第13讲 一次函数的实际应用（3个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第13讲 一次函数的实际应用 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................2 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................7 题型03行程问题(一次函数的实际应用).....................................................................................................................................10 题型04一次函数与几何综合.......................................................................................................................................................14 题型05其他问题(一次函数的实际应用)....................................................................................................................................18 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................49 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点3．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 2．（八年级下·全国·课后作业）通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成，过去，某市网民通过电脑拨号上“因特网”的费用为电话费每3分钟0.18元，上网费每小时7.2元，现在，该市对上“因特网”的费用作了调整：电话费每3分钟0.22元，上网费为每月不超过60小时，按每小时4元计算；超过60小时部分，按每小时8元计算. （1）根据调整后的规定，用解析式表示网民每月上“因特网”的费用（元）与上网时间之间的函数关系式； （2）资费调整前，网民小刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出，因“因特网”资费调整后，小刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？ （3）从资费调整前后该市网民上网费用的支出增减情况分析，哪些网民支出增加？哪些网民支出减少？ 【答案】（1）y= ；（2）至多可上网约80.32h；（3）当上网时间小于150时,调整后需费用少;当等于150时,调整前后所需费用相同;当大于150时,调整前所需费用少. 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）对于第一问,根据已知调整后“因特网”的费用调整为电话0.22元/3min,上网费为每月不超过60h,按4元/h计算;可以得出调整后的电话费为0.22*20=4.4(元/时）;再结合上网费用=网费电话费,网费不超过60h,为4元/h,即每小时上网所花费用8.4,网费超过60h,为8元/h,即超时每小时为12.4,即可解答; （2）由已知条件网民晓刚在其家庭经济预算中,一直有一笔每月70h的上网费用支出,可以得出上网70h所需的费用为(3.6+7.2)×70=756(元);资费调整后,若上网60h,则所需费用为8.4×60=504(元,因为756＞504,所以晓刚现在上网时间超过60h,得出关系式12.4(x-60)+504≤756,即可解答. （3）先设出未知数调整前所需费用y 元,调整后所需费用为y 元,然后分情况讨论,得出解答结果. 【详解】(1)由题意知调整后每小时的电话费为：0.22×20=4.4(元/时) 根据上网费用=网费电话费,网费不超过60h,为4元/h,即每小时上网所花费用8.4元 若网费,超过60h,为8元/h,即超时时每小时的上网费用为12.4元 所以设上网时间为x,与费用y的函数关系式为 y= (2)资费调整前,上网70h所需的费用为(3.6+7.2)×70=756(元) 资费调整后,若上网60h,则所需费用为：8.4×60=504(元) 因为756＞504， 所以晓刚现在上网时间超过60h， 由12.4(x-60)+504≤756， 解得：x≤80.32h. 所以小刚现在每月至多可上网约80.32h. (3)设调整前所需费用y元,调整后所需费用为y元.则y=10.8x 当0≤x≤60时， y=8.4x， 由10.8x＞8.4x， 故y＞y， 当x＞60,y=12.4x−240， 当y=y时， 10.8x=12.4x-240， 解得：x=150， 当y＞y时， 10.8x＞12.4x-240， 解得：x＜150， 当y＜y时， 10.8x＜12.4x-240， 解得：x＞150， 当上网时间小于150时,调整后需费用少; 当等于150时,调整前后所需费用相同; 当大于150时,调整前所需费用少. 【点睛】此题考查一次函数的应用，根据题意列出方程是解题关键. 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元． ②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元． (1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式； (2)选择哪种消费方式划算． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）根据收费方程，分别列出函数关系式即可； （2）画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，选择普通票时：； 选择银卡消费时：； （2）当时，解得：，此时， 当时，解得：， 当时，解得：； 画出函数图象如图： 其中为，为，，，； ∴当时，选择普通票划算； 当时，选择普通票和银卡费用相同，比金卡划算； 当时，选择银卡划算； 当时，选择银卡和金卡费用相同，比普通票划算； 当时，选择金卡划算． 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．（八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 5．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 6．（24-25八年级下·河南·阶段练习）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； (2)当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 题型03行程问题(一次函数的实际应用) 7．（2025八年级下·全国·专题练习）小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地如图是小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，根据图中信息，下列说法有误的是（    ） A．从甲到乙地共千米 B．小帅的骑车速度为千米/小时 C．小泽出发小时后小帅才出发 D．当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有千米 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂图象的实际意义是解题的关键．根据图象可直接判断A；由图象可以求出小帅的速度，可以判断B；根据小帅的速度可以求出小帅行驶千米所用时间，从而判断C；先求出小泽行驶千米后的速度，再根据路程、速度、时间的关系判断D． 【详解】解：∵纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离，且最小值为千米，最大值都为千米， ∴甲、乙两地的距离为：（千米）； 故选项A正确； ∵由图可知，小帅的速度为：（千米/小时）， 故选项B错误； ∵（千米/小时）， ∴小帅行驶千米所用的时间为：（小时）， ∴小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发小时后小帅才出发， 故选项C正确； ∵小泽出发小时时，行驶了千米，之后改变速度匀速行驶，行驶了小时后，到达终点，此时距离甲地千米， ∴小泽改变速度之后的速度为（千米/小时）， ∵当小帅到达终点时，小泽一共行驶了小时， ∴小泽一共行驶了：（千米）， 此时小泽距离乙地还有：（千米）， 故选项D正确， 故选：B． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）“脱贫攻坚”小组乘汽车赴处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度高速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为 ． 【答案】5小时 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意先求出汽车在乡村公路上行驶的速度，从而可以求出到达的时间． 【详解】解：汽车在乡村公路上行驶的速度为：， 则该记者到达采访地的时间为：， 故答案为：5小时． 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩，小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)小佳骑电动车的速度为______． (2)求线段所在直线的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案； （2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式； （3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程． 【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为， ∴小佳骑电动车的速度； 故答案为：． （2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为， 则点B坐标为， ∵乙小区到超市，用时6分钟， ∴小乐的速度为， ∴小乐从超市到农庄所用时间为， ∴点C坐标为， 设线段的函数表达式为， 把，，代入解析式得， 解得：， ∴线段的函数表达式为； （3）线段的函数解析式为 把点代入解析式得：， 解得， ∴线段的函数解析式为， 当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同， ∴， 解得， ∴． ∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程 题型04一次函数与几何综合 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的综合应用．将，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时， 将代入直线中， 可得，解得； 直线经过点A时， 将代入直线中， 可得，解得； 故b的取值范围是． 故选：B． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及坐标与图形、两点坐标距离公式、折叠性质等知识，分点M在y轴的正半轴上和点M在y轴的负半轴上两种情况，利用坐标与图形性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，当点M在y轴的正半轴上时． 把线段沿直线翻折，点C正好落在x轴上，则有，． ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 设点M的坐标为，则，． ∵， ∴，解得， ∴点M的坐标为； 如图2，当点M在y轴的负半轴上时，． 设点M的坐标为，则，． ∵， ∴，解得， ∴点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点，的坐标分别为，． 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 题型05其他问题(一次函数的实际应用) 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象看两个函数的交点所对应的自变量的取值是多少即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方， A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意； B、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元）， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意； C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意； D、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶3000千米时， ， ， （元）， ∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意； 故选：D． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 【答案】1.2 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为，当时，，当时，，判断即可得解． 【详解】解：设水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 当时，， 当时，， ∴h的值记录错误的是1.2， 故答案为：1.2． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，而“函”同“含”，是包含之意．于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”．如《代数学》第七卷中有“凡式中含天，为天之函数”（在古代以天、地、人、物四元表示未知数）．在初中阶段的函数学习中，我们历经“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．现在我们定义：若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．例如：． (1)若函数过点和，求k和b的值； (2)已知函数（a为常数），当时，y有最小值5，求a的值； (3)已知关于x的方程有三个解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或8 (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了绝对值函数、分段函数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种请：①当时；②当时；③当时；分别求解即可； （3）设，，依题可知，将，的图象表示在同一坐标系中，结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：将坐标和代入函数中， ∴， 解得：， （2）解：∵，当时，y有最小值为5， ∴①当时，由图象可知时，y有最小值为5， ， ∴， 解得： ②当时，由图象可知时，y有最小值为0，不符合题意； ③当时，由图象可知时，y有最小值为5， ∴， 解得： 综上：或8 （3）解：设，， 依题可知：， 如图所示，将，的图象表示在同一坐标系中， 直线恒过定点， 当直线过点时，此时恰有2个交点， 此时， 得：， ∴m的取值范围为． 夯实基础 一、单选题 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间关系如下： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法中，正确的是（    ） A．弹簧不挂重物时长度为0cm B．弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3.5kg C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为15cm 【答案】C 【分析】观察表格分析数据，再通过逐一判断A、B、C、D四个选项进行选择． 【详解】解：A、通过观察表格弹簧不挂重物时长度为10cm，故选项A错误； B、通过观察表格弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3kg，故选项B错误； C、通过观察表格在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故选项C正确； D、观察表格分析数据，得到y = 0.5x +10，所挂物体质量为10kg时，y=0.5×10+10= 15，没有说在弹簧的允许范围内，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，能够正确理解表格并分析数据是本题解题关键． 2．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（    ） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm 【答案】B 【分析】根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系，利用待定系数解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm， 设弹簧的长度为y，受到的拉力为x， 则， 当时，， 即拉力为7.5N，则弹簧长度为25cm． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得到弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系是解题的关键． 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物重量的关系如下表所示： 弹簧总长 16 17 18 19 20 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x=5时，代入函数解析式求值即可． 【详解】解：根据题意得：弹簧总长与重物重量是一次函数的关系， 设弹簧总长与重物重量函数关系式为， 把（0.5，16），（1.0，17）代入得： ，解得：， ∴弹簧总长与重物重量函数关系式为， 当时，， 即当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是26cm． 故选：D 【点睛】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到x千克重物在原来基础上增加的长度． 4．购买一些圆珠笔，单价为3元，总价y（元）与购买圆珠笔的支数x（支）的函数关系式可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据总价单价数量列出函数关系式是解题关键，本题较简单．根据总价单价数量即可求解． 【详解】解：根据总价单价数量，得，正确的选项只有A选项． 故选：A 5．在直角坐标系中，点、、在同一条直线上，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．6或3 D．6或-6 【答案】B 【分析】先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后将点C的坐标代入即可确定a的值． 【详解】解：设点、所在的直线解析式为y=kx+b 则，解得 则直线y=3x-9 将点C的坐标代入得：a=3×5-9=6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，确定直线AB的解析式是解答本题的关键． 6．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理．如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴周长的最小值是， 故选：B． 7．如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和平行四边形的性质，推导得、；再根据直角坐标系和平行四边形的性质，得，设过顶点D的正比例函数解析式为，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的边在一次函数的图象上， ∴当时，， ∴， ∴点的纵坐标是1， ∵平行四边形，C的坐标是， ∴点的纵坐标是-2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设过顶点D的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴过顶点D的正比例函数解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、平行四边形的性质，从而完成求解． 8．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求出一次函数的解析式，设，得到四边形的周长等于，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：，即：， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形的周长是； 故选C． 二、填空题 9．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ，即可求解． 【详解】解：根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b（ ）与y=0的上下位置关系找出不等式ax+b<0的解集是解题的关键． 10．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积． 【详解】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x＋1． 当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝−1， ∴点C的坐标为（−1，0），OC＝1， ∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键． 11．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多 元． 【答案】3 【分析】待定系数法求出x≥2时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解． 【详解】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b， 将（2，7）、（7，15）代入， 得：， 解得：， ∴y=x+， 当x=22时，y=×22+=39， 即新车的打车费用为39（元）， 老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元）， 39-36=3（元）． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键． 12．、两地在一条笔直的公路上，甲从地出发前往地、乙从地出发前往地，两人同时出发，甲到达地后停止，乙继续前进到达地，如图表示两人的距离（米与时间（分间的函数关系，则下列结论中：①、两地的距离是1200米；②两人出发4分钟相遇；③甲的速度是100米分；④乙出发12分钟到达地，正确的有 （填序号） 【答案】①②④ 【详解】根据函数图象获取有用的信息，依次判断即可． 【解答】解：甲从地出发前往地、乙从地出发前往地，两人同时出发，图象过点， ，两地相距1200米，故①正确； 函数图象过点， 两人出发4分钟相遇，故②正确； 由图象知，甲出发6分钟后到达地， 甲的速度为：米分钟，故③错误； 设乙的速度为 米分钟，由图象知：， 解得， 乙出发到达的时间为：（分钟），故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查一次函数的应用——行程问题，能从函数图像上读取有用信息是解题的关键． 13．如图，一次函数与坐标轴的交点为A，B，在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数与坐标轴的交点为A，B，得到A，B两点坐标，结合是以为底边的等腰三角形，则，从而得到P点坐标． 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形， ∴设，， ∴，， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点C坐标为，点D是正比例函数在第一象限图象上的一动点，以为腰、点D为直角顶点作等腰，如图所示，点E在第一象限内，过点E作y轴平行线，分别交x轴、直线于点A、B，取中点M，点N是x轴上一动点，连接，当周长最小时，点D坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何图形的综合．过D点作x轴的平行线交y轴于点G，交于点H，证明，从而得到点B和点M的坐标，作M点关于直线的对称点P，作M点关于x轴的对称点Q，连接交于D，交于N，然后求出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：过D点作x轴的平行线交y轴于点G，交于点H． ∵正比例函数所在的图象平分第一象限角， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴H点横坐标为6， ∴，B点坐标为， ∵点M是的中点，， ∴M点坐标为， 作M点关于直线的对称点P，作M点关于x轴的对称点Q，连接交于D，交于N， 此时的周长最小，由对称性可知，， ∴， ∴当且仅当P、D、N、Q四点共线时，周长最小． ∵， ∴， ∵， ∴P点坐标为， ∵Q点坐标为， ∴设直线的解析式为， 则，， ∴， 联立， 解得， ∴D点坐标为， 即当周长最小时，D点坐标为． 故答案是：． 三、解答题 15．如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，以线段为边在第四象限内作等腰直角，且．    （1）试写出点的坐标： (_ _，_ ___)， (_ ，_ ) （2）求点的坐标； （3）求直线的函数表达式 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标； （2）作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△CDA，由全等三角形的性质可知AD=OB=3，CD=OA=4，故可得出C点坐标， （3）使用待定系数法即可求出直线BC的解析式． 【详解】（1）（1）一次函数中， 令y＝0，解得x＝4．                             则点A的坐标是（4，0）． 令x＝0得y＝-3． 则点B的坐标是（0，-3）． 故答案为，． （2）过点C作CD⊥x轴，垂足为点D    ∵, ∴, 又 ∴ 又,AB=AC ∴△AOB≌△CDA                  ∴AD=OB=3，CD=OA=4 ∴OD=7 ∴C（7，﹣4）                       （3）设直线BC的函数表达式为y=kx+b 把B（0，﹣3），C（7，﹣4）代入上式 得      解之得 ∴直线BC的函数表达式为y=. 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 16．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系： 温度（℃） … 0 5 10 15 … 长度（cm） … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 … 假设温度为℃时，合金棒的长度为cm，根据表中数据，推测（cm）与（℃）之间的函数表达式，并验证上表中的数据是否适合表达式. 当温度为℃或100℃时，分别推测合金棒的长度. 开放探究提优 【答案】，验证见解析；当温度是-20℃，100℃时，合金棒的长度分别为9.98cm，10.1cm.. 【分析】从表格上可知温度每升高1℃，合金棒的长度就增加0.001cm，所以函数为一次函数，设y=kx+b（k≠0），把x=0，y=10，x=5，y=10.005代入 y=kx+b，利用待定系数法即可得到解析式.将表格中其它的温度值作为x代入解析式，计算可发现符合题意.分别把x=-20℃和x=100℃代入解析式，可求出y的值即合金的长度. 【详解】从表格上可知温度每升高1℃，合金棒的长度就增加0.001cm，所以y与x满足一次函数关系，设y与x之间的关系式为y=kx+b（k≠0），把x=0，y=10，x=5，y=10.005代入得 ，解得. 所以解析式为y=0.001x+10. 当x=10时y=0.001×10+10=10.01，符合题意； 当x=15时y=0.001×15+10=10.015，符合题意； 当x=15时y=0.001×（-5）+10=9.995，符合题意. 验证得表中的数据符合该表达式， 当时，， 当时，. 所以当温度是-20℃，100℃时，合金棒的长度分别为9.98cm，10.1cm. 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数表达式，能根据表格判断函数为一次函数是解决此题的关键.在此题中还可以发现，当x每增加1时，y增加的值即为k的值， 17．某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是网络元包小时，且其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)若小刚家月份上网小时，则他家应付多少元上网费？ (3)若小明家月份上网费用为元，则他家该月的上网时间是多少小时？ 【答案】(1)当时，y与x之间的函数关系式为： (2)应交费元； (3)他家该月的上网时间是（小时） 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）设与之间的函数关系式为，将点代入用待定系数法求解即可； （2）由图像可得上网时长小于小时上网费不变为元，所以上网小时，则他家应付元上网费； （3）元超过元，说明上网时长大于时，故将代入（1）中解析式即可求得上网时间的值. 【详解】（1）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）解：由图像可得上网时长小于小时上网费不变为元，根据图象可得小刚家月份上网小时，应交费元； （3）解：把代入，得， 解得， 答：他家该月的上网时间是（小时）． 18．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ （2）该工厂计划让A、B两种型号机器人一共工作20个小时，并且B型号机器人的工作时间不得低于A型号机器人，求最多搬运多少千克原料？ 【答案】（1）型为：120千克小时，型为：100千克每小时；（2）最多搬运2200千克． 【分析】（1）根据“A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等”建立方程即可得解； （2）根据题意设工作（）小时，共搬运了千克，由已知建立一元一次不等式确定参数范围，再建立关于的函数关系式，根据参数的范围，函数的性质确定最大值即可． 【详解】解：（1）谁设型机器人的搬运速度为千克每小时，则型为：千克每小时， 由题：， 解得：， 经检验是方程的根， 故型为：120千克小时，型为：100千克每小时； （2）设工作（）小时，共搬运了千克，则型工作小时， 由题，且， 解得：， ， 当时， 当时，根据一次函数的性质， 时，有最大值，， 最多搬运2200千克． 【点睛】本题考查了分式方程、一元一次函数、一元一次不等式的实际应用；能找准等量关系建立方程，能结合参数范围确定函数的最大值时解决本题的关键． 19．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地为（km），出租车离甲地的距离为（km），客车行驶的时间为x（h），，与x的函数关系图象如图所示： (1)根据图象，直接写出，关于x的函数关系式； (2)运用（1）的结论，求当x＝5时两车之间的距离； (3)若设两车间的距离为s，请直接写出两车相遇之前s与x的函数关系式； (4)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200 km，若客车进入A站加油，出租车恰好进入B站加油，请直接写出A加油站到甲地的距离． 【答案】(1)＝60x（0≤x≤10），＝x+600（0≤x≤6） (2)当x＝5时两车之间的距离为200千米 (3)s＝x+600（0≤x≤） (4)A加油站到甲地距离为150km或300km 【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式； （2）可依照（1）得出的关系式，得出结果； （3）求出两车相遇时所需时间，即可得出结论； （4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值范围分别计算出A加油站到甲地的距离． 【详解】（1）解：设客车函数解析式为=kx，把x=10，y=600代入得 10k=600， ∴k=60， ∴＝60x（0≤x≤10）． 设出租车的函数解析式为：=mx+600， 把x=6，y=0代入得6m+600=0， ∴m=， ∴＝x+600（0≤x≤6）； （2）当x＝5时＝300，＝100， ∴＝200， 答：当x＝5时两车之间的距离为200千米； （3）当两车相遇时耗时为x，＝， 即60x＝x+600， 解得x＝， 故两车相遇之前s与x的函数关系式为：s＝＝x+600（0≤x≤）； （4）由题意得：S＝200， ①当0≤x≤时，x+600x＝200， ∴x＝， ∴＝60x＝150． ②当＜x≤6时，60x(100x+600)＝200， ∴x＝5， ∴＝300， ③当6＜x≤10时，60x>360不合题意． 即：A加油站到甲地距离为150km或300km． 【点睛】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．借助函数图象表达题目中的信息，求出相关函数关系式是关键． 20．某市为鼓励居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨的部分仍按a元/吨收费，超过的部分按b元/吨收费，已知该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 28 56 4 20 35.2 (1)求a，b的值； (2)设某户1个月的用水量为x（吨），应交水费y（元），求出y与x之间的函数关系式； (3)已知某户5月份的用水量为18吨，求该户5月份的水费． 【答案】(1) (2) (3)30 【分析】（1）由题意可知，3、4月都超出12吨，所以费用应该由两部分组成，列出方程组即可求出a、b的值； （2）由于用水量不确定，所以需要分类讨论，第一种情况为当时，第二种情况为； （3）由题意知，吨，代入（2）中相应的解析式即可求出5月份的水费． 【详解】（1）由题意列出方程为：， 解得：； （2）当时，， 当时，， 综上所述：； （3）令， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）． A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分 【答案】B 【分析】y=x和y=-x+1把平面分成 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，由图即可得出答案． 【详解】由图可知， 满足的点都在直线的下方， 满足的点都在直线的上方， 故同时满足且的点为两者的重合部分， 由图知，点必定在第Ⅱ部分， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握数形结合的数学思想，即利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用． 22．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h（甲车休息前后的速度相同），甲、乙两车行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．根据图象的信息有如下四个说法： ①甲车行驶40千米开始休息 ②乙车行驶3.5小时与甲车相遇 ③甲车比乙车晚2.5小时到到B地 ④两车相距50km时乙车行驶了小时 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出a的值和m的值解答①；根据函数图象可得乙车行驶3.5-2=1小时与甲车相遇解答②；再求出甲、乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答③；由解析式之间的关系建立方程解答④． 【详解】由题意，得 m=1.5−0.5=1. 120÷(3.5−0.5)=40(km/h)， 则a=40. ∴甲车行驶40千米开始休息， 故①正确； 根据函数图象可得乙车行驶3.5−2=1.5小时与甲车相遇，故②错误； 当0⩽x⩽1时,设甲车y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得： 40=k1， 则y=40x 当1<x⩽1.5时， y=40； 当1.5<x⩽7时， 设甲车y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得： ， 解得： ， 则y=40x−20. 设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得： ， 解得： ， 则y=80x−160. 当40x−20−50=80x−160时， 解得：x=. 当40x−20+50=80x−160时， 解得：x=. −2=,−2=. 所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km， 故④错误； 当1.5<x⩽7时，甲车y与x之间的函数关系式为y=40x−20， 当y=260时，260=40x−20， 解得：x=7， 乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=80x−160， 当y=260时，260=80x−160， 解得：x=5.25， 7−5.25=1.75(小时) ∴甲车比乙车晚1.75小时到到B地， 故③错误； ∴正确的只有①， 故选A. 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答. 二、填空题 23．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数且，则称点为点的“关联点”．已知点在反比例函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，当线段最短时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．由点是点的“关联点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点是点的“关联点”， ， 点在函数的图象上， ， 即：或， 当点在直线上时， 设直线与轴、轴相交于点、，则、， 当时，线段最短，此时， 由，可得点； 设直线时，同理可得点； 故答案为：或． 24．某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：熟练运用待定系数法就解析式，结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， 即：当两仓库快递件数相同时，所用的时间为20分钟， 故答案为：20． 三、解答题 25．某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如下表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱， (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为_________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为_________箱，运到B社区的防疫物资为___________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值； (3)配送站为了减少总运输费用支出，设计了防疫物资运到A，B两个社区的最佳运输方案请你直接写出最佳运输方案，此时最少的总运输费用是多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)从甲仓库运到A社区的防疫物资为0箱，运到B社区的防疫物资为20箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为15箱，运到B社区的防疫物资为15箱时，费用最少，最少为525元． 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题目中的等量关系列出方程求解即可； （3）设总运输费用为y，根据题意列出y关于x的表达式，根据其增减性，即可进行解答． 【详解】（1）解：从甲仓库运到B社区的防疫物资为箱， 从乙仓库运到A社区的防疫物资为箱， 从乙仓库运到B社区的防疫物资为箱， 故答案为：，，； （2）， 解得：； （3）设总费用为y， ， ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最小值，， ∴从甲仓库运到A社区的防疫物资为0箱，运到B社区的防疫物资为20箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为15箱，运到B社区的防疫物资为15箱时，费用最少，最少为525元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出代数式，方程以及函数表达式解决问题． 26．已知甲骑自行车，乙骑摩托车，他们沿相同路线由A到B地，行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系如下图所示，请根据图象回答下列问题：    （1） A、B两地的路程为______ km； （2）出发较早的是______，到达时间较早的是______，早______ h； （3）甲的速度为______，乙的速度为______； （4）乙在距A地______km处追及甲，此时甲行驶了______h，乙行驶了______ h． 【答案】（1）80；（2）甲，乙，3；（3），（4）40，4，1 【分析】（1）根据函数图象分析即可得出结果； （2）根据函数图象分析即可得出结果； （3）根据速度=路程时间，计算即可． （4）当两个图象有交点时两车相遇，再根据时间=路程速度 【详解】解：（1）从图象上分析可得到两地的路程为80千米； （2）从图象上分析可得到：出发较早的是自行车，到达时间为8小时，到达最早的是摩托车，到达时间为5小时． ∴8-5=3h， ∴摩托车比自行车早到3小时； （3）甲速度=路程时间=，乙速度=路程时间=； （4）当两个图象有交点时两车相遇，此时路程为40km ∴甲所行驶的时间=路程速度=，乙所行驶的时间=路程速度=． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形行程问题，正确的识别图形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数的实际应用 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................2 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................7 题型03行程问题(一次函数的实际应用).....................................................................................................................................10 题型04一次函数与几何综合.......................................................................................................................................................14 题型05其他问题(一次函数的实际应用)....................................................................................................................................18 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................49 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点3．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．（八年级下·全国·课后作业）通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成，过去，某市网民通过电脑拨号上“因特网”的费用为电话费每3分钟0.18元，上网费每小时7.2元，现在，该市对上“因特网”的费用作了调整：电话费每3分钟0.22元，上网费为每月不超过60小时，按每小时4元计算；超过60小时部分，按每小时8元计算. （1）根据调整后的规定，用解析式表示网民每月上“因特网”的费用（元）与上网时间之间的函数关系式； （2）资费调整前，网民小刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出，因“因特网”资费调整后，小刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？ （3）从资费调整前后该市网民上网费用的支出增减情况分析，哪些网民支出增加？哪些网民支出减少？ 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元． ②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元． (1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式； (2)选择哪种消费方式划算． 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．（八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 6．（24-25八年级下·河南·阶段练习）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型03行程问题(一次函数的实际应用) 7．（2025八年级下·全国·专题练习）小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地如图是小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，根据图中信息，下列说法有误的是（    ） A．从甲到乙地共千米 B．小帅的骑车速度为千米/小时 C．小泽出发小时后小帅才出发 D．当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有千米 8．（2025八年级下·全国·专题练习）“脱贫攻坚”小组乘汽车赴处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度高速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为 ． 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩，小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)小佳骑电动车的速度为______． (2)求线段所在直线的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 题型04一次函数与几何综合 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 题型05其他问题(一次函数的实际应用) 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，而“函”同“含”，是包含之意．于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”．如《代数学》第七卷中有“凡式中含天，为天之函数”（在古代以天、地、人、物四元表示未知数）．在初中阶段的函数学习中，我们历经“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．现在我们定义：若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．例如：． (1)若函数过点和，求k和b的值； (2)已知函数（a为常数），当时，y有最小值5，求a的值； (3)已知关于x的方程有三个解，求m的取值范围． 夯实基础 一、单选题 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间关系如下： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法中，正确的是（    ） A．弹簧不挂重物时长度为0cm B．弹簧长度为11.5cm时，所挂物体质量为3.5kg C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为15cm 2．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（    ） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物重量的关系如下表所示： 弹簧总长 16 17 18 19 20 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是（    ） A． B． C． D． 4．购买一些圆珠笔，单价为3元，总价y（元）与购买圆珠笔的支数x（支）的函数关系式可以表示为（    ）    A． B． C． D． 5．在直角坐标系中，点、、在同一条直线上，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．6或3 D．6或-6 6．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 ． 10．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 ． 11．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多 元． 12．、两地在一条笔直的公路上，甲从地出发前往地、乙从地出发前往地，两人同时出发，甲到达地后停止，乙继续前进到达地，如图表示两人的距离（米与时间（分间的函数关系，则下列结论中：①、两地的距离是1200米；②两人出发4分钟相遇；③甲的速度是100米分；④乙出发12分钟到达地，正确的有 （填序号） 13．如图，一次函数与坐标轴的交点为A，B，在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 14．在平面直角坐标系中，已知点C坐标为，点D是正比例函数在第一象限图象上的一动点，以为腰、点D为直角顶点作等腰，如图所示，点E在第一象限内，过点E作y轴平行线，分别交x轴、直线于点A、B，取中点M，点N是x轴上一动点，连接，当周长最小时，点D坐标为 ． 三、解答题 15．如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，以线段为边在第四象限内作等腰直角，且．    （1）试写出点的坐标： (_ _，_ ___)， (_ ，_ ) （2）求点的坐标； （3）求直线的函数表达式 16．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系： 温度（℃） … 0 5 10 15 … 长度（cm） … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 … 假设温度为℃时，合金棒的长度为cm，根据表中数据，推测（cm）与（℃）之间的函数表达式，并验证上表中的数据是否适合表达式. 当温度为℃或100℃时，分别推测合金棒的长度. 开放探究提优 17．某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是网络元包小时，且其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)若小刚家月份上网小时，则他家应付多少元上网费？ (3)若小明家月份上网费用为元，则他家该月的上网时间是多少小时？ 18．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ （2）该工厂计划让A、B两种型号机器人一共工作20个小时，并且B型号机器人的工作时间不得低于A型号机器人，求最多搬运多少千克原料？ 19．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地为（km），出租车离甲地的距离为（km），客车行驶的时间为x（h），，与x的函数关系图象如图所示： (1)根据图象，直接写出，关于x的函数关系式； (2)运用（1）的结论，求当x＝5时两车之间的距离； (3)若设两车间的距离为s，请直接写出两车相遇之前s与x的函数关系式； (4)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200 km，若客车进入A站加油，出租车恰好进入B站加油，请直接写出A加油站到甲地的距离． 20．某市为鼓励居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨的部分仍按a元/吨收费，超过的部分按b元/吨收费，已知该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 28 56 4 20 35.2 (1)求a，b的值； (2)设某户1个月的用水量为x（吨），应交水费y（元），求出y与x之间的函数关系式； (3)已知某户5月份的用水量为18吨，求该户5月份的水费． 能力提升 一、单选题 21．直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）． A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分 22．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h（甲车休息前后的速度相同），甲、乙两车行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．根据图象的信息有如下四个说法： ①甲车行驶40千米开始休息 ②乙车行驶3.5小时与甲车相遇 ③甲车比乙车晚2.5小时到到B地 ④两车相距50km时乙车行驶了小时 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 23．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数且，则称点为点的“关联点”．已知点在反比例函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，当线段最短时，点的坐标为 ． 24．某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 三、解答题 25．某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如下表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱， (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为_________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为_________箱，运到B社区的防疫物资为___________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值； (3)配送站为了减少总运输费用支出，设计了防疫物资运到A，B两个社区的最佳运输方案请你直接写出最佳运输方案，此时最少的总运输费用是多少元？ 26．已知甲骑自行车，乙骑摩托车，他们沿相同路线由A到B地，行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系如下图所示，请根据图象回答下列问题：    （1） A、B两地的路程为______ km； （2）出发较早的是______，到达时间较早的是______，早______ h； （3）甲的速度为______，乙的速度为______； （4）乙在距A地______km处追及甲，此时甲行驶了______h，乙行驶了______ h． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$