999 的值。 【触类旁通】因为 ，所以 。从而，。 培优拔尖3 1..x,y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m,n,k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。 2.定义新运算：规定a△b=3a-2b。 （1）5△2=______； （2）已知x△（4△1）=7，求x的值。 强化训练 1．现定义一种运算：，则3*（4*6）=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果a◇b=a×（b+1），那么5◇6=（　　） A．40 B．30 C．36 D．35 3．规定“*”是一种新运算，m*n=4m-3n。那么7*6*5的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．28 4．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4= ______，210*2= ______。 5．已知2*3=2×3×4，1*4=1×2×3×4，则（3*3）÷（4*2）= ______。 6．定义符号“☆”的意义是：a☆b=（a+1）×b,如果（x☆2）☆3=27，那么x的值等于______． 7．定义新运算a*b=，若3*m=2，那么m的值是 ______。 8．我们学过+、-、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A-B．如：4*3=4×2-3=5．那么9*6=______． 9．规定“*”是一种新运算：“a*b=a+b÷（b-a）”，则2*（1*2）=______． 10．有这样两种运算◆和■：规定a◆b=a×b-a,a■b=a÷b+a.则（6◆5）■4=______． 11．a、b表示两个数，规定a△b=5a+3b,求△（△）=______． 12．如果规定：a*b=3b-a,则（6*3）*（10*9）=______。 13．定义新运算x*y=2x-y,如果5*a=8，那么a是 ______。 14．对于两个数a与b,规定：ab=a•b-（a+b），计算7•5=______。 15．对于整数a,b,规定a※b=a×b-1，又知（3※x）※2=0，则x=______。 16．规定A△B=5A-B，如果X△（5△2）=1；那X=______。 17．已知：3@4=3×5-4×2；6@8=6×5-8×2；9@5=9×5-5×2.请用字母表示你发现的规律 ______。 18．定义运算“※”，使得a※b=（）×a×b（a≠0，b≠0），如2※3=（）×2×3=5。则5※8的值是 ______。 19．若a△b=，试求[2△（5△3）]+的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$