第11章 反比例函数（思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优优选真题难度分层练 共89题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末培优知识串讲

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第11章 反比例函数 （思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优选真题难度分层练 共88题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：反比例函数的概念 3 知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 3 知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 4 知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 5 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：反比例函数的定义与表达式 6 易错知识点02：反比例函数的图像与性质 6 易错知识点03：比例系数 ( k ) 的几何意义 6 易错知识点04：反比例函数解析式的确定 7 易错知识点05：反比例函数与一次函数的综合应用 7 易错知识点06：实际应用问题 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：分式 7 重点考点讲练01：用反比例函数描述数量关系 7 重点考点讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 8 重点考点讲练03：根据反比例函数的定义求参数 9 重点考点讲练04：反比例函数 9 重点考点讲练05：求反比例函数值 10 重点考点讲练06：由反比例函数值求自变量 11 期末考向二：反比例函数的图像与性质 12 重点考点讲练07：判断(画)反比例函数图象 12 重点考点讲练08：已知反比例函数的图象判断其解析式 13 重点考点讲练09：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 14 重点考点讲练10：已知双曲线分布的象限求参数范围 15 重点考点讲练11：判断反比例函数的增减性 16 重点考点讲练12：判断反比例函数图象所在象限 16 重点考点讲练13：已知反比例函数的增减性求参数 16 重点考点讲练14：比较反比例函数值或自变量的大小 17 重点考点讲练15：已知比例系数求特殊图形的面积 17 重点考点讲练16：求反比例函数解析式 18 重点考点讲练17：反比例函数与几何综合 20 重点考点讲练18：根据图形面积求比例系数(解析式) 21 重点考点讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 22 重点考点讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 24 重点考点讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 26 重点考点讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 27 期末考向三：用反比例函数解决问题 30 重点考点讲练23：实际问题与反比例函数 30 优选真题难度分层练 31 中档题—夯实基础能力 31 压轴题—强化解题技能 34 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【易错点剖析】 在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 【易错点剖析】 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 易错知识点01：反比例函数的定义与表达式 1. 定义理解 反比例函数形式为y=（k≠0），但学生常忽略以下细节： 自变量范围：x≠0，若题目中涉及实际问题（如速度、时间），需结合实际情况限制变量范围 变形形式：若函数表达式变形为xy = k，需注意x和y 的乘积为常数，但不可直接说x与y成反比例，需验证是否符合定义 2. 易错点 漏写k≠0：解题时若未明确k的非零条件，可能导致错误结论。 混淆正比例与反比例：例如，误将y=当作反比例函数（实为y与x²成反比例） 易错知识点02：反比例函数的图像与性质 1. 图像特点 反比例函数的图像是双曲线，但需注意 象限位置：当k>0双曲线位于第一、三象限；k<0时位于第二、四象限。学生易混淆符号对象限的影响 渐近线：图像无限接近坐标轴但不相交，画图时若错误连接坐标轴，则图形不准确 2. 函数增减性 分象限讨论：在每一象限内，y随x的增大而减小（ k > 0 ）或增大 3. 对称性 反比例函数图像关于原点中心对称，也关于直线y=x和y= -x轴对称，但学生容易忽略对称性的应用，如求对称点坐标或利用对称性简化问题48。 易错知识点03：比例系数 ( k ) 的几何意义 1. 面积关系 矩形面积：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为∣k∣ 三角形面积：连接该点与原点的三角形面积为。学生常因未取绝对值或混淆k的符号导致计算错误 2. 易错点 忽略绝对值：例如，已知三角形面积为3，直接写 k = 6 （正确应为∣k∣=6即k=±6） 复杂图形分割：若图形由多个矩形或三角形组成，需分解图形后分别计算k的几何意义，避免直接套用公式 易错知识点04：反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法 步骤：设解析式为→ 代入已知点坐标求k→ 验证k≠0。 易错点： 代入错误坐标：例如，已知点(2,−3)在图像上，误算k=2×(−3)=−6，但实际应为k=x⋅y=2×(−3)=−6，虽结果正确，但需注意符号 忽略实际意义：若题目中x代表长度，则k应为正数，需根据条件排除负解 易错知识点05：反比例函数与一次函数的综合应用 1. 交点问题 联立y=与y=ax + b ，解方程时易出现： 漏解：二次方程可能有两解，但学生可能忽略检验解是否合理（如分母为零） 图像法误区：误认为双曲线与直线必有两个交点（实际可能无交点或仅一个） 2. 函数值比较 比较y1和y2的大小时，需明确两点是否在同一象限。例如，若 k > 0 ，点(1,y1)和(−1,y2)分属不同象限，直接比较会导致错误 易错知识点06：实际应用问题 1. 建模误区 变量关系误判：例如，误将“工作效率与时间成反比”直接写为y=，而实际应为“工作效率×时间=工作量”（即k为常数） 单位忽略：实际问题中k可能带有单位（如速度×时间=路程），计算时需保留单位 期末考向一：分式 重点考点讲练01：用反比例函数描述数量关系 【母题精讲】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【训练1】（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 重点考点讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 【母题精讲】（22-23九年级上·湖南娄底·期末）下列函数中不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【训练2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 重点考点讲练03：根据反比例函数的定义求参数 【母题精讲】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 【训练1】（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【训练2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． 重点考点讲练04：反比例函数 【母题精讲】（22-23八年级下·浙江衢州·期末）下列各点在反比例函数图象上是(    ) A． B． C． D． 【训练1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．      【训练2】（2023·重庆渝中·模拟预测）在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练05：求反比例函数值 【母题精讲】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是 ． 【训练2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    重点考点讲练06：由反比例函数值求自变量 【母题精讲】（21-22九年级上·河南三门峡·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ． 【训练1】（2022·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点． (1)若； ①求m，n的值； ②当时，求的取值范围； (2)当点在反比例函数图象上，求的值． 【训练2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 期末考向二：反比例函数的图像与性质 重点考点讲练07：判断(画)反比例函数图象 【母题精讲】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 【训练1】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知一个矩形的面积为12，长为，宽为． (1)与之间的函数关系式为______； (2)在图中画出该函数的图象； ①填表； … 1 2 3 4 5 6 … … 12 _____ _____ _____ _____ 2 … ②描点； ③连线． 重点考点讲练08：已知反比例函数的图象判断其解析式 【母题精讲】（23-24八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    【训练1】（2023九年级上·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 【训练2】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 重点考点讲练09：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 【训练1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【训练2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)若点在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 重点考点讲练10：已知双曲线分布的象限求参数范围 【母题精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【训练2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 重点考点讲练11：判断反比例函数的增减性 【母题精讲】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知反比例函数，当自变量x满足时，对应的函数值x满足，则k的值为 ． 【训练2】（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 重点考点讲练12：判断反比例函数图象所在象限 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）在反比例函数中，当时，y的值随x的增大而减小，则该函数图象上的点所在的象限为（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【训练2】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 重点考点讲练13：已知反比例函数的增减性求参数 【母题精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【训练1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【训练2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 重点考点讲练14：比较反比例函数值或自变量的大小 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【训练1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是 ．（用“>”连接） 重点考点讲练15：已知比例系数求特殊图形的面积 【母题精讲】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）点A是双曲线上任意一点，过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积是 ． 【训练2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 重点考点讲练16：求反比例函数解析式 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【训练1】（22-23九年级上·河南新乡·开学考试）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 【训练2】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为． (1)求点的坐标与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围； (3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式 重点考点讲练17：反比例函数与几何综合 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【训练2】（22-23八年级下·浙江温州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接和，求的面积； 重点考点讲练18：根据图形面积求比例系数(解析式) 【母题精讲】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【训练1】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【训练2】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 重点考点讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【母题精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期末）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，已知反比例数的图象与一次函数的图象相交于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，连结．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围； (3)求四边形的面积． 【训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 重点考点讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【训练1】（24-25八年级上·上海·期末）已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 【训练2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 重点考点讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【训练1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【训练2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 重点考点讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于两点，连结．下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【训练2】（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 期末考向三：用反比例函数解决问题 重点考点讲练23：实际问题与反比例函数 【母题精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【训练1】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【训练2】（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为，则k的值为 ． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 8．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若，求x的值． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（   ） A．四边形可以是平行四边形 B．四边形可能是矩形 C．四边形可能是菱形 D．四边形不可能是正方形 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 13．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 15．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线=在第一象限内交于点，点的横坐标为，直线与轴、轴分别交于、两点，且，为线段上一点，过作轴交双曲线=于点，连接，当是等腰直角三角形时，求点的坐标 ． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)若， 求点的坐标； 点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式： (2)计算当车速为时视野的度数： (3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第11章 反比例函数 （思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优选真题难度分层练 共88题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：反比例函数的概念 3 知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 3 知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 4 知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 5 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：反比例函数的定义与表达式 6 易错知识点02：反比例函数的图像与性质 6 易错知识点03：比例系数 ( k ) 的几何意义 6 易错知识点04：反比例函数解析式的确定 7 易错知识点05：反比例函数与一次函数的综合应用 7 易错知识点06：实际应用问题 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：分式 7 重点考点讲练01：用反比例函数描述数量关系 7 重点考点讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 9 重点考点讲练03：根据反比例函数的定义求参数 11 重点考点讲练04：反比例函数 12 重点考点讲练05：求反比例函数值 14 重点考点讲练06：由反比例函数值求自变量 16 期末考向二：反比例函数的图像与性质 18 重点考点讲练07：判断(画)反比例函数图象 18 重点考点讲练08：已知反比例函数的图象判断其解析式 21 重点考点讲练09：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 24 重点考点讲练10：已知双曲线分布的象限求参数范围 28 重点考点讲练11：判断反比例函数的增减性 29 重点考点讲练12：判断反比例函数图象所在象限 31 重点考点讲练13：已知反比例函数的增减性求参数 32 重点考点讲练14：比较反比例函数值或自变量的大小 34 重点考点讲练15：已知比例系数求特殊图形的面积 35 重点考点讲练16：求反比例函数解析式 38 重点考点讲练17：反比例函数与几何综合 42 重点考点讲练18：根据图形面积求比例系数(解析式) 48 重点考点讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 51 重点考点讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 55 重点考点讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 63 重点考点讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 66 期末考向三：用反比例函数解决问题 75 重点考点讲练23：实际问题与反比例函数 75 优选真题难度分层练 78 中档题—夯实基础能力 78 压轴题—强化解题技能 84 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【易错点剖析】 在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 【易错点剖析】 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 易错知识点01：反比例函数的定义与表达式 1. 定义理解 反比例函数形式为y=（k≠0），但学生常忽略以下细节： 自变量范围：x≠0，若题目中涉及实际问题（如速度、时间），需结合实际情况限制变量范围 变形形式：若函数表达式变形为xy = k，需注意x和y 的乘积为常数，但不可直接说x与y成反比例，需验证是否符合定义 2. 易错点 漏写k≠0：解题时若未明确k的非零条件，可能导致错误结论。 混淆正比例与反比例：例如，误将y=当作反比例函数（实为y与x²成反比例） 易错知识点02：反比例函数的图像与性质 1. 图像特点 反比例函数的图像是双曲线，但需注意 象限位置：当k>0双曲线位于第一、三象限；k<0时位于第二、四象限。学生易混淆符号对象限的影响 渐近线：图像无限接近坐标轴但不相交，画图时若错误连接坐标轴，则图形不准确 2. 函数增减性 分象限讨论：在每一象限内，y随x的增大而减小（ k > 0 ）或增大 3. 对称性 反比例函数图像关于原点中心对称，也关于直线y=x和y= -x轴对称，但学生容易忽略对称性的应用，如求对称点坐标或利用对称性简化问题48。 易错知识点03：比例系数 ( k ) 的几何意义 1. 面积关系 矩形面积：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为∣k∣ 三角形面积：连接该点与原点的三角形面积为。学生常因未取绝对值或混淆k的符号导致计算错误 2. 易错点 忽略绝对值：例如，已知三角形面积为3，直接写 k = 6 （正确应为∣k∣=6即k=±6） 复杂图形分割：若图形由多个矩形或三角形组成，需分解图形后分别计算k的几何意义，避免直接套用公式 易错知识点04：反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法 步骤：设解析式为→ 代入已知点坐标求k→ 验证k≠0。 易错点： 代入错误坐标：例如，已知点(2,−3)在图像上，误算k=2×(−3)=−6，但实际应为k=x⋅y=2×(−3)=−6，虽结果正确，但需注意符号 忽略实际意义：若题目中x代表长度，则k应为正数，需根据条件排除负解 易错知识点05：反比例函数与一次函数的综合应用 1. 交点问题 联立y=与y=ax + b ，解方程时易出现： 漏解：二次方程可能有两解，但学生可能忽略检验解是否合理（如分母为零） 图像法误区：误认为双曲线与直线必有两个交点（实际可能无交点或仅一个） 2. 函数值比较 比较y1和y2的大小时，需明确两点是否在同一象限。例如，若 k > 0 ，点(1,y1)和(−1,y2)分属不同象限，直接比较会导致错误 易错知识点06：实际应用问题 1. 建模误区 变量关系误判：例如，误将“工作效率与时间成反比”直接写为y=，而实际应为“工作效率×时间=工作量”（即k为常数） 单位忽略：实际问题中k可能带有单位（如速度×时间=路程），计算时需保留单位 期末考向一：分式 重点考点讲练01：用反比例函数描述数量关系 【母题精讲】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【思路点拨】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 【训练1】（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【思路点拨】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【规范解答】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 重点考点讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 【母题精讲】（22-23九年级上·湖南娄底·期末）下列函数中不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据反比例函数的概念进行判断即可． 【规范解答】解： A．是反比例函数； B．是反比例函数； C．可得是反比例函数； D．中是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； 故选D． 【训练1】（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【思路点拨】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【规范解答】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【训练2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 【规范解答】解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 重点考点讲练03：根据反比例函数的定义求参数 【母题精讲】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【规范解答】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 【训练2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解，本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是：找到矩形面积的变化规律． 【规范解答】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2024， 点，，，…，的纵坐标为依次为，，，…，， 又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差， ，，，…，， ……， 故选：． 重点考点讲练04：反比例函数 【母题精讲】（22-23八年级下·浙江衢州·期末）下列各点在反比例函数图象上是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上． 【规范解答】解：A、将代入中得：，故本选项符合题意； B、代入中得：，故本选项不符合题意； C、代入中得：，故本选项不符合题意； D、代入中得：，故本选项不符合题意； 故选：A． 【训练1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．      【答案】或 【思路点拨】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围． 【规范解答】时，对应函数图象在直线l左侧，两部分，或 故答案为：或 【训练2】（2023·重庆渝中·模拟预测）在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，点不在图象上，不符合题意； 、当时，，点不在图象上，不符合题意； 、当时，，点不在图象上，不符合题意； 、当时，，点在图象上，符合题意； 故选：． 重点考点讲练05：求反比例函数值 【母题精讲】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【答案】m的值为4或0.5 【思路点拨】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入，求出平移后的横坐标，进而可求出m的值． 【规范解答】解①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴AB中点坐标为． 在中，当时，， 故； ②∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴AC中点坐标为， 在中，当时，， 故； ③∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴BC中点坐标为， 在中，当时，没有意义． ∴m的值为4或0.5． 【训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】由可得出，结合的取值范围，即可求出的取值范围． 【规范解答】解：， ， ． 又， ． 故答案为： ． 【训练2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解答本题的关键．先求出，利用勾股定理求出，然后利用矩形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练06：由反比例函数值求自变量 【母题精讲】（21-22九年级上·河南三门峡·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可． 【规范解答】解：∵点A在反比例函数（）上，轴 ∴ ∵ ∴ ∵的垂直平分线交轴于点 ∴ ∴△的周长= 故答案为：． 【训练1】（2022·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点． (1)若； ①求m，n的值； ②当时，求的取值范围； (2)当点在反比例函数图象上，求的值． 【答案】(1)①，　② (2)20 【思路点拨】（1）①根据题意得到m与n的关系式，再结合，求出m、n的值即可；②分类讨论解不等式即可； （2）根据题意得到mn的值，再结合，利用完全平方公式即可求得的值． 【规范解答】（1）解： ① （m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得， ，； ②、由①可知， 当时，， 当时，， 解得， ； 当时，， 解得， 无解； 综上所述：当时，求的取值范围为； （2）点在反比例函数图象上， ， 由（1）可知， ， 的值为20． 【训练2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【规范解答】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 期末考向二：反比例函数的图像与性质 重点考点讲练07：判断(画)反比例函数图象 【母题精讲】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)． 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质． （1）列表，描点，连线作出函数的图象，根据图象求解即可； （2）根据反比例函数的增减性结合图象进行求解即可． 【规范解答】（1）解：列表 1 2 3 4 3 4 6 12 描点，连线作出函数的图象，如图， 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得， 观察图象，当时，的取值范围是． 【训练1】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知一个矩形的面积为12，长为，宽为． (1)与之间的函数关系式为______； (2)在图中画出该函数的图象； ①填表； … 1 2 3 4 5 6 … … 12 _____ _____ _____ _____ 2 … ②描点； ③连线． 【答案】(1) (2)①6；4；3；②图见解析③图见解析 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的解析式、图象的画法，熟练掌握反比例函数图象的画法是解题的关键． （1）利用矩形的面积公式得出与之间的函数关系式即可； （2）①根据，得出数据填表即可；②根据表格数据描点即可；③用平滑的曲线顺次连线即可． 【规范解答】（1）解：∵一个矩形的面积为12，长为，宽为， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：①∵由（1）得， ∴当时，， 时，， 时，， 时，， ∴填表如下， … 1 2 3 4 5 6 … … 12 6 4 3 2 … 故答案为：6；4；3；； ②如图，描点即可； ③如图，用平滑的曲线顺次连线即可． ． 重点考点讲练08：已知反比例函数的图象判断其解析式 【母题精讲】（23-24八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 【训练1】（2023九年级上·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 【答案】（1）；（2）2． 【思路点拨】（1）由点A在第二象限，可知，，得：，  因为m为整数，即可得：，．设过点A的反比例函数解析式为，即有，得：，即反比例函数解析式为； （2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数 过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2． 【规范解答】解：（1）点A在第二象限， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴， ∴， 设过点A的反比例函数解析式为， ∴，解得：， 即反比例函数解析式为； （2）∵反比例函数图像在二、四象限， ∴，即， ∵正比例函数 过一、三象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数的值为2． 【训练2】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 【答案】 23 【思路点拨】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解． 【规范解答】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， 即，，，与，，，，在曲线L的两侧， ， 整数的个数为：个， 故答案为：23. 重点考点讲练09：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 【答案】【理解】， 【拓展】证明见解析 【提升】证明见解析 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，坐标系中关于原点对称、关于直线对称和关于直线对称的点的特征，准确写出关于原点、直线和直线的对称点是解决本题的关键． （1）根据题意补充完整即可； （2）利用在平面直角坐标系中，设点，则点关于原点的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，在反比例函数的图象上任取一点，得出对称点，即可求解； （3）设点，都是反比例函数的图象上的点，且，判断与大小即可． 【规范解答】解：【理解】在函数图象上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为， 因为， 所以点也在反比例函数的图象上． 因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， 所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点； 故答案为：，； 【拓展】①在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线对称； ②在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线对称； 【提升】设点，都是反比例函数的图象上的点，且， ∵， ∴， 即对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 【训练1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【规范解答】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【训练2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)若点在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． （2）求出点B的坐标，利用数形结合的思想即可解决问题． 【规范解答】（1）将点代入得，， 解得， ∴点A的坐标为． 将A点坐标代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图， ∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， ∴点B的坐标为． ∵，，且点P到y轴距离小于2， ∴点P在直线的上方或在的下方， 故n的取值范围是或． 重点考点讲练10：已知双曲线分布的象限求参数范围 【母题精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【规范解答】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 【训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【规范解答】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 重点考点讲练11：判断反比例函数的增减性 【母题精讲】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质． 根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案． 【规范解答】解：A、函数，当时，随自变量的值增大而减小，或当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意； B、函数，，随自变量的值增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数，当时，随自变量的值增大而增大，或当时，随自变量的值增大而增大，故C错误，不符合题意； D、函数，，随自变量的值增大而增大，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【训练1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知反比例函数，当自变量x满足时，对应的函数值x满足，则k的值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了反比例函数 图象性质，先根据给定条件判断k的正负，再根据反比例函数性质，可以得到函数过定点，即可得到k值． 【规范解答】解：x，y都是负值，则函数过第三象限， ， 在每个象限内，y随x增大而减小， 函数过，代入反比例函数， ， 故答案为：． 【训练2】（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵点、、都在反比例（）的图像上， ∴，，， ∵， ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练12：判断反比例函数图象所在象限 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）在反比例函数中，当时，y的值随x的增大而减小，则该函数图象上的点所在的象限为（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据时，y的值随x的增大而减小，得到即可得到答案． 【规范解答】解：根据时，y的值随x的增大而减小， ， 故点所在的象限为第三象限， 故选B． 【训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题． 【规范解答】解：点、、都在反比例函数的图像上， ，，， 又反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，且， ， ， 故选：C． 【训练2】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．根据反比例函数的图像与性质逐一判断． 【规范解答】解：在反比例函数中，；图像不与坐标轴相交， ， 图像位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，； 正确的说法有个， 故答案为：． 重点考点讲练13：已知反比例函数的增减性求参数 【母题精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【规范解答】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 【训练1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 【训练2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 重点考点讲练14：比较反比例函数值或自变量的大小 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据点的坐标，确定双曲线所过象限，根据反比例函数的增减性，判断函数值大小即可． 【规范解答】解：∵在第四象限， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数图像与性质，由，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，分别判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上， ∴， 即． 故答案为：D． 【训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是比较反比例函数值的大小，解题的关键是掌握反比例函数的性质．先判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【规范解答】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大． ， ∴，在第四象限，在第二象限， ∴的大小关系是． 故答案为：． 重点考点讲练15：已知比例系数求特殊图形的面积 【母题精讲】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【思路点拨】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【规范解答】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）点A是双曲线上任意一点，过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查反比例函数的定义，系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 先根据反比例函数定义求出k值，再根据过反比例函数图象上任意 点分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积求解即可． 【规范解答】解：∵双曲线， ∴且， ∴， ∴过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积， 故答案为：1． 【训练2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象和正方形的中心对称性、反比例函数比例系数的几何意义和正方形的面积，由反比例函数比例系数的几何意义求出点，再利用反比例函数图象的中心对称性求出阴影部分的面积，解题的关键是通过比例系数的几何意义求出点的坐标从而求出点的坐标． 【规范解答】解：如图， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴， ∵正方形的中心为原点， ∴， ∴， ∵反比例函数图象具有中心对称性， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练16：求反比例函数解析式 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【规范解答】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 【训练1】（22-23九年级上·河南新乡·开学考试）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为， (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称最短路线问题，数形结合是本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得的坐标． 【规范解答】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于、两点． ，， ，． 反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）由图象可得：满足的取值范围是或． （3）如图，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小， ， 关于轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标是． 【训练2】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为． (1)求点的坐标与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围； (3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)或； (3)． 【思路点拨】（）把代入可得点的纵坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （）利用对称性求出点的坐标，再根据函数图象即可求解； （）设，则，根据的面积为可得，即得， 得到，由直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入计算即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键 【规范解答】（1）解：把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 由图象可得，当或时，； （3）解：设，则， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴直线平移后的函数表达式为． 重点考点讲练17：反比例函数与几何综合 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 【规范解答】解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；直线DC的函数关系式为 (2)满足要求的所有点的坐标为：、、 (3)的度数不会变化，等于 【思路点拨】（1）把代入求出值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出点坐标，利用待定系数法即可得出直线解析式； （2）可分两种情况：为边、为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题； （3）过点作于，作于，连接、，根据正方形的性质及角平分线的性质可得，利用可证明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而为定值． 【规范解答】（1）解：∵双曲线经过的、两点，且点，，， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， 设直线的函数关系式为：，则， 解得：， ∴直线DC的函数关系式为：． （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为：， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①如图1，当为边时，    若四边形为平行四边形，则， 解得：， ∴， ∴， ∴中点坐标为，， ∴， 解得：， ∴． 如图2，若四边形为平行四边形，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． ②如图3，当AB为对角线时，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 综上所述，满足要求的所有点的坐标为：、、． （3）解：当在上运动时，的度数不会变化，等于，理由如下： 过点作于，作于，连接，，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【训练2】（22-23八年级下·浙江温州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接和，求的面积； 【答案】(1)反比例函数，一次函数 (2) 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解解析式，反比例函数与一次函数的性质，割补法求图形的面积，是解决问题的关键． （1）将点A坐标代入两个函数解析式求出k值，b值即可； （2）首先求出点C的坐标，再联立两个函数解析式求得点B的坐标，运用计算即得． 【规范解答】（1）把点分别代入和 ， 得，， 解得，， ∴； （2）设直线交y轴于点C， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故的面积为， 重点考点讲练18：根据图形面积求比例系数(解析式) 【母题精讲】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【规范解答】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【训练1】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解． 【规范解答】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点D，轴于点C， ，，，， 和 面积之和为6， ， ， 故选A． 重点考点讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【母题精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期末）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质．解决本题的关键是根据图象所在的象限与比例系数之间的关系逐一分析即可得到正确选项． 【规范解答】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故A选项不符合； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故B选项不符合； C选项：一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴，一次函数的图象符合，反比例函数的图象在第二、四象限，也符合的情况，故C选项符合； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴，故D选项不符合； 故选：C． 【训练1】（22-23九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，已知反比例数的图象与一次函数的图象相交于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，连结．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查反比例函数和一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想和转化思想是解题的关键 （1）先将点B坐标代入反比例函数表达式求出k，再将点A坐标代入可确定点A坐标，最后用待定系数法可求得一次函数的解析式； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）延长和，相交于点，将四边形的面积转化为大三角形面积减去小三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：将点坐标代入反比例函数，得， ． ∴反比例函数的解析式． ∵点也在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴． 将，两点代入得， ，解得． ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可知， 当和时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围是：或． （3）解：延长和，相交于点，    ∵轴，轴， ∴． ∵，， ∴，． ∴， ， ∴． 【训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【规范解答】（1）解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． （2）解：根据图象可得，的解集为：或． （3）解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得   ∴，即， 连接， ∴． 重点考点讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 (3)点P的坐标为或，， 【思路点拨】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 【训练1】（24-25八年级上·上海·期末）已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意求得，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）根据题意得到方程，解方程即可求得、两点的坐标． 【规范解答】（1）解：点的横坐标为，且的面积为， 如图所示： ， ， 点的纵坐标为， ， 正比例函数过第一象限一点， ， ， 正比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，， 反比例函数解析式为， 正比例函数与反比例函数交于、两点， ， 解得：， ，． 【训练2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力． （1）根据题意，把代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论； （2）如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得，； （3）直线与关于原点对称，所以直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围 【规范解答】（1）解：若，则， 根据题意，把代入得． ∵也在该反比例函数图象上， ∴， 解得．        再把，分别代入， 得∶ ， 解得∶ ． ∴． （2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． ∴，解得 ． （3）解：∵， 移项可得， 如图，直线与关于原点对称， ∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 重点考点讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【思路点拨】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【训练1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【思路点拨】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【规范解答】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【训练2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】（1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值； （2）由图象直接可得； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得，再计算，然后利用进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意知， 将点A坐标代入（）中，得：， ， 双曲线的解析式为（）； （2）由图象可知，点D横坐标为4，则关于x的不等式的解集是或； （3）点坐标为，轴， 点坐标为； ，， 而， ． 重点考点讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于两点，连结．下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①不符合题意；把、代入中得到故②符合题意；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③符合题意；根据图象得到不等式的解集是或，故④符合题意，从而可得答案． 【规范解答】解：①由图象知，，， ，故①不符合题意； ②把、代入中得， ，故②符合题意； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③符合题意； ④由图象知不等式的解集是或，故④符合题意； 故选：C． 【训练1】（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)①，；②点的坐标为或或 【思路点拨】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ② ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【训练2】（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或 【思路点拨】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键． （1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【规范解答】（1）解：（1）直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 上点的坐标为， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 期末考向三：用反比例函数解决问题 重点考点讲练23：实际问题与反比例函数 【母题精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【规范解答】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 【训练1】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【规范解答】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 【训练2】（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【规范解答】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【规范解答】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一进行判断．解决问题的关键是将一般式（）转化为或（）的形式． 【规范解答】解：A、由原式子得到，符合反比例函数的定义，故符合题意； B、该函数式表示y与成反比例关系，故不符合题意； C、该函数式表示y与x成正比例关系，故不符合题意； D、该函数式不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，垂直平分线的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算是关键．根据题意得，，由垂直平分线得到，则的周长为，即可求解． 【规范解答】解：∵点在反比例函数图象上，过作轴， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长为， 故选：A ． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或． 【思路点拨】本题考查了用函数图象求不等式的解集，本题中根据一次函数与反比例函数的图象的位置关系找到不等式的解集即可． 【规范解答】解：由图象可知：在第二象限时，在点的左侧， 即， 在第四象限时 ，在点的左侧， 即， 综上所述，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，分式的化简求值．把点P坐标代入两个函数解析式中，得；再把代数式通分后整体代入即可求解． 【规范解答】解：∵函数与的图像交于点， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了反比函数中的几何意义，根据，即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴，且 ∴ 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 8．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（1）根据反比例函数定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入函数表达式计算即可． 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，设．把，代入，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 解得． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【思路点拨】（1）根据函数图象的中心对称性解答即可； （2）当点C在x轴上时，设，根据，利用两点间距离公式，勾股定理解答即可；当点C在y轴上时，设，根据，利用两点间距离公式，勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）解：∵函数和交于、两点，． 根据图象的中心对称性，得． （2）解：当点C在x轴上时，设，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴, ∴或， 故点C的坐标为或； 当点C在y轴上时，设，且， ∴或， 故点C的坐标为或． 故点C的坐标为或或或． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（   ） A．四边形可以是平行四边形 B．四边形可能是矩形 C．四边形可能是菱形 D．四边形不可能是正方形 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对C的判断可以利用反证法． 【规范解答】解：如图， 反比例函数的图象关于原点成中心对称， ，， 四边形是平行四边形，故A不符合题意， 如图，若四边形是菱形， 则， ， 显然：， 所以四边形不可能是菱形，故C不正确，符合题意， 如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称， 当垂直于对称轴时， ， ， ， ， 四边形是矩形，故B不符合题意， 四边形不可能是菱形， 四边形不可能是正方形，故D不符合题意， 故选：C． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 【答案】B 【思路点拨】本题考查正比例函数、反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握并利用正比例函数、反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称， ∴叠加得到函数的图象也关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； B．在第一象限内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意； C．由图象可知：当时，函数在时取得最小值，原说法正确，故此选项不符合题意； D．由图象可知：或，因此函数值不可能为，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 13．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可． 【规范解答】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线=在第一象限内交于点，点的横坐标为，直线与轴、轴分别交于、两点，且，为线段上一点，过作轴交双曲线=于点，连接，当是等腰直角三角形时，求点的坐标 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定等知识，利用待定系数法把点的横坐标代入反比例函数解析式中，解得点的坐标，过点作轴于点，由，得点坐标可得，进而得到点的坐标，再利用待定系数法得出直线的解析式，要使是等腰直角三角形时，只能，根据、点所在函数解析式可设，过作于，则，再根据等腰三角形三线合一性质可得，解出方程的解即可． 【规范解答】解： 在反比例函数的图象上， 过点作轴于点， 设直线的解析式为：，代入点、点得， 根据题意，要使是等腰直角三角形时，只能， 设，则， 过作于，则， （不合题意，舍去） 当是等腰直角三角形时，点的坐标为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方且反比例函数图象在x轴上方，即可得到答案． 【规范解答】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方且反比例函数图象在x轴上方，即． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)若， 求点的坐标； 点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或或 【思路点拨】本题考查了反比例函数的综合，列代数式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析题意，结合过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，得出，即，再结合过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，得，故，即可作答． （2）结合以及由（1）得，，得出，再代入，即可作答． 先求出，再设，，进行分类讨论，结合平行四边形的对角线互相平分，列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵过点作轴的平行线，与函数的图像交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， 解得． ∴把代入， 得， ∴； 由得， 则，， ∴， ∵点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点， ∴设，， 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 综上：或或满足题意． 18．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式： (2)计算当车速为时视野的度数： (3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 【答案】(1) (2)40度 (3) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）代入进一步求解即可； （3）根据题意得，求解即可． 【规范解答】（1）解：设f，v之间的关系式为 ， ∵时，度， ∴， 解得， 所以， （2）当时，（度）． （3）根据题意得：， ∴， ∴车速最多． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或 【思路点拨】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得． ∴． 把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴k的值为，的值为6． （2）当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴． ∴或． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【规范解答】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 第 1 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