11.2 一元一次不等式 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第一课时） 1.理解和掌握一元一次不等式的概念. 2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式. 3.通过在数轴上表示一元一次不等式的解集，重点体会数形结合的思想. 问题 解一元一次方程的一般步骤是什么? 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. 去括号：注意括号前的系数与符号. 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项时注意要改变符号. 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式. 系数化为1：方程两边同时除以x的系数，得x=m的形式. 思考 观察下面的不等式: x-7>26，3x<2x+1，x>50，-4x>3. 它们有哪些共同特征? 只有一个未知数. 含有未知数的式子都是整式. 未知数的次数是1. 知识点1 一元一次不等式的概念 4 知识点1 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式. 5 一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 知识点1 一元一次不等式的概念 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 未知数的个数 未知数的次数 式子特点 不同点 表示关系 左、右两边均为整式 1 1 不等关系 相等关系 6 解:(1)不是，不含未知数； (2)是，符合一元一次不等式的定义； (3)不是，左边不是整式； (4)不是，含有两个未知数； (5)不是，不含不等号. 例1 下列各式哪些是一元一次不等式? (1)4>1；(2)3x-24<4；(3) <2 ；(4)4x-3<2y-7；(5)x+1=6. 知识点1 一元一次不等式的概念 利用不等式的性质解不等式 x-7>26. 根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，得 x-7+7>26+7， 即 x>26+7. 知识点2 一元一次不等式的解法 8 观察变形前后的式子，你发现了什么？ 这一过程相当于把不等式x-7>26左边的项“-7”，变号为“+7”后移到右边. 知识点2 一元一次不等式的解法 x-7>26 x>26+7 9 知识点2 一元一次不等式的解法 x-7>26 x>26+7 解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变. 10 知识点2 一元一次不等式的解法 x-7>26 x>26+7 移项需注意： (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号； (2)移项时，不等号的方向不改变. 11 知识点2 一元一次不等式的解法 一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集. 思考 ：结合解一元一次方程的一般步骤，对你解一元一次不等式有什么启发？ 12 解一元一次不等式的步骤如下: 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 知识点2 一元一次不等式的解法 13 知识点2 一元一次不等式的解法 例2 解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1)3(x-1)<x-2； (2) +2≥. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号). 注意：若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 14 知识点2 一元一次不等式的解法 0 例2 解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1)3(x-1)<x-2； (2) +2≥. 解:(1)去括号，得 3x-3<x-2. 移项，得 3x-x<-2+3. 合并同类项，得 2x<1. 系数化为1，得 x <. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 15 知识点2 一元一次不等式的解法 例2 解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1)3(x-1)<x-2； (2) +2≥. 去分母：不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 注意：(1)不要漏乘不含分母的项； (2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 16 知识点2 一元一次不等式的解法 例2 解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1)3(x-1)<x-2； (2) +2≥. 解:(2)去分母，得 3(x-5)+24≥2(5x+1). 去括号，得3x-15+24≥10x+2. 移项，得 3x-10x≥2+15-24. 合并同类项，得 -7x≥-7. 系数化为1，得 x≤. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 0 1 17 解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处? 知识点2 一元一次不等式的解法 ① 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 依据：不等式的性质2，3. ② 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号). 依据：分配律、去括号法则. 18 知识点2 一元一次不等式的解法 ③ 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数 项都移到不等号的另一边. 依据：不等式的性质 1. ④ 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 依据：合并同类项法则. 19 知识点2 一元一次不等式的解法 ⑤ 系数化为 1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为 x<m(x≤m)或 x>m(x≥m)的形式. 依据：不等式的性质2，3. 注意：解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 20 解一元一次不等式，要依据不等式的性质，将不等式逐步化为x<m(x≤m)或x>m(x≥m)的形式. 知识点2 一元一次不等式的解法 21 知识点2 一元一次不等式的解法 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 依据 解的个数 解(集)的形式 解一元一次方程与解一元一次不等式的相同点和不同点 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. (对于解不等式，在去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变). 等式的性质 不等式的性质 只有一个解 一般有无数个解 x=m x<m(x≤m)或x>m(x≥m) 22 1.给出下列式子:①x>0；②<-1；③2x<-2+x；④x+y>-3；⑤x=-1.其中是一元一次不等式的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 23 2.解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来. 解：去分母，得 6+2x≥30-3(x-2). 去括号，得 6+2x≥30-3x+6. 移项，得 2x+3x≥30+6-6. 合并同类项，得 5x≥30. 系数化为1，得 x≥6. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 2 4 -1 0 1 3 5 6 7 8 9 24 3.已知关于 x 的不等式 3(x-1)<2(x+a)-5 只有三个正整数解，则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. C 解：3(x-1)<2(x+a)-5， 去括号，得 3x-3<2x+2a-5. 移项，得 3x-2x<2a-5+3. 合并同类项，得 x<2a-2. ∵ 不等式 3(x-1)<2(x+a)-5 只有三个正整数解， ∴ 2a-2>3 且 2a-2≤4， ∴ a 的取值范围是 . 2 4 -1 0 1 3 5 6 7 8 9 2a-2 25 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式 一元一次不等式 概念 解法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第二课时） 会通过列一元一次不等式解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程. 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案. 例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要对多少道题才能成功晋级? 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 答对 答错或不答 题数 得分 x 20-x 10x -5(20-x) 30 分析：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题对得10分，答错或不答都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要对多少道题才能成功晋级? 31 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 解:设初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 10x-5(20-x)>90. 去括号，得 10x-100+5x>90. 移项，合并同类项，得 15x>190. 系数化为1，得 x>12. 由x应为正整数，可得x至少为13. 答:初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 32 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 注意：在利用一元一次不等式解决实际问题时一定根据实际情况取值． 33 例2 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 >70% 此实际问题中的不等关系是什么？ 34 例2 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 怎样设未知数表示问题中的不等关系呢？ 设 x 表示明年增加的空气质量良好的天数， 则明年空气质量良好的天数是 x+365×60%. 35 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了 x. 去年有 365×60% 天空气质量良好，明年有(x+365×60%)天空气 质量良好，且 . 去分母，得 x+219>255.5. 移项，合并同类项，得 x>36.5. 由 x 应为正整数，可得 x至少为37. 答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%． 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 天数是整数，所以应该取 37. 这样就可以了吗？ 36 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 设 x 表示明年空气质量良好的天数. 还有其他设未知数的方法吗？ 例2 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 37 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 解：设明年空气质量良好的天数为 x. 根据题意，得 . 去分母，得 x>255.5. 由 x 应为正整数，可得 x至少为256. 256-365×60%=37. 答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的 70%． 38 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 你能根据例题的解题过程归纳出列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤吗？ ① 审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. ② 设：设出适当的未知数. ③ 列：根据题中的不等关系列出不等式. ④ 解：解不等式，求出其解集. ⑤ 验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意. ⑥ 答：写出答案. 39 例3 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量(折算为标准煤)，其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标. 40 分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系， 转化为不等式： ×100%≥5%. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 例3 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 41 解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤. 根据题意，列得不等式 ×100%≥5%. 去分母，得 0.320-x≥0.320×5%. 移项，合并同类项，得 -x≥-0.304. 系数化为1，得 x≤0.304. 答:这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 42 1.某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错或不答的试题道数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解：设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为(20-x)道. 由题意可得，10x-5(20-x)>95， 解得x>13， 所以小玉至少要答对14道题目，至多答错或不答20-14=6(道). B　 43 2. 某面馆购进A，B两种山西老陈醋，A种老陈醋每瓶12元，B种老陈醋每瓶 10元，该面馆购进A种老陈醋7瓶和B种老陈醋若干瓶，预算为205元，那么该面馆最多可以购进B种老陈醋 (　　) A.12瓶 B.10瓶 C.14瓶 D.16瓶 解：设该面馆可以购进B种老陈醋x瓶. 依题意，得12×7+10x≤205， 解得x≤12.1， 因为x为整数， 所以x最大取12. A 44 3.我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元. (1)两次购买龙眼各是多少吨? 解:(1)设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼(21-x)吨， 由题意，得0.4x+0.3(21-x)=7， 解得x=7，所以21-x=21-7=14. 答:第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨. 45 3. (2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万 元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉? 解:(2)设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把(21-y)吨龙眼加工成龙眼干， 由题意，得10×0.2y+3×0.5(21-y)≥39， 解得y≥15. 答:至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉. 46 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. 审 设出适当的未知数. 设 根据题中的不等关系列出不等式. 列 解不等式，求出其解集. 解 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 验 写出答案. 答 用一元一次不等式解决实际问题的步骤 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第三课时） 进一步学习通过列一元一次不等式解决生活中的实际问题，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用. 上节课我们学习了运用不等式解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立不等式模型解应用题. 例 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 分析：在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠，因此，需要分三种情况讨论: (1)累计购物不超过50元； (2)累计购物超过50元而不超过100元； (3)累计购物超过100元. 51 例 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 0< x ≤50 50< x ≤100 x >100 x x 100+0.9(x-100) x 50+0.95(x-50) 50+0.95(x-50) 52 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 你能从表格中看出在哪家超市花费少吗？ (1)当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，且两超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费一样. 53 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 你能从表格中看出在哪家超市花费少吗？ (2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲超市的购物优惠，因此到乙超市购物花费少. 54 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 你能从表格中看出在哪家超市花费少吗？ (3)当累计购物超过 100 元时，两个超市都享受购物优惠，需要列不等式求解. 55 ①若到甲超市购物花费较少，则100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50). 解得 x>150. 即x>150时，到甲超市购物花费较少. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 56 ②若到乙超市购物花费较少，则 100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50). 解得 x<150. 即100<x<150时，到乙超市购物花费较少. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 57 ③若到两超市购物花费相同，则 100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50). 解得 x=150. 即x=150时，到甲、乙两超市购物花费相同. 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 58 例 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同； 当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 59 1.某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，有两种购票方式.甲旅行社说：“老师买全票，其他人全部半价优惠.”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价240元.设学生有x名，就学生人数讨论哪家旅行社更优惠. 旅行社 老师购票费用 学生购票费用 甲 240元 120x元 乙 144元 144x元 60 解：①若 240+120x=144x+144， 解得 x=4， 此时两家旅行社收费一样； ②若 240+120x>144x+144， 解得 x<4， 此时乙旅行社更优惠； ③若 240+120x<144x+144， 解得 x>4， 此时甲旅行社更优惠． 61 2.某市打市内电话的收费标准是：每次3min以内(含3min)0.22元，以后每分钟0.11元(不足1min 部分按1min计).小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过0.5元. 她最多打了几分钟的电话？ 通话时间/min 电话费/元 x ≤3 x > 3 0.22 0.22+0.11(x-3) 62 解：设小琴打了 x min 的电话，则有 0.22+(x-3)×0.11≤0.5， 解得 x ≤ . 由于电话计时按照分钟计时，x 应是整数， 所以 x 的最大值为 5. 答：小琴最多打了 5 min 的电话. 63 3.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折；活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元) (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算? 解：(1)∵450×=360(元)， 450-80=370(元)， ∴选择活动一更合算. 64 3.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折；活动二:所购商品按原价每满300元减80元. (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； 65 (2)设一件这种健身器材的原价为x元. 若x<300，则活动一按原价打八折，活动二按原价， 此时付款金额不可能相等， ∴300≤x<500. 由题意得，x=x-80， 解得x=400， ∴一件这种健身器材的原价是400元. 66 3.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折；活动二:所购商品按原价每满300元减80元. (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围. 67 (3)当300≤a<600时， a-80<0.8a，解得a<400， ∴300≤a<400； 当600≤a<900时， a-160<0.8a，解得a<800， ∴600≤a<800. 综上所述，300≤a<400或600≤a<800. 68 检验 设未知数 列不等式 数学问题 (一元一次不等式) 实际问题 (包含不等关系) 数学问题的解 (不等式的解集) 实际问题的答案 解不等式 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$