专题一 微专题3 函数的零点问题-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题一　函数与导数 微专题3 函数的零点问题 本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大. 考情分析 思维导图 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　函数零点的判断 1.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由函数f(x)=ln x- 且函数y=ln x在上单调递增，函数y=-上单调递增， 故函数f(x)=ln x-上单调递增， 又f(2)=ln 2->ln -=>0，f(1)=ln 1-=-1<0， 故函数f(x)=ln x-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=cos个单位长度得到函数y=cos =cos=-sin 2x的图象， 所以f(x)=-sin 2x， 而y=x-与(1，0)两点， 作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示， 考虑2x=-2x=2x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即x=-x=x=处f(x)与y=x-的大小关系， 当x=-时，f =-sin=-1， y=×-=-<-1； 当x=时，f =-sin =1，y=×-=<1； 当x=时，f =-sin =1，y=×-=>1. 所以由图象可知，f(x)与y=x-的交点个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(2024·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(-x)=f(x)，f(x)=f(2-x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x3，则函数g(x)=|cos πx|-f(x)在区间上零点的个数为 A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由f(-x)=f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)=f(2-x)，得f(x)的图象关于直线x=1对称， 令g(x)=|cos πx|-f(x)=0，得|cos πx|=f(x)， 函数y=|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x3， 在同一坐标系内作出函数y=f(x)在 [-1，2]上的图象，函数y=|cos πx| 在上的图象，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察图象知，函数y=f(x)与y=|cos πx|的图 象在上有7个交点， 所以函数g(x)=|cos πx|-f(x)在区间 上零点的个数为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微点二　根据函数零点个数求参数取值范围 4.已知函数f(x)=x+-2，x∈(0，+∞)有两个零点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　因为f(x)=x+-2=且f(x)有两个零点， 所以方程x2-2x+m=0在上有两个不同的解， 所以解得0<m<1. 方法二　由f(x)=0得m=2x-x2=-(x-1)2+1， 因为f(x)有两个零点，所以直线y=m与函数 y=-(x-1)2+1，x>0的图象有两个交点. 函数y=-(x-1)2+1，x>0的图象如图，由图可知0<m<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若函数f(x)=有3个零点，则实数m的取值范围是 A. B.∪ C. D.∪ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当x<1时，函数f(x)=2x-m单调递增，则函数f(x)在上至多有一个零点， 当x≥1时，函数f(x)=x2-4mx+3m2=至多有两个零点， 因为函数f(x)有三个零点，则函数f(x)在上有两个零点， 当x<1时，令f(x)=2x-m=0，可得m=2x，所以0<m<2； 当x≥1时，由f(x)==0，可得x=m或x=3m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以解得m≥1. 综上所述，实数m的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2.函数g(x)=(a>0且a≠1)，若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-17，5]上恰有20个零点，则实数a的取值范围为　　　.  6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 (2，4) 因为函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-17，5]上恰有20个零点， 则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[-17，5]上有20个交点， 由f(x+2)=f(x)，知f(x)是周期为2的函数， 作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 易知当x∈[-17，1]时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1，5]上有3个交点， 显然0<a<1不满足题意， 所以解得2<a<4. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 7.若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为 　　　 　.  6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 (-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞) (1)当x2-ax+1≥0时，f(x)=0⇔(a-1)x2+(a-2)x-1=0， 即[(a-1)x-1](x+1)=0， 当a=1时，x=-1，此时x2-ax+1≥0成立. 当a≠1时，x=或x=-1， 若方程有一根为x=-1，则1+a+1≥0，即a≥-2且a≠1； 若方程有一根为x=则-a·+1≥0， 解得a≤2且a≠1； 若x==-1，则a=0，此时1+a+1≥0成立. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 (2)当x2-ax+1<0时，则f(x)=0⇔(a+1)x2-(a+2)x+1=0， 即[(a+1)x-1](x-1)=0， 当a=-1时，x=1，显然x2-ax+1<0不成立. 当a≠-1时，x=1或x= 若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2； 若方程有一根为x=则-a×+1<0， 解得a<-2； 若x==1，则a=0，显然x2-ax+1<0不成立. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 综上， 当a<-2时，零点为；当-2≤a<0时，零点为-1； 当a=0时，只有一个零点-1；当0<a<1时，零点为-1； 当a=1时，只有一个零点-1； 当1<a≤2时，零点为-1； 当a>2时，零点为1，-1. 所以当函数有两个零点时，a≠0且a≠1. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 微点三　嵌套函数的零点 8.函数f(x)=若关于x的方程2[f(x)]2-af(x)+1=0有6个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　.  6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 (23) 函数f(x)的图象如图所示， 令t=f(x)，则关于x的方程2[f(x)]2-af(x)+1=0有6个不相等的实数根， 等价于关于t的方程2t2-at+1=0在[0，1)上有2个不相等的实数根， 则解得2<a<3. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 9.(2024·漳州模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为 A.3　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.8 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 依题意，函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数，即为方程f(f(x)-1)=0解的个数， 令f(x)-1=t，则f(t)=0，当t>0时，ln t-=0，令h(t)=ln t-t>0， 函数y=ln t，y=-都在(0，+∞)上单调递增，于是函数h(t)在(0，+∞)上单调递增， 又h(1)=-1<0，h(e)=1->0，则存在t1∈(1，e)， 使得h(t1)=0； 当t≤0时，-|t+1|+1=0，解得t=0或t=-2， 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 作出函数f(x)=的大致图象， 如图所示， 又f(x)-1=t，则f(x)=t+1， 当t=0时，f(x)=1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=1有两个解； 当t=-2时，f(x)=-1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=-1有两个解； 当t= t1，t1∈(1，e)时，f(x)=t1+1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=t1+1有一个解， 综上所述，函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是 A.(-∞，0) B.(-∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞) √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 令u=f(x)，则f(u)=0. ①当a=0时，若u≤0，f(u)=0； 若u>0，由f(u)=log2u=0，得u=1. 所以由f(f(x))=0可得f(x)≤0或f(x)=1. 如图所示， 满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)=1只有一个解，不满足题意； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 ②当a≠0时，若u≤0，则f(u)=a·2u≠0； 若u>0，由f(u)=log2u=0，得u=1. 所以由f(f(x))=0可得f(x)=1， 当x>0时，由f(x)=log2x=1，可得x=2， 因为关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数根， 则方程f(x)=1在(-∞，0]上无解， 若a>0且x≤0，f(x)=a·2x∈(0，a]，故0<a<1； 若a<0且x≤0，f(x)=a·2x<0，满足题意. 综上所述，实数a的取值范围是(-∞，0)∪(0，1). 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 总结提升 1.函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 2.关于已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 33 补偿强化练 PART TWO 1.函数f(x)=的零点有 A.2个　　　　B.3个　　　　C.5个　　　　D.无数个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题知f(x)的定义域为(-5，5)， 令f(x)=0，得sin x=0，∴x=kπ，k∈Z， 又x∈(-5，5)，∴x=0或x=±π， 故f(x)有3个零点. 2.(2024·长春模拟)方程log3x+x=2的根所在区间是 A.(0，1)　　　　B.(1，2)　　　　C.(2，3)　　　　D.(3，4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设f(x)=log3x+x-2，则方程log3x+x=2的根所在区间即为f(x)零点所在区间， ∵y=log3x与y=x-2在(0，+∞)上均单调递增， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增； 对于A，∵f(1)=log31+1-2=-1，∴当x∈(0，1)时，f(x)<-1，A错误； 对于B，∵f(1)=-1<0，f(2)=log32+2-2=log32>0，即f(1)f(2)<0， ∴∃x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，B正确； 对于C，D，当x>2时，f(x)>f(2)>0，∴f(x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，C错误，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2024·无锡模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]=2，[3]=3，[-1.5]=-2，设x0为函数f(x)=log3x-的零点，则[x0]等于 A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为y=log3x与y=-在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=log3x-在(0，+∞)上单调递增， 又f(3)=log33-=1-=>0，f(2)=log32-=log32-1<0， 所以f(x)在(2，3)上存在唯一零点x0，即x0∈(2，3)，所以[x0]=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2024·银川模拟)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-18) B.(5，+∞) C.(5，18) D.(-18，-5) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由函数零点存在定理可知，若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2，4)上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m+5)(m+18)<0， 解得-18<m<-5， 所以实数m的取值范围是(-18，-5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2024·汉中模拟)已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=则方程f(x)+x2=2根的个数为 A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 要求方程f(x)+x2=2根的个数，即求y=f(x)与y=2-图象的交点个数. 由题设知y=f(x)与y=2-在(0，+∞)上的图象如图所示. 由图知两函数图象在(0，+∞)上有3个交点， 又由f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上是偶函数， y=2-也是偶函数， 所以两函数图象在(-∞，0)上也有3个交点， 故一共有6个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2024·衡水模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|恰有4个零点，则a的取值范围是 A.(5，+∞) B.(1，5) C.(1，+∞) D.(0，1)∪(5，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x=0时，f(0)=1≠0，所以x=0不是f(x)的零点； 当x≠0时，由f(x)=0， 即|x2+3x+1|-a|x|=0，得a=. f(x)的零点个数等价于直线y=a与函数y=的图象的交点个数. 利用y1=x+的图象，通过变换作出函数y=的大致图象如图所示. 由图可知a的取值范围是(0，1)∪(5，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是 A.20　　　　B.18　　　　C.16　　　　D.14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，即f(-x)=f(4-x)，f(x+4)=f(x)， 所以函数f(x)的周期为4， 由f(x)=f(4-x)，可得f(2+x)=f(2-x)， 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 令g(x)=3|sin πx|-f(x)=0， 则f(x)=3|sin πx|， 且y=3|sin πx|的图象也关于直线x=2对称， 作出y=f(x)与y=3|sin πx|在区间[-1，5]上的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由此可得两函数在[-1，5]上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称， 所以g(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=x2g(x)满足g(1+3x)+g(3-3x)=0，G(x)=f(x-2)-g(x)，若G(x)恰有2n+1(n∈N*)个零点，则这2n+1个零点之和为 A.2n　　　　B.2n+1　　　　C.4n　　　　D.4n+2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为f(x)=x2的定义域为R，关于原点对称， 所以f(-x)=(-x)2=x2=x2·=-x2=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，关于原点(0，0)中心对称， 而函数f(x-2)是函数f(x)向右平移两个单位长度得到的函数， 因而f(x-2)关于点(2，0)中心对称， 函数g(x)满足g(1+3x)+g(3-3x)=0，所以g(1+3x)=-g(3-3x)， 即g(1+x)=-g(3-x)，所以函数g(x)关于点(2，0)中心对称，且g(2)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 且G(2)=f(2-2)-g(2)=0，所以由函数零点定义可知G(x)=f(x-2)-g(x)=0， 即f(x-2)=g(x)， 由于函数f(x-2)和函数g(x)都关于点(2，0)中心对称， 所以两个函数的交点也关于点(2，0)中心对称， 又因为G(x)恰有2n+1(n∈N*)个零点， 即函数f(x-2)和函数g(x)的交点恰有2n+1(n∈N*)个， 且其中一个为x=2，其余的2n个交点关于点(2，0)对称分布， 所以2n+1(n∈N*)个零点的和满足×4+2=4n+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，f(2-x)=-f(x)，且当x∈[-1，0]时，f(x)=-1-x，则 A.f(x)的图象关于点(-1，0)对称 B.f(x)在区间[5，6]上单调递减 C.若关于x的方程f(x)=m在区间[0，6]上的所有实数根的和为则m=- D.函数y=f(x)-ln|x|有4个零点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 方法一　由f(-x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 由f(2-x)=-f(x)可得f(x)图象关于点(1，0)对称， ∵点(1，0)关于y轴的对称点为(-1，0)， ∴A正确； 函数f(x)的周期为T=4|1-0|=4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5，6]上单调递增，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于C，由题意可知m的 取值范围只可能是0<m<1 或-1<m<0， 由图知方程f(x)=m在区间 [0，6]上有3个实数根，设从小到大依次为x1，x2，x3， 当0<m<1时=2，x3∈(5，6)，∴x1+x2+x3=2×2+x3， 由2×2+x3=解得x3=∉(5，6)，则不符合题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当-1<m<0时=4，x1∈(0，1)，∴x1+x2+x3=2×4+x1， 由2×4+x1=解得x1=∈(0，1)，∴m=f =f =-C正确； 对于D，易知y=x-1为y=ln x在点(1，0)处的切线， 数形结合可判断f(x)的图象与y=ln|x|共有4个交点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数， f(2-x)=-f(x)，则f(2-x)+f(x)=0，① 则f(-2+x)+f(-x)=0，可知f(x)关于点 (-1，0)对称，A对； ∵f(2-x)=-f(x)=-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)， ∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数， f(x)在[-1，0]上单调递减，则f(x)在[0，1]上单调递增， 又由①知f(x)关于点(1，0)对称，则f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)在[5，6]上单调递增，B错； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当0≤x≤2时，f(x)=x-1； 当2≤x≤4时，f(x)=-x+3； 当4≤x≤6时，f(x)=x-5， 当-1<m<0时， 方程f(x)=m有三个根，设从小到大依次为x1，x2，x3，x2+x3=8，x1=∴m=-1=- 当0<m<1时，f(x)=m有三个根，设从小到大依次为x4，x5，x6， x4+x5=4，∴x6=不满足题意，∴m=-C对； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y=x-1与y=ln x相切，只有一个交点， y=-x+3与y=ln x有且仅有一个交点， ∴f(x)与y=ln|x|在(0，+∞)上有且仅 有两个交点， ∴y=f(x)-ln|x|有且仅有四个零点，D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(f(x))-f(x)-a，则 A.当a=0时，g(x)有2个零点 B.当a=时，g(x)有2个零点 C.存在a∈R，使得g(x)有3个零点 D.存在a∈R，使得g(x)有5个零点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 由f(x)的图象可知，f(x)的值域为R， 对于选项A，C，令h(x)=ex-x-1，x≥0， 则h'(x)=ex-1≥0在[0，+∞)上恒成立， 可知h(x)在[0，+∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)=0， 即ex-1≥x，x≥0当且仅当x=0等号成立， 令t=f(x)，若a=0，可得y=f(t)-t， 令y=f(t)-t=0，当t≥0时，则et-1-t=0，可知t=0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当t<0时，结合图象可知当且仅当t≤-时， 方程f(t)-t=1+2t+1-t=0有根，解得t=-2； 即f(x)=-2或f(x)=0，结合图象可知 f(x)=-2有1个根；f(x)=0有2个根； 综上所述，当a=0时，g(x)有3个零点，故A错误，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于选项B，令t=f(x)，若a=可得y=f(t)-t- 令y=f(t)-t-=0，即f(t)=t+ 注意到f(1)=e-1<1+ 由图象可知方程f(t)=t+有两个根，一根为- 另一根不妨设为m，m>1，即f(x)=-或f(x)=m，结合图象可知 f(x)=-有1个根；f(x)=m>1有1个根； 综上所述，当a=时，g(x)有2个零点，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于选项D，令t=f(x)，若a=0.2，可得y=f(t)-t-0.2， 令y=f(t)-t-0.2=0，即f(t)=t+0.2， 令ex-1=1，解得x=ln 2， 由图象可设方程f(t)=t+0.2有三个根为t1，t2，t3， 且t1<t2<0<t3<ln 2<1， 即f(x)=t1或f(x)=t2或f(x)=t3，结合图象可知f(x)=t1与f(x)=t2各有1个根；f(x)=t3有3个根； 综上所述，当a=0.2时，g(x)有5个零点，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的 零点x1，x2，x3.则x1x2x3的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0或- f(x)的图象如图所示，其中f = 若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3， 则m=0或m=. 当m=0时，三个零点分别为-0，1，故x1x2x3=0； 当m=时，小于0的零点为-大于0的两个零点之积为1， 所以x1x2x3=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2+2m·f(x)+m2-1=0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-2，-1) ∵[f(x)]2+2m·f(x)+m2-1=0⇒(f(x)+m+1)(f(x)+m-1)=0， ∴f(x)=-m-1或f(x)=-m+1， 作出函数f(x)的图象如图所示， 当x=1时，f(x)极大值=1， ∴解得-2<m<-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$ 微专题3　函数的零点问题 [考情分析]　本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大. 微点一　函数零点的判断 1.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由函数f(x)=ln x-的定义域为 且函数y=ln x在上单调递增，函数y=-在上单调递增， 故函数f(x)=ln x-在上单调递增， 又f(2)=ln 2->ln -=>0，f(1)=ln 1-=-1<0， 故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是. 2.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　y=cos的图象向左平移个单位长度得到函数y=cos =cos=-sin 2x的图象， 所以f(x)=-sin 2x， 而y=x-显然过与(1，0)两点， 作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示， 考虑2x=-2x=2x= 即x=-x=x=处f(x)与y=x-的大小关系， 当x=-时，f =-sin=-1， y=×-=-<-1； 当x=时，f =-sin =1， y=×-=<1； 当x=时，f =-sin =1， y=×-=>1. 所以由图象可知，f(x)与y=x-的交点个数为3. 3.(2024·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(-x)=f(x)，f(x)=f(2-x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x3，则函数g(x)=|cos πx|-f(x)在区间上零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　D 解析　由f(-x)=f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)=f(2-x)，得f(x)的图象关于直线x=1对称， 令g(x)=|cos πx|-f(x)=0，得|cos πx|=f(x)， 函数y=|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x3， 在同一坐标系内作出函数y=f(x)在[-1，2]上的图象，函数y=|cos πx|在上的图象，如图， 观察图象知，函数y=f(x)与y=|cos πx|的图象在上有7个交点， 所以函数g(x)=|cos πx|-f(x)在区间上零点的个数为7. 微点二　根据函数零点个数求参数取值范围 4.已知函数f(x)=x+-2，x∈(0，+∞)有两个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　因为f(x)=x+-2=且f(x)有两个零点， 所以方程x2-2x+m=0在上有两个不同的解， 所以解得0<m<1. 方法二　由f(x)=0得m=2x-x2=-(x-1)2+1， 因为f(x)有两个零点，所以直线y=m与函数y=-(x-1)2+1，x>0的图象有两个交点. 函数y=-(x-1)2+1，x>0的图象如图，由图可知0<m<1. 5.若函数f(x)=有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案　C 解析　当x<1时，函数f(x)=2x-m单调递增，则函数f(x)在上至多有一个零点， 当x≥1时，函数f(x)=x2-4mx+3m2=至多有两个零点， 因为函数f(x)有三个零点，则函数f(x)在上有一个零点，在上有两个零点， 当x<1时，令f(x)=2x-m=0，可得m=2x，所以0<m<2； 当x≥1时，由f(x)==0，可得x=m或x=3m， 所以解得m≥1. 综上所述，实数m的取值范围为. 6.(5分)(2024·昆明模拟)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2.函数g(x)=(a>0且a≠1)，若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-17，5]上恰有20个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　　.  答案　(2，4) 解析　因为函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-17，5]上恰有20个零点， 则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[-17，5]上有20个交点， 由f(x+2)=f(x)，知f(x)是周期为2的函数， 作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示. 易知当x∈[-17，1]时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1，5]上有3个交点， 显然0<a<1不满足题意， 所以解得2<a<4. 7.(5分)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为　　　　.  答案　(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞) 解析　(1)当x2-ax+1≥0时，f(x)=0⇔(a-1)x2+(a-2)x-1=0， 即[(a-1)x-1](x+1)=0， 当a=1时，x=-1，此时x2-ax+1≥0成立. 当a≠1时，x=或x=-1， 若方程有一根为x=-1，则1+a+1≥0，即a≥-2且a≠1； 若方程有一根为x= 则-a·+1≥0， 解得a≤2且a≠1； 若x==-1，则a=0，此时1+a+1≥0成立. (2)当x2-ax+1<0时，则f(x)=0⇔(a+1)x2-(a+2)x+1=0， 即[(a+1)x-1](x-1)=0， 当a=-1时，x=1，显然x2-ax+1<0不成立. 当a≠-1时，x=1或x= 若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2； 若方程有一根为x= 则-a×+1<0， 解得a<-2； 若x==1，则a=0，显然x2-ax+1<0不成立. 综上， 当a<-2时，零点为； 当-2≤a<0时，零点为-1； 当a=0时，只有一个零点-1； 当0<a<1时，零点为-1； 当a=1时，只有一个零点-1； 当1<a≤2时，零点为-1； 当a>2时，零点为1，-1. 所以当函数有两个零点时，a≠0且a≠1. 微点三　嵌套函数的零点 8.(5分)函数f(x)=若关于x的方程2[f(x)]2-af(x)+1=0有6个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　.  答案　(23) 解析　函数f(x)的图象如图所示， 令t=f(x)，则关于x的方程2[f(x)]2-af(x)+1=0有6个不相等的实数根， 等价于关于t的方程2t2-at+1=0在[0，1)上有2个不相等的实数根， 则解得2<a<3. 9.(2024·漳州模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 答案　B 解析　依题意，函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数，即为方程f(f(x)-1)=0解的个数， 令f(x)-1=t，则f(t)=0，当t>0时，ln t-=0，令h(t)=ln t-t>0， 函数y=ln t，y=-都在(0，+∞)上单调递增，于是函数h(t)在(0，+∞)上单调递增， 又h(1)=-1<0，h(e)=1->0，则存在t1∈(1，e)，使得h(t1)=0； 当t≤0时，-|t+1|+1=0，解得t=0或t=-2， 作出函数f(x)=的大致图象，如图所示， 又f(x)-1=t，则f(x)=t+1， 当t=0时，f(x)=1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=1有两个解； 当t=-2时，f(x)=-1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=-1有两个解； 当t= t1，t1∈(1，e)时，f(x)=t1+1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=t1+1有一个解， 综上所述，函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. 10.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(-∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞) 答案　B 解析　令u=f(x)，则f(u)=0. ①当a=0时，若u≤0，f(u)=0； 若u>0，由f(u)=log2u=0，得u=1. 所以由f(f(x))=0可得f(x)≤0或f(x)=1. 如图所示， 满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)=1只有一个解，不满足题意； ②当a≠0时，若u≤0，则f(u)=a·2u≠0； 若u>0，由f(u)=log2u=0，得u=1. 所以由f(f(x))=0可得f(x)=1， 当x>0时，由f(x)=log2x=1，可得x=2， 因为关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数根，则方程f(x)=1在(-∞，0]上无解， 若a>0且x≤0，f(x)=a·2x∈(0，a]， 故0<a<1； 若a<0且x≤0，f(x)=a·2x<0，满足题意. 综上所述，实数a的取值范围是(-∞，0)∪(0，1). [总结提升] 1.函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 2.关于已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1.函数f(x)=的零点有(　　) A.2个 B.3个 C.5个 D.无数个 答案　B 解析　由题知f(x)的定义域为(-5，5)， 令f(x)=0，得sin x=0，∴x=kπ，k∈Z， 又x∈(-5，5)，∴x=0或x=±π， 故f(x)有3个零点. 2.(2024·长春模拟)方程log3x+x=2的根所在区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　B 解析　设f(x)=log3x+x-2，则方程log3x+x=2的根所在区间即为f(x)零点所在区间， ∵y=log3x与y=x-2在(0，+∞)上均单调递增，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增； 对于A，∵f(1)=log31+1-2=-1，∴当x∈(0，1)时，f(x)<-1，A错误； 对于B，∵f(1)=-1<0，f(2)=log32+2-2=log32>0，即f(1)f(2)<0， ∴∃x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，B正确； 对于C，D，当x>2时，f(x)>f(2)>0，∴f(x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，C错误，D错误. 3.(2024·无锡模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]=2，[3]=3，[-1.5]=-2，设x0为函数f(x)=log3x-的零点，则[x0]等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　A 解析　因为y=log3x与y=-在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=log3x-在(0，+∞)上单调递增， 又f(3)=log33-=1-=>0，f(2)=log32-=log32-1<0， 所以f(x)在(2，3)上存在唯一零点x0，即x0∈(2，3)，所以[x0]=2. 4.(2024·银川模拟)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-18) B.(5，+∞) C.(5，18) D.(-18，-5) 答案　D 解析　由函数零点存在定理可知，若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2，4)上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m+5)(m+18)<0， 解得-18<m<-5， 所以实数m的取值范围是(-18，-5). 5.(2024·汉中模拟)已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=则方程f(x)+x2=2根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　D 解析　要求方程f(x)+x2=2根的个数，即求y=f(x)与y=2-图象的交点个数. 由题设知y=f(x)与y=2-在(0，+∞)上的图象如图所示. 由图知两函数图象在(0，+∞)上有3个交点， 又由f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上是偶函数， y=2-也是偶函数， 所以两函数图象在(-∞，0)上也有3个交点， 故一共有6个交点. 6.(2024·衡水模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|恰有4个零点，则a的取值范围是(　　) A.(5，+∞) B.(1，5) C.(1，+∞) D.(0，1)∪(5，+∞) 答案　D 解析　当x=0时，f(0)=1≠0， 所以x=0不是f(x)的零点； 当x≠0时，由f(x)=0， 即|x2+3x+1|-a|x|=0，得a=. f(x)的零点个数等价于直线y=a与函数y=的图象的交点个数. 利用y1=x+的图象，通过变换作出函数y=的大致图象如图所示. 由图可知a的取值范围是(0，1)∪(5，+∞). 7.若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是(　　) A.20 B.18 C.16 D.14 答案　A 解析　因为f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)， 即f(-x)=f(4-x)，f(x+4)=f(x)， 所以函数f(x)的周期为4， 由f(x)=f(4-x)，可得f(2+x)=f(2-x)， 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 令g(x)=3|sin πx|-f(x)=0， 则f(x)=3|sin πx|， 且y=3|sin πx|的图象也关于直线x=2对称， 作出y=f(x)与y=3|sin πx|在区间[-1，5]上的图象， 由此可得两函数在[-1，5]上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称， 所以g(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是20. 8.(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=x2g(x)满足g(1+3x)+g(3-3x)=0，G(x)=f(x-2)-g(x)，若G(x)恰有2n+1(n∈N*)个零点，则这2n+1个零点之和为(　　) A.2n B.2n+1 C.4n D.4n+2 答案　D 解析　因为f(x)=x2的定义域为R，关于原点对称， 所以f(-x)=(-x)2=x2=x2·=-x2=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，关于原点(0，0)中心对称， 而函数f(x-2)是函数f(x)向右平移两个单位长度得到的函数， 因而f(x-2)关于点(2，0)中心对称， 函数g(x)满足g(1+3x)+g(3-3x)=0，所以g(1+3x)=-g(3-3x)， 即g(1+x)=-g(3-x)，所以函数g(x)关于点(2，0)中心对称，且g(2)=0， 且G(2)=f(2-2)-g(2)=0， 所以由函数零点定义可知G(x)=f(x-2)-g(x)=0， 即f(x-2)=g(x)， 由于函数f(x-2)和函数g(x)都关于点(2，0)中心对称， 所以两个函数的交点也关于点(2，0)中心对称， 又因为G(x)恰有2n+1(n∈N*)个零点， 即函数f(x-2)和函数g(x)的交点恰有2n+1(n∈N*)个， 且其中一个为x=2，其余的2n个交点关于点(2，0)对称分布， 所以2n+1(n∈N*)个零点的和满足×4+2=4n+2. 9.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，f(2-x)=-f(x)，且当x∈[-1，0]时，f(x)=-1-x，则(　　) A.f(x)的图象关于点(-1，0)对称 B.f(x)在区间[5，6]上单调递减 C.若关于x的方程f(x)=m在区间[0，6]上的所有实数根的和为则m=- D.函数y=f(x)-ln|x|有4个零点 答案　ACD 解析　方法一　由f(-x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 由f(2-x)=-f(x)可得f(x)图象关于点(1，0)对称， ∵点(1，0)关于y轴的对称点为(-1，0)， ∴A正确； 函数f(x)的周期为T=4|1-0|=4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5，6]上单调递增，B错误； 对于C，由题意可知m的取值范围只可能是0<m<1或-1<m<0， 由图知方程f(x)=m在区间[0，6]上有3个实数根，设从小到大依次为x1，x2，x3， 当0<m<1时=2，x3∈(5，6)， ∴x1+x2+x3=2×2+x3， 由2×2+x3=解得x3=∉(5，6)，则不符合题意， 当-1<m<0时=4，x1∈(0，1)， ∴x1+x2+x3=2×4+x1， 由2×4+x1=解得x1=∈(0，1)， ∴m=f=f=-C正确； 对于D，易知y=x-1为y=ln x在点(1，0)处的切线， 数形结合可判断f(x)的图象与y=ln|x|共有4个交点，D正确. 方法二　f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数， f(2-x)=-f(x)，则f(2-x)+f(x)=0，① 则f(-2+x)+f(-x)=0，可知f(x)关于点(-1，0)对称，A对； ∵f(2-x)=-f(x)=-f(-x)， ∴f(2+x)=-f(x)， ∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数， f(x)在[-1，0]上单调递减，则f(x)在[0，1]上单调递增， 又由①知f(x)关于点(1，0)对称，则f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)在[5，6]上单调递增，B错； 当0≤x≤2时，f(x)=x-1； 当2≤x≤4时，f(x)=-x+3； 当4≤x≤6时，f(x)=x-5， 当-1<m<0时， 方程f(x)=m有三个根，设从小到大依次为x1，x2，x3，x2+x3=8，x1=∴m=-1=- 当0<m<1时，f(x)=m有三个根，设从小到大依次为x4，x5，x6， x4+x5=4，∴x6=不满足题意，∴m=-C对； y=x-1与y=ln x相切，只有一个交点，y=-x+3与y=ln x有且仅有一个交点， ∴f(x)与y=ln|x|在(0，+∞)上有且仅有两个交点， ∴y=f(x)-ln|x|有且仅有四个零点，D对. 10.(多选)(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(f(x))-f(x)-a，则(　　) A.当a=0时，g(x)有2个零点 B.当a=时，g(x)有2个零点 C.存在a∈R，使得g(x)有3个零点 D.存在a∈R，使得g(x)有5个零点 答案　BCD 解析　由f(x)的图象可知，f(x)的值域为R， 对于选项A，C，令h(x)=ex-x-1，x≥0， 则h'(x)=ex-1≥0在[0，+∞)上恒成立， 可知h(x)在[0，+∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)=0， 即ex-1≥x，x≥0当且仅当x=0等号成立， 令t=f(x)，若a=0，可得y=f(t)-t， 令y=f(t)-t=0， 当t≥0时，则et-1-t=0，可知t=0； 当t<0时，结合图象可知当且仅当t≤-时，方程f(t)-t=1+2t+1-t=0有根，解得t=-2； 即f(x)=-2或f(x)=0，结合图象可知 f(x)=-2有1个根；f(x)=0有2个根； 综上所述，当a=0时，g(x)有3个零点，故A错误，C正确； 对于选项B，令t=f(x)，若a=可得y=f(t)-t- 令y=f(t)-t-=0， 即f(t)=t+ 注意到f(1)=e-1<1+ 由图象可知方程f(t)=t+有两个根，一根为-另一根不妨设为m，m>1， 即f(x)=-或f(x)=m，结合图象可知 f(x)=-有1个根；f(x)=m>1有1个根； 综上所述，当a=时，g(x)有2个零点，故B正确； 对于选项D，令t=f(x)，若a=0.2，可得y=f(t)-t-0.2， 令y=f(t)-t-0.2=0，即f(t)=t+0.2， 令ex-1=1，解得x=ln 2， 由图象可设方程f(t)=t+0.2有三个根为t1，t2，t3，且t1<t2<0<t3<ln 2<1， 即f(x)=t1或f(x)=t2或f(x)=t3，结合图象可知f(x)=t1与f(x)=t2各有1个根；f(x)=t3有3个根； 综上所述，当a=0.2时，g(x)有5个零点，故D正确. 11.(5分)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3.则x1x2x3的值为　　　　.  答案　0或- 解析　f(x)的图象如图所示， 其中f= 若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3， 则m=0或m=. 当m=0时，三个零点分别为-0，1， 故x1x2x3=0； 当m=时，小于0的零点为-大于0的两个零点之积为1， 所以x1x2x3=-. 12.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2+2m·f(x)+m2-1=0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是 　. 答案　(-2，-1) 解析　∵[f(x)]2+2m·f(x)+m2-1=0⇒(f(x)+m+1)(f(x)+m-1)=0， ∴f(x)=-m-1或f(x)=-m+1， 作出函数f(x)的图象如图所示， 当x=1时，f(x)极大值=1， ∴解得-2<m<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$