第十四讲 分数问题（拓展提高初等奥数篇 9个考点分类真题训练 共41题）-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）【拓展提高】 第十四讲 分数问题 （9个考点分类真题训练 共41题） 目录 资料简介 1 考点分类培优训练 1 重点难点考点01：分数的大小比较 1 重点难点考点02：分数的拆项 2 重点难点考点03：循环小数与分数 2 重点难点考点04：分数和百分数应用题（多重条件） 5 重点难点考点05：按比例分配 5 重点难点考点06：工程问题 6 重点难点考点07：利润和利息问题 7 重点难点考点08：浓度问题 8 重点难点考点09：折扣问题 9 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选近两年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 重点难点考点01：分数的大小比较 1．（2024•天河区）（a，b，c都是不等于0的自然数），a，b，c中最小的是（　　） A．无法确定 B．a C．b D．c 2．（2024•云城区）若，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数． A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2012•张家港市）有一个学生无意间将中间的两个5划去得，他惊讶地发现这两个分数居然相等．这是偶然的吗？他进行了研究，发现这样的分数还有很多，请你也写出二个类似这样的分数　 　 、　 　 ． 重点难点考点02：分数的拆项 4．（2024•荆门）观察后面等式： ，， 将上面三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出： 　 　 。 （2） 　 　 。 5．（2024•石首市）我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：　 　 ． 6．（2024•晋州市）观察下列式子：，，，请计算　 　 。 7．（2024•盂县）我们把分子为1的分数叫作单位分数。如，，，……任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，……，根据对上述式子的观察，你会发现，请写出 m＝　 　 ，n＝　 　 。 重点难点考点03：循环小数与分数 8．（2024•渝北区模拟）0.50.　 　 。 9．（2024•重庆）阅读理解：亲爱的孩子们，我们知道，小数可以分为三类：有限小数（如1.2，3.25等等）。无限循环小数（如0.，0.等等），无限不循环小数（如π等等）。而分数也是我们所熟悉的。那么，小数和分数之间有什么关系呢？ （1）分数都可以化为有限小数或无限循环小数：比如：　 　 ，　 　 等等（填小数）。那小数呢？ （2）有限小数是可以化为分数的。比如：上面提到的1.2＝　 　 ，3.25＝　 　 。（填分数） （3）无限循环小数也是可以化为分数的。下面就给大家介绍一种把无限循环小数化为分数的方法：比如， 把0.化为分数：因为0.有两个循环节，所以我们将0.乘以100得：100×0.15.，然后再将等式100×0.15.左右两边同时减去0.得：100×0.0.15.0.。 所以：99×0.15，所以：0.。 根据上面方法，请将下列无限循环小数化为分数（不写过程，直接填空）： ①0.　 　 ； ②0.　 　 ； ③0.0　 　 ；（填分数） 聪明的孩子：那3.02　 　 ；（填分数） 所以，有限小数，无限循环小数是属于分数的！ （4） 那无限不循环小数能否化为分数呢？这里涉及一段有名的数学史哟，请您百度“第一次数学危机”就可以得到答案了哟。无限不循环小数多吗？怎么得到呢？有趣的初中数学会告诉你答案，敬请期待！ 10．（2024•怀化）阅读与解答。 无限循环小数可以转化为分数。像0.和0.8这样从小数部分第一位开始循环的小数叫作纯循环小数，像0.2和0.1这样不是从小数部分第一位开始循环的小数叫作混循环小数。 （1）将纯循环小数0.和0.8转化为分数。（在横线上填上合适的数） 0.10＝5. 0.81000＝382.8 0.1＝0. 0.81＝0.8 将上两式相减，得 将上两式相减，得 0.（10﹣1）＝5.0. 0.8（1000﹣1）＝382.80.8 0.9＝5 0.8999＝　 　 0. 0.8　 　 （2）将混循环小数0.2和0.1转化为分数：（将计算过程补充完整） 0.2100＝27. 0.11000＝136. 0.210＝2. 　 　 将上两式相减，得 将上两式相减，得 0.2（100﹣10）＝27.2. 　 　 0.290＝25 　 　 0.2 0.1 0.2 0.1 11．（2024•杭州）如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。 A． B． C． D． 重点难点考点04：分数和百分数应用题（多重条件） 12．（2024•天门模拟）某种食品如果按标价的八折出售可获利20%，那么按标价出售，可获利（　　） A．66.7% B．50% C．40% D．25% 13．（2024•渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 　 　 厘米。 14．（2024•渝北区）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的　 　 %． 15．（2024•樊城区）王丽的妈妈打算把5月份工资按计划分配，其中用作生活费，捐给“希望工程”，10%用来购书，其余3900元存入银行，妈妈这个月的工资是 　 　 元。 16．（2024•郸城县）小丽的姐姐先将一个月工资的存入银行，再将剩下的作为交通费，然后用剩下的20%多60元购买书籍和杂志，最后剩下1060元作为生活费。小丽姐姐一个月的工资为 　 　 元。 重点难点考点05：按比例分配 17．（2024•襄城区）一个三角形三个内角的度数比是1：4：1．最大的一个角是 　 　 ．按边分，这是一个 　 　 三角形． 18．（2023•嘉祥县）一个三角形三个内角度数之比为2：5：2，这个三角形中最大的一个内角是 　 　 °；如果把三角形按边进行分类，它属于 　 　 三角形． 19．（2024•浈江区）王大爷家的果园有6400m2，他准备用的地栽苹果树，剩下的地按2：3栽梨树和桃树．三种果树的面积分别是多少平方米？ 20． （2024•淮安模拟）笑笑家6月份水费和电费的比是4：13，这个月妈妈交了48元水费，则她们家这个月缴纳的电费是多少元？ 重点难点考点06：工程问题 21．（2024•宛城区）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（　　）元． A．18 B．19.2 C．20 D．32 22．（2024•江北区校级模拟）妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米，她决定三种布买一样多，最多能各买 　 　 米。 23．（2024•渝北区）单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合作2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定的时间完成。问：甲、乙二人合作需要 　 　 天完成。 24．（2024•江北区校级模拟）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修。若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元。若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元。 （1）甲、乙两施工队工作一天，风味美饭店老板应各付多少钱？ （2）若装修完后，风味美饭店马上投入使用，每天可盈利300元，现有三种方案：①甲队单独做；②乙队单独做；③甲、乙两队同时做，你认为哪一种施工方案更有利于饭店老板？请你说明理由。 25． （2024•重庆模拟）某个蓄有一半水量的水池，安装有若干个进水管和出水管，并且每个进水管每分钟进水量相等，每个出水管出水量也相等，如果同时打开3个进水管和4个出水管，15分钟后刚好把水池中一半的水量放完；如果同时打开5个进水管和2个出水管，10分钟后刚好蓄有一半水量的水池装满，问同时打开4个进水管和3个出水管需要多少分钟能把没有水的该水池装满水？ 重点难点考点07：利润和利息问题 26．（2024•江北区）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 27．（2024•郫都区校级模拟）某超市按进价加40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了，后来老板按定价减价40%以210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（　　） A．不亏不赚 B．平均每件亏了5元 C．平均每件赚了5元 D．不能确定 28．（2024•北碚区校级模拟）某糕点店利用A、B、C三种糕点搭配甲、乙两款礼盒进行销售，搭配甲礼盒需要A种糕点3块，B种糕点4块，C种糕点3块，搭配乙礼盒需要A种糕点4块，B种糕点7块，C种糕点4块，甲、乙两款礼盒的成本分别为礼盒中所含的A、B、C三种糕点的成本之和，盒子成本忽略不计，已知每盒甲的成本是每块B种糕点成本的10倍，每盒甲的利润率是50%，每盒乙的利润率是20%，当销售两款礼盒的总销售利润率为40%时，甲、乙两款礼盒销售盒数之比的比值为 　 　 。 29．（2024•沙坪坝区）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元。 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元。 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元。 那么该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变，在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，甲种商品的零售单价应该定为 　 　 元。 30． （2024•襄垣县）六一儿童节要到了，新乡平原商场的一种智能书包，如果每个售价200元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包的利润不少于30元，折扣不能低于多少？ 31． （2024•北碚区）李师傅以2元钱1个苹果的价格买进苹果若干个，以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了21元钱，还剩下了2个苹果，那么他买了多少个苹果？ 重点难点考点08：浓度问题 32．（2024•苏州）现有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　　）克。 A．20 B．30 C．40 D．60 33．（2024•渝北区）有含盐8%的盐水40千克，要配成含盐20%的盐水100千克，需要加盐 　 　 千克。 34．（2024•北碚区校级模拟）A、B、C三个试管中分别盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的10克盐水倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中。现在C中盐水浓度是1%。最早倒入A中盐水的浓度是 　 　 %。 35．（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，这样甲容器中酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 36． （2024•中原区模拟）某厂有甲、乙、丙三瓶酒精溶液，它们的质量之比是3：2：1，现将这三瓶酒精溶液按以下操作配置成医用酒精溶液：如果把两瓶酒精溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作。三次操作之后，甲、乙两瓶酒精溶液的浓度分别是67%和61%，求最初丙瓶酒精溶液的浓度是多少。 重点难点考点09：折扣问题 37．（2024•七星关区）一件衣服先提价10%，再打九折出售，则现价（　　）原价。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 38．（2024•广汉市）广汉某鞋店购进一批凉鞋，售价为80元，当卖出这批凉鞋的时，商店收回全部成本并获利800元；余下的凉鞋按5折出售，卖完这批凉鞋共获利1000元，这批凉鞋的成本是 　 　 元。 39．（2024•重庆）某品牌的足球原来每个卖80元，王老师打算购买14个。到商店后发现足球和跳绳都在促销，于是王老师从买足球的钱中拿出一部分先买了8根跳绳。已知现在1根跳绳的价格为20元，足球在原价的基础上打了八折，求在买完跳绳后可买几个足球？ 40． （2024•江北区）大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠。超过100元而不超过300元时，按该次购物金额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠。小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现在小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么，小丽应该付款多少元？ 41．（2024•渝中区）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票：超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分的游客打b折售票，部分购票信息如表： 非节假日 节假日 团队人数（人） 10 18 购买门票款（元） 300 820 （1）分别求出a，b的值； （2）某旅行社导游王非于5月1日（节假日）带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）【拓展提高】 第十四讲 分数问题 （9个考点分类真题训练 共41题） 目录 资料简介 1 考点分类培优训练 1 重点难点考点01：分数的大小比较 1 重点难点考点02：分数的拆项 3 重点难点考点03：循环小数与分数 5 重点难点考点04：分数和百分数应用题（多重条件） 9 重点难点考点05：按比例分配 12 重点难点考点06：工程问题 14 重点难点考点07：利润和利息问题 17 重点难点考点08：浓度问题 21 重点难点考点09：折扣问题 24 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选近两年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 重点难点考点01：分数的大小比较 1．（2024•天河区）（a，b，c都是不等于0的自然数），a，b，c中最小的是（　　） A．无法确定 B．a C．b D．c 【思路引导】根据分数加法的计算方法可知：的和一定大于其中任意一个加数，也就是一定大于、，再根据分数比较大小的方法可知：分子相等的分数，分母大的反而小，从而找出a、b、c中最小的。 【完整解答】解：因为，所以、。 根据分子相等的分数，分母大的反而小，可知：，则c＜a，同理，因为，所以c＜b，所以a，b，c中最小的是c。 故选：D。 【考点评析】本题考查了分数比较大小知识，解决本题关键是明确：分子相等的分数，分母大的反而小。 2．（2024•云城区）若，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数． A．6 B．7 C．8 D．9 【思路引导】把，分成，两个不等式来解，据此解答． 【完整解答】解： 2A＜7×17 2A＜119 A＜59.5 A＞17×3 A＞51 所以51＜A＜59.5 在51和59.5之间的自然数有52、53、54、55、56、57、58、59共8个； 故选：C． 【考点评析】本题考查了学生解不等式的能力． 3．（2012•张家港市）有一个学生无意间将中间的两个5划去得，他惊讶地发现这两个分数居然相等．这是偶然的吗？他进行了研究，发现这样的分数还有很多，请你也写出二个类似这样的分数　　 、　　 ． 【思路引导】这个分数的分子、分母均为11的倍数．11的倍数的特征是一个数从个位起向左，奇数位的数字之和减去偶数位的数字的差如果是0或者11的倍数，这个数就是11的倍数．这个分数的分子是154，1+4﹣5＝0，分母是253，3+2﹣5＝0.分子、分母中间的5划去，就相当于分子、分母都除以11，154÷11＝14，253÷11＝23，根据分数的基本性质，当然这两个分数相等了．这样的分数还很多，如的分子、分母划去中间的6是，也就相当于的分子、分母都除以11；的分子、分母划去中间的6是，也就相当于的分子、分母都除以11．据此解答． 【完整解答】解：的分子、分母都是11的倍数，把这个分数用11约分是，； 类似这样的分数还很多，如的分子、分母划去中间的6是，这两个分数相等；的分子、分母划去中间的6是，这两个分数相等． 故答案为：；（答案不唯一）． 【考点评析】这个分数的分子、分母均为11的倍数，用11约分即是后面的分数，不容易看出．现行教材没有这类题，要记住这类题的特征． 重点难点考点02：分数的拆项 4．（2024•荆门）观察后面等式： ，， 将上面三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出： 　　 。 （2） 　　 。 【思路引导】（1）根据题干例子即可作答； （2）根据（1）的公式裂项相消即可简算。 【完整解答】解：（1）猜想并写出：。 （2） ＝1 ＝1 故答案为：（1）；（2）。 【考点评析】本题考查了分数裂项计算，即分数的简便运算方法。 5．（2024•石首市）我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：　　 ． 【思路引导】先把的分子和分母同时乘3，变成，看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能，再同时乘4，化成分母是12的分数看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能再同时乘5……． 【完整解答】解： 不能分成两个不同的分数单位之和； 所以：将分成两个分母不同的单位分数之和：． 故答案为：． 【考点评析】解决本题关键是利用分数的基本性质把数变形，再进一步求解． 6．（2024•晋州市）观察下列式子：，，，请计算　　 。 【思路引导】根据“”可得： …… 【完整解答】解： ＝（1）+（）+（）+……+（）+（） ＝1 ＝1 故答案为：。 【考点评析】把每项拆分成两个数的差，再根据算式的特点选择简便运算。 7．（2024•盂县）我们把分子为1的分数叫作单位分数。如，，，……任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，……，根据对上述式子的观察，你会发现，请写出 m＝　7　 ，n＝　42　 。 【思路引导】根据，，可知：等号前分数的分母+1＝等号后第一个分数的分母，等号前分数的分母×等号后第一个分数的分母＝等号后第二个分数的分母，分子都是1，根据这个规律解答即可。 【完整解答】解：，即m＝7，n＝42。 故答案为：7；42。 【考点评析】解答本题的关键是准确分析三个分数的分母之间的关系，灵活找规律计算。 重点难点考点03：循环小数与分数 8．（2024•渝北区模拟）0.50.　　 。 【思路引导】根据循环小数化成分数的方法，将0.5和0.分别化成分数，然后再根据分数加减法的计算方法计算即可。 【完整解答】解：0.50. 故答案为：。 【考点评析】此题考查循环小数加减法的应用。 9．（2024•重庆）阅读理解：亲爱的孩子们，我们知道，小数可以分为三类：有限小数（如1.2，3.25等等）。无限循环小数（如0.，0.等等），无限不循环小数（如π等等）。而分数也是我们所熟悉的。那么，小数和分数之间有什么关系呢？ （1）分数都可以化为有限小数或无限循环小数：比如：　1.4　 ，　0.　 等等（填小数）。那小数呢？ （2）有限小数是可以化为分数的。比如：上面提到的1.2＝　　 ，3.25＝　　 。（填分数） （3）无限循环小数也是可以化为分数的。下面就给大家介绍一种把无限循环小数化为分数的方法：比如， 把0.化为分数：因为0.有两个循环节，所以我们将0.乘以100得：100×0.15.，然后再将等式100×0.15.左右两边同时减去0.得：100×0.0.15.0.。 所以：99×0.15，所以：0.。 根据上面方法，请将下列无限循环小数化为分数（不写过程，直接填空）： ①0.　　 ； ②0.　　 ； ③0.0　　 ；（填分数） 聪明的孩子：那3.02　　 ；（填分数） 所以，有限小数，无限循环小数是属于分数的！ （4）那无限不循环小数能否化为分数呢？这里涉及一段有名的数学史哟，请您百度“第一次数学危机”就可以得到答案了哟。无限不循环小数多吗？怎么得到呢？有趣的初中数学会告诉你答案，敬请期待！ 【思路引导】根据题干所讲方法进行小数和分数的互化。 【完整解答】解：（1）1.4 0. （2）1.2 3.25 （3）①0. ②0. ③0.0 ④3.02 故答案为：（1）1.4，0.；（2），；（3）①，②，③，④。 【考点评析】本题考查了分数和小数的转化方法。 10．（2024•怀化）阅读与解答。 无限循环小数可以转化为分数。像0.和0.8这样从小数部分第一位开始循环的小数叫作纯循环小数，像0.2和0.1这样不是从小数部分第一位开始循环的小数叫作混循环小数。 （1）将纯循环小数0.和0.8转化为分数。（在横线上填上合适的数） 0.10＝5. 0.81000＝382.8 0.1＝0. 0.81＝0.8 将上两式相减，得 将上两式相减，得 0.（10﹣1）＝5.0. 0.8（1000﹣1）＝382.80.8 0.9＝5 0.8999＝　382　 0. 0.8　　 （2）将混循环小数0.2和0.1转化为分数：（将计算过程补充完整） 0.2100＝27. 0.11000＝136. 0.210＝2. 　0.110＝1.　 将上两式相减，得 将上两式相减，得 0.2（100﹣10）＝27.2. 　0.1（1000﹣10）＝135　 0.290＝25 　0.1990＝135　 0.2 0.1 0.2 0.1 【思路引导】根据题干的提示，把循环小数转化为分数即可解答。 【完整解答】解：因为0.81000＝382.8，0.81＝0.8 所以0.8（1000﹣1）＝382.80.8 即0.8999＝382 所以0.8 因为0.11000＝136.，0.110＝1. 所以0.1（1000﹣10）＝135 即0.1990＝135 所以0.1 即0.1 故答案为：382；；0.110＝1.；0.1（1000﹣10）＝135；0.1990＝135。 【考点评析】本题考查了循环小数转化为分数的方法。 11．（2024•杭州）如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。 A． B． C． D． 【思路引导】把圆平均分成360份，就是把圆以圆周角来分，就是其中的60份，就是其中的45份，是其中的40份，是其中的36份，则的和是其中181份又份，也就是占圆面积的一半又.。 【完整解答】解： 故选：C。 【考点评析】明确圆中扇形面积的大小相当于它所占圆心角的大小这一性质是解决本题的关键。 重点难点考点04：分数和百分数应用题（多重条件） 12．（2024•天门模拟）某种食品如果按标价的八折出售可获利20%，那么按标价出售，可获利（　　） A．66.7% B．50% C．40% D．25% 【思路引导】八折即按原价的80%出售．把进价看作单位“1”，标价的八折（即80%）是进价的：（1+20%），标价是进价的（1+20%）÷80%＝150%，如果按原价出售，再减去进价“1”（100%）． 【完整解答】解：八折＝80% （1+20%）÷80%﹣1 ＝120÷80%﹣1 ＝150%﹣1 ＝50% 答：按原价出售可获利50%． 故选：B． 【考点评析】此题较难，难在没有确切的数字，所以解题时应确定单位“1”，然后分别表示出所需数，进而计算得出结论；也可以进行假设，设出设出数，进行计算，得出问题答案． 设商品的标价为y元，成本为x元． 则 0.8y﹣x＝0.2x y＝1.5x 0.5＝50%． 13．（2024•渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 　60　 厘米。 【思路引导】如图，把水深看成单位“1”，甲木棒有露出水面外，那么甲木棒是水深的1÷（1）份，同理求出乙木棒，丙木各占水深的几分之几，480厘米除以对应分率就是水池的深度。 【完整解答】解：1÷（1） ＝1 ＝4（份） 1÷（1） ＝1 （份） 1÷（1） ＝1 （份） 480÷（4） ＝480÷8 ＝60（厘米） 答：水深是60厘米。 故答案为：60。 【考点评析】解答本题的关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 14．（2024•渝北区）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的　75　 %． 【思路引导】由题意知：把一瓶溶液看作单位“1”，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，此时瓶内水占溶液的； 又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的（1）； 然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的（1）； 这时的酒精占全部溶液的1． 【完整解答】解：1； （1）； （1）； 1． 100%＝75%． 答：这时的酒精占全部溶液的 75%． 【考点评析】解答此题主要是先找水占溶液的几分这几，因为水的变化规律好找，再求解酒精占溶液的几分之几． 15．（2024•樊城区）王丽的妈妈打算把5月份工资按计划分配，其中用作生活费，捐给“希望工程”，10%用来购书，其余3900元存入银行，妈妈这个月的工资是 　6000　 元。 【思路引导】依据题意可知，这个月的工资＝余下的钱数÷（110%），由此列式计算即可。 【完整解答】解：3900÷（110%） ＝3900÷0.65 ＝6000（元） 答：妈妈这个月的工资是6000元。 故答案为：6000。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中数量关系。 16．（2024•郸城县）小丽的姐姐先将一个月工资的存入银行，再将剩下的作为交通费，然后用剩下的20%多60元购买书籍和杂志，最后剩下1060元作为生活费。小丽姐姐一个月的工资为 　2400　 元。 【思路引导】把月工资总额看作单位“1”，根据题意，交通费相当于月工资总额的（1），剩下的20%相当于月工资总额的（1）×20%；这时还剩（1），正好剩下60+1060＝1120（元），由此列式解答。 【完整解答】解：（1） （1）×20% （60+1060）÷（1） ＝1120 ＝2400（元） 答：小丽姐姐一个月的工资为2400元。 故答案为：2400。 【考点评析】此题解答的关键是把月工资总额看作单位“1”，求出（60+1060）元所占总数的几分之几，从而解决问题。 重点难点考点05：按比例分配 17．（2024•襄城区）一个三角形三个内角的度数比是1：4：1．最大的一个角是 　120度　 ．按边分，这是一个 　等腰　 三角形． 【思路引导】根据三角形的分类标准，按照角的大小分类：3个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；按照边的长度分为等腰三角形（等边三角形）和不等边三角形，已知这个三角形三个角的度数比是1：4：1，最大的角的度数占内角和的，三角形的内角和是180度，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出最大角的度，进而确定是什么三角形． 【完整解答】解：180 ＝180 ＝120（度） 即：最大的一个角是120度，按照边分是等腰三角形． 故答案为：120度，等腰． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，以及三角形的分类及应用． 18．（2023•嘉祥县）一个三角形三个内角度数之比为2：5：2，这个三角形中最大的一个内角是 　100　 °；如果把三角形按边进行分类，它属于 　等腰　 三角形． 【思路引导】把三角形内角和180度看作单位“1”，根据按比例分配方法，求出三个角的度数，再根据最大角的度数即可解答． 【完整解答】解：2+5+2＝9 18040（度） 180100（度） 所以它最大的一个内角是100度； 因为2＝2≠5，所以这个三角形是等腰三角形； 故答案依次为：100，等腰． 【考点评析】本题根据三个角的比的数值：2：5：2，其中2＝2，说明是等腰三角形，据此也可解答． 19．（2024•浈江区）王大爷家的果园有6400m2，他准备用的地栽苹果树，剩下的地按2：3栽梨树和桃树．三种果树的面积分别是多少平方米？ 【思路引导】栽苹果树就是把6400m2看作单位“1”，6400m2的栽苹果树，根据乘法的意义先求出栽苹果树的面积，然后用总面积减去栽苹果树的面积，再按2：3求出栽桃树和梨树的面积． 【完整解答】解：64002400（m2） 6400﹣2400＝4000（m2） 40001600（m2） 40002400（m2） 答：苹果树的面积是2400 m2，梨树的面积是1600 m2，桃树的面积是2400 m2． 【考点评析】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答． 20．（2024•淮安模拟）笑笑家6月份水费和电费的比是4：13，这个月妈妈交了48元水费，则她们家这个月缴纳的电费是多少元？ 【思路引导】这个月妈妈交了48元水费，相当于4份，用48除以4求出一份的钱数，再乘13即可． 【完整解答】解：48÷4×13 ＝12×13 ＝156（元） 答：她们家这个月缴纳的电费是156元． 【考点评析】本题考查了按比例分配应用题，解答本题关键是求出每份的钱数． 重点难点考点06：工程问题 21．（2024•宛城区）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（　　）元． A．18 B．19.2 C．20 D．32 【思路引导】根据题意可知：他们一共做了6+5+4+1＝16天，那么平均算下来，16÷4＝4天，一个人就要做四天，但D做了一天因病请假，他做了一天，就少做了3天，则A多做了6﹣4＝2天，B多做了一天，那么那48元是给多做天数的报酬，一共多做了3天，就用报酬费48÷3＝16元，一天就要给16元，A多做了2天，就用16×2＝32元即可解决． 【完整解答】解：一共做的天数：6+5+4+1＝16（天）， 平均每人做的天数：16÷4＝4（天）， A多做的天数：6﹣4＝2（天）， B多做的天数：5﹣4＝1（天）， 一共多做的天数：2+1＝3（天）， A应得48÷3×2＝32（元）， 答：这48元应分给A32元． 故选：D。 【考点评析】解答此题的关键是先求出一共做的天数，从而知道平均每人要做的天数，再求出A多做了几天，就把D少做3天的酬劳平均分成3份，即可求出． 22．（2024•江北区校级模拟）妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米，她决定三种布买一样多，最多能各买 　1　 米。 【思路引导】根据题意，设总钱数为1，再根据单价，数量，总价的关系，即可求出甲，乙，丙，三种布的单价，由此即可求出买布的米数。 【完整解答】解：1÷（） ＝1÷1 ＝1（米） 答：最多能各买1米。 故答案为：1。 【考点评析】解答此题的关键是根据单价，总价和数量之间的关系，找出对应量，再转化成工程问题解决即可。 23．（2024•渝北区）单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合作2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定的时间完成。问：甲、乙二人合作需要 　6　 天完成。 【思路引导】把这项工作看作单位“1”，由题意可知：按规定甲做2天相当于乙做3天，那么按规定完成工程的时间比是2：3．按规定甲和乙所用的时间相差2+3＝5天，由此可以求出甲单独做多少天完成，进而求出乙单独做多少天完成，然后根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答。 【完整解答】解：按规定甲做2天相当于乙做3天，那么按规定完成工程的时间比是2：3。 甲和乙所用的时间相差2+3＝5（天） 所以，按规定甲单独做完成全工程需要：5÷（3﹣2）×2＝10（天） 乙单独做完成全工程实际需要：5÷（3﹣2）×3＝15（天） 所以两人合做需要： 1÷（） ＝1 ＝6（天） 答：甲、乙二人合做需6天完成。 故答案为：6。 【考点评析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答。 24．（2024•江北区校级模拟）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修。若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元。若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元。 （1）甲、乙两施工队工作一天，风味美饭店老板应各付多少钱？ （2）若装修完后，风味美饭店马上投入使用，每天可盈利300元，现有三种方案：①甲队单独做；②乙队单独做；③甲、乙两队同时做，你认为哪一种施工方案更有利于饭店老板？请你说明理由。 【思路引导】（1）设甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付x元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付y元，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元；若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）施工方案③更有利于饭店老板，设甲施工队的工作效率为m，乙施工队的工作效率为n，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工；若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，若将施工耽误的工期影响的盈利算入总费用中，利用总费用＝（每天需付的工钱+300）×工期，即可分别求出选择三个方案所需总费用，比较后即可得出结论。 【完整解答】解：（1）设甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付x元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付y元，依题意得： 解得： 答：甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付400元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付250元。 （2）施工方案③更有利于饭店老板，理由如下： 设甲施工队的工作效率为m，乙施工队的工作效率为n，依题意得： 解得： 所以甲队单独做需121（天）完成施工任务， 乙队单独做需128（天）完成施工任务， 甲、乙两队同时做需1÷（）＝12（天）完成施工任务。 若将施工耽误的工期影响的盈利算入总费用中，则： 选择方案①所需总费用为（400+300）×21＝14700（元）； 选择方案②所需总费用为（250+300）×28＝15400（元）； 选择方案③所需总费用为（400+250+300）×12＝11400（元）。 15400＞14700＞11400，即施工方案③更有利于饭店老板。 答：施工方案③更有利于饭店老板。 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键。 25．（2024•重庆模拟）某个蓄有一半水量的水池，安装有若干个进水管和出水管，并且每个进水管每分钟进水量相等，每个出水管出水量也相等，如果同时打开3个进水管和4个出水管，15分钟后刚好把水池中一半的水量放完；如果同时打开5个进水管和2个出水管，10分钟后刚好蓄有一半水量的水池装满，问同时打开4个进水管和3个出水管需要多少分钟能把没有水的该水池装满水？ 【思路引导】依据题意，把这个水池的容积看作单位“1”，设进水管工效为x，出水管工效为y，找出题中等量关系，列方程组计算进水管工效，出水管工效，然后计算同时打开4个进水管和3个出水管需要多少分钟能把没有水的该水池装满水。 【完整解答】解：把这个水池的容积看作单位“1”，设进水管工效为x，出水管工效为y，由题意得： 解得： 1÷（） ＝1 ＝120（分钟） 答：同时打开4个进水管和3个出水管需要120分钟能把没有水的该水池装满水。 【考点评析】本题考查的是工程问题的应用。 重点难点考点07：利润和利息问题 26．（2024•江北区）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【思路引导】打x折销售，售价是标价的十分之x，根据题意可列出不等式为1200800≥800×5%，解出x的取值即可解答判断。 【完整解答】解：设打x折，则根据题意可得： 1200800≥800×5% 解得：x≥7 即最低可打7折。 答：要保证利润率不低于5%，则最低可打7折。 故选：B。 【考点评析】本题考查了有关折扣问题的应用。 27．（2024•郫都区校级模拟）某超市按进价加40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了，后来老板按定价减价40%以210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（　　） A．不亏不赚 B．平均每件亏了5元 C．平均每件赚了5元 D．不能确定 【思路引导】此题只要根据题意列式即可．“有一个商店把某件商品按进价加40%作为定价”中可设未知进价为x，即可得：定价＝x（1+40%）．“后来老板按定价减价 40%以210元出售，”中又可得根据题意可得关于x的方程式，求解可得现价，比较可得答案． 【完整解答】解：根据题意：设未知进价为x， 可得：x•（1+40%）•（1﹣40%）＝210 解得：x＝250； 250×（1+40%）210245， 250﹣245＝5， 所以这次生意平均每件亏了5元． 故选：B． 【考点评析】此题关键是读懂题意，找出等量关系． 28．（2024•北碚区校级模拟）某糕点店利用A、B、C三种糕点搭配甲、乙两款礼盒进行销售，搭配甲礼盒需要A种糕点3块，B种糕点4块，C种糕点3块，搭配乙礼盒需要A种糕点4块，B种糕点7块，C种糕点4块，甲、乙两款礼盒的成本分别为礼盒中所含的A、B、C三种糕点的成本之和，盒子成本忽略不计，已知每盒甲的成本是每块B种糕点成本的10倍，每盒甲的利润率是50%，每盒乙的利润率是20%，当销售两款礼盒的总销售利润率为40%时，甲、乙两款礼盒销售盒数之比的比值为 　3　 。 【思路引导】设A，B，C三种糕点的成本分别为x元，y元，z元，根据每盒甲的成本是每块B种糕点成本的10倍可得x+z＝2y，可得甲盒、乙盒成本，根据题意可求出甲盒、乙盒的售价，根据总销售额和总利润可得出a＝3b，进而可得答案。 【完整解答】解：设A，B，C三种糕点的成本分别为x元，y元，z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒。 因为每盒甲的成本是每块B种糕点成本的10倍，所以甲盒的成本为3x+4y+3z＝10y 即x+z＝2y 所以乙盒的成本为：4x+7y+4z＝7y+4（x+z）＝7y+4×2y＝7y+8y＝15y 因为每盒甲的利润率是50%，所以甲盒售价为10y（1+50%）＝15y 因为每盒乙的利润率是20%，所以乙盒售价为15y（1+20%）＝18y 因为总销售利润率为40%，所以15ya+18yb＝（10ya+15vb）（1+40%） 整理得a＝3b 所以甲、乙两款礼盒销售盒数之比为3：1 3÷1＝3 即甲、乙两款礼盒销售盒数之比的比值为3。 故答案为：3。 【考点评析】本题考查一元一次方程和整式乘法的应用，熟练掌握一元一次方程的解法，运用整体代入的思想是解题关键。 29．（2024•沙坪坝区）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元。 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元。 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元。 那么该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变，在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，甲种商品的零售单价应该定为 　2元或2.6　 元。 【思路引导】设甲种商品的进货单价为x元，乙种商品的进货单价为y元，则甲种商品的零售单价为（x+2）元，乙种商品的零售单价为（2y﹣1）元，根据“甲乙两种商品的进货单价之和是3元；按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付了15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出甲乙两种商品的进价。然后设甲种商品的零售单价定为m元，则每件甲种商品的销售利润为（m﹣1）元，平均每天的销售量为（3600﹣1000m）件，利用总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可解答本题。 【完整解答】解：设甲种商品的进货单价为x元，乙种商品的进货单价为y元，则甲种商品的零售单价为（x+2）元，乙种商品的零售单价为（2y﹣1）元。 根据题意可得： 解得： 即甲种商品的进货单价为1元，乙种商品的进货单价为2元。 设甲种商品“双十一”期间的零售单价定为m元，则每件甲种商品的销售利润为（m﹣1）元，平均每天的销售量为：600+100 即：（3600﹣1000m）件。 根据题意可得： （m﹣1）（3600﹣1000m）+（2×2﹣1﹣2）×400＝2000 整理得：5m2﹣23m+26＝0 解得：m1＝2，m2＝2.6 答：甲种商品的零售单价应该定为2元或2.6元。 故答案为：2元或2.6。 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出元一次方程组和一元二次方程。 30．（2024•襄垣县）六一儿童节要到了，新乡平原商场的一种智能书包，如果每个售价200元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包的利润不少于30元，折扣不能低于多少？ 【思路引导】可设进价是x元，根据等量关系：每个售价为200，售价的60%是进价，售价的40%就是赚的钱，列出比例求解；为保证一个书包赚的钱不少于30元，那么书包的实际售价必须大于进价+30元，求出最低的实际售价，再除以原来的售价，得出实际售价是原来售价的百分之几，进而根据打折的含义求解。 【完整解答】解：设进价是x元，依题意有 x：200＝60%：1 x＝200×60% x＝120 120+30＝150（元） 150÷200＝0.75，即七五折。 答：折扣不能低于七五折。 【考点评析】首先根据比例的意义求出进价，进而求出打折后的售价是完成本题的关键。 31．（2024•北碚区）李师傅以2元钱1个苹果的价格买进苹果若干个，以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了21元钱，还剩下了2个苹果，那么他买了多少个苹果？ 【思路引导】根据题意可知，李师傅盈利21元和2个苹果，故设李师傅买进2x个苹果。则：以5元钱2个苹果的价格卖出苹果个数的利润+以3.8元钱2个苹果的价格卖出苹果个数的（x﹣2）个的利润＝21+4，即（5÷2﹣2）x+（3.8÷2﹣2）×（x﹣2）＝21+4，求出x后即可知道2x的个数，据此解答。 【完整解答】解：设李师傅买进2x个苹果。 （5÷2﹣2）x+（3.8÷2﹣2）×（x﹣2）＝21+4 0.5x﹣0.1（x﹣2）＝25 0.5x﹣0.1x+0.2＝25 0.4x＝24.8 x＝62 2x＝2×62＝124 答：他买了124个苹果。 【考点评析】本题考查了经济问题的应用，经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可。 重点难点考点08：浓度问题 32．（2024•苏州）现有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　　）克。 A．20 B．30 C．40 D．60 【思路引导】根据题意可知，糖水的质量×含糖率＝糖的质量，则把原来的糖水看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用600×7%即可求出原来糖的质量，设要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克，则现在的糖水有（600+x）克，糖有（600×7%+x）克，据此列方程为（600+x）×10%＝600×7%+x，然后解出方程即可。 【完整解答】解：设要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克。 （600+x）×10%＝600×7%+x 60+10%x＝42+x 60﹣42＝x﹣0.1x 0.9x＝18 x＝20 答：要使其含糖量增加到10%，需要再加糖20克。 故选：A。 【考点评析】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 33．（2024•渝北区）有含盐8%的盐水40千克，要配成含盐20%的盐水100千克，需要加盐 　16.8　 千克。 【思路引导】含盐8%是指盐的重量占盐水总重量的8%，把盐水的总重量看成单位“1”，用乘法求出它的8%就是原来盐的重量；同理求出后来盐的重量，用后来盐的重量减去原来盐的重量就是需要加盐多少千克。 【完整解答】解：100×20%﹣40×8% ＝20﹣3.2 ＝16.8（千克） 答：需加盐16.8千克。 故答案为：16.8。 【考点评析】本题关键是理解含盐率，找出单位“1”，求出盐的变化，进而求出水的变化。 34．（2024•北碚区校级模拟）A、B、C三个试管中分别盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的10克盐水倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中。现在C中盐水浓度是1%。最早倒入A中盐水的浓度是 　24　 %。 【思路引导】此题可用逆推法，最后试管C中盐水浓度为1%，则混合后试管B中的盐水浓度是1%×（10+30）÷10＝4%，所以混合后试管A中的盐水浓度是4%×（10+20）÷10＝12%，最后推知最早倒入试管A中的盐水浓度是12%×（10+10）÷10＝24%，据此解答。 【完整解答】解：混合后试管B中的盐水浓度： 1%×（10+30）÷10 ＝1%×40÷10 ＝4% 混合后试管A中的盐水浓度： 4%×（10+20）÷10 ＝4%×30÷10 ＝12% 最早倒入试管A中的盐水浓度： 12%×（10+10）÷10 ＝12%×20÷10 ＝24% 答：最早倒入A中的盐水浓度是24%。 故答案为：24。 【考点评析】上述解法采用了倒推法，从最后得到的数量向前推算，结合溶液、溶质与浓度之间的关系，得出最初答案。 35．（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，这样甲容器中酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 【思路引导】根据浓度的计算方法，找出最终酒精与混合液的比，建立等量关系，列方程求解。 【完整解答】解：设从乙倒入甲x升。 对乙容器： 因为酒精：混合液＝25%， 所以酒精：水＝25%：（1﹣25%）＝1：3，也就是倒入的酒精为15：3＝5（升） 对甲容器：剩余的酒精为11﹣5＝6（升）， （6+25%x）÷（6+x）＝62.5% 6+0.25x＝3.75+0.625x 0.325x＝2.25 x＝6 答：从乙容器倒入甲容器的混合溶液是6升。 【考点评析】类似本题的题目，可以考虑浓度的计算方法，建立等量关系，利用方程解题。 36．（2024•中原区模拟）某厂有甲、乙、丙三瓶酒精溶液，它们的质量之比是3：2：1，现将这三瓶酒精溶液按以下操作配置成医用酒精溶液：如果把两瓶酒精溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作。三次操作之后，甲、乙两瓶酒精溶液的浓度分别是67%和61%，求最初丙瓶酒精溶液的浓度是多少。 【思路引导】依据题意设甲、乙、丙三瓶酒精溶液浓度分别是x，y，z，质量分别是3、2、1，先对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，则浓度为（3x+2y）÷（3+2），再对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，浓度是[（3x+2y）÷（3+2）×2+z]÷（2+1），对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作，浓度：{[（3x+2y）÷（3+2）]×3+对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作后浓度}÷（3+1），利用“三次操作之后，甲、乙两瓶酒精溶液的浓度分别是67%和61%”列方程组计算。 【完整解答】解：设甲、乙、丙三瓶酒精溶液浓度分别是x，y，z，质量分别是3、2、1，67%＝0.67，61%＝0.61， 对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，则浓度为（3x+2y）÷（3+2）＝（3x+2y）÷5， 对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，浓度是[（3x+2y）÷5×2+z]÷（2+1）＝（6x+4y+5z）÷15， 对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作，浓度：{[（3x+2y）÷5]×3+（6x+4y+5z）÷15}÷（3+1）＝{[（3x+2y）÷5]×3+（6x+4y+5z）÷15}÷4，由题意得： ②×5.5﹣①得：22.5z＝10.125，则z＝0.45＝45% 答：丙最初浓度是45%。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中数量关系。 重点难点考点09：折扣问题 37．（2024•七星关区）一件衣服先提价10%，再打九折出售，则现价（　　）原价。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【思路引导】打几折就表示现价是原价的百分之几十，那么一件衣服先提价10%，再打九折出售，则现价是原价的（1+10%）×90%，据此计算。 【完整解答】解：（1+10%）×90% ＝1.1×0.9 ＝99% 99%＜1 现价小于原价。 故选：B。 【考点评析】此题考查了折扣的意义，要熟练掌握。 38．（2024•广汉市）广汉某鞋店购进一批凉鞋，售价为80元，当卖出这批凉鞋的时，商店收回全部成本并获利800元；余下的凉鞋按5折出售，卖完这批凉鞋共获利1000元，这批凉鞋的成本是 　400　 元。 【思路引导】由题意可得，（1）的凉鞋共售价（1000﹣800）元，每双鞋售价8040（元），可求的（1）的鞋的数量，鞋的的数量即可求。用鞋的总售价减去800元就得成本价。 【完整解答】解：（1000﹣800）÷（80）＝5（双） 5÷（1）15（双） 15×80﹣800＝400（元） 答：这批凉鞋的成本是400元。 故答案为：400。 【考点评析】明确数量间关系是解决本题的关键。 39．（2024•重庆）某品牌的足球原来每个卖80元，王老师打算购买14个。到商店后发现足球和跳绳都在促销，于是王老师从买足球的钱中拿出一部分先买了8根跳绳。已知现在1根跳绳的价格为20元，足球在原价的基础上打了八折，求在买完跳绳后可买几个足球？ 【思路引导】首先根据“单价×数量＝总价”，计算出王老师买跳绳花了多少钱、买14个足球要多少钱，然后计算剩余多少钱、打折后的足球的单价，最后根据剩余钱数和足球的打折后价格计算能买几个足球。 【完整解答】解：八折＝80% （80×14﹣20×8）÷（80×80%） ＝（1120﹣160）÷64 ＝960÷64 ＝15（个） 答：买完跳绳后可买15个足球。 【考点评析】此题的关键在于分步骤进行计算，首先明确王老师原本的预算和实际的花费，然后计算出商品的折后价格，最后利用剩余金额除以折后单价，得到可以购买的数量。 40．（2024•江北区）大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠。超过100元而不超过300元时，按该次购物金额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠。小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现在小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么，小丽应该付款多少元？ 【思路引导】先用94.5元加上282.8元，求出小美两次购物花的总钱数，然后看是否超过300元，若超过300元，其中的300元按照九折优惠，超过300元的部分按8折优惠，最后计算出小丽应该付的钱数即可。 【完整解答】解：九折＝90%，八折＝80% 94.5+282.8＝377.3（元） 377.3元＝300元+77.3元 300×90%＝270（元） 77.3×80%＝61.84（元） 270+61.84＝331.84（元） 答：小丽应该付款331.84元。 【考点评析】本题考查了折扣问题，需准确理解优惠方案，灵活解答。 41．（2024•渝中区）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票：超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分的游客打b折售票，部分购票信息如表： 非节假日 节假日 团队人数（人） 10 18 购买门票款（元） 300 820 （1）分别求出a，b的值； （2）某旅行社导游王非于5月1日（节假日）带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？ 【思路引导】（1）先求得非节假日每张门票的价格，然后由非节假日每张门票的价格÷每张门票的原价来求a的值，再求出节假日超过10人部分游客的每张门票的价格，然后由超过10人部分游客的每张门票的价格÷每张门票的原价来求b的值； （2）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，分0≤n≤10和n＞10两种情况，列方程求解即可。 【完整解答】解：（1）非节假日门票的价格为：300÷10＝30（元） 因为30÷50＝0.6 所以非节假日打6折售票， 所以a＝6。 因为节假日超过10人部分的每张门票价格为： （820﹣10×50）÷（18﹣10） ＝（820﹣500）÷8 ＝320÷8 ＝40（元） 40÷50＝0.8 所以超过10人部分的游客打8折售票， 所以b＝8。 （2）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人。 当0≤n≤10时， 50n+30（50﹣n）＝1900 50n+1500﹣30n＝1900 20n＝400 n＝20 这与n≤10矛盾。 当n＞10时， 40n+100+30（50﹣n）＝1900 40n+100+1500﹣30n＝1900 10n＝300 n＝30 50﹣30＝20（人） 答：A团队有30人，B团队有20人。 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$