【专项练】一元二次方程动态几何问题-北京版八年级下册期末专项（初中数学）

学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 一元二次方程动态几何问题 中 等 题 1. 如图,已知在。ABC中,/ABC=90*,点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度 移动,点O从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,如果点P,O分别从点4. B同 时出发,当。PBO的面积等于8cm时,共需的时间为( _~ 8cm 6cm C.3s A.1s B.2s或4s D.35s 2. 如图,在Rt△ACB中. C=90*,AC=7,BC-5,点P从点B出发以每秒1个单位 长度的速度向终点C移动,同时,点O从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点4移动.当 一点到达终点时,另一点也停止移动.若△PCO的面积等于4,则它们移动的时间是( ~ C.2秒 A. 1秒或4秒 B. 2秒或4秒 D.1秒 3. 如图,在△ABC中, B=90*,AB=6cm,BC=10cm,点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动,点O从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,点O到达点C 后,点P、O停止运动.设P、O从点A、B同时出发,经过多少秒后,△PBO的面积是10cm3 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 4. 如图,在Rt△ABC中,B=90*,AB=4cm,BC=2cm,点P从点A出发沿AB 以1cm/s的速度向点B移动,点P出发几秒后,PA=、3PC? 5. 如图,在Rt△ABC中, C=90”,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,沿BC向 点C以lcm/s的速度匀速运动,另一动点O从点C出发,沿C4向点A以2cm/s的速度匀速 运动,点P.O同时出发,当有一点到达终点时,另一点也同时停止运动,设运动时间为s; 那么经过多长时间,CPO的面积为12cm}? 6. 如图所示,在ABC中,B=90 ,AB=6cm,BC=3cm,点P以1cm/s的速度从点 4开始沿边AB向点B移动,点O以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动,目点P 0分别从点A,B同时出发,若有一点到达目的地,则另一点同时停止运动.要使P,O两点 之间的距离等于4、/2cm:则需要经过多少秒 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 7. 如图1,矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两 点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为 _ 2 图1 图2 B.5 C. 6 A.4 D. 7 难 圈 过题 8. 如图,在ABC中,B=90*,AB=12mm.BC=24mm.动点P从点A开始沿边AB向 点B以2mm/s的速度移动,动点O从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动,如果 P.Q两点分别从A.B两点同时出发 B (1)写出PBQ的面积s关于z的函数解析式及t的取值范围,并求出当t为何值时,s最大; (2)经过几秒,PB的面积为32mm2; (3)出发几秒后,P0的长度等于12n? 9. 如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=8cm,AD=3em,动点P、O分别从 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 A、C同时出发,点P以1cm/s的速度向点B移动,点O以相同的速度向点D移动,当点P 到达点B时,点P、O均停止运动,设运动时间为!秒 B C (1)当t-__秒时,四边形PBCO为矩形. (2)运动过程中,四边形PBOD可能为菱形吗?若能,求出运动时间t,若不能,请说明理由 (3)运动过程中,点P和点O的距离可能是3、5cm吗?若能,求出运动时间t,若不能,请说 明理由. $0. 如图,在Rt△ABC中, C=90*,4C=6em,BC=8cm;点M从点B开始沿BC向 点C以lcm/s的速度运动,点N从点C开始沿C4向点A以2cm/s的速度运动,M.N同时出 发,各自到达终点后停止运动,在整个运动过程中,设它们的运动时间为s N # B M (1)小明认为:MN可以平分。ABC的周长,请判断他的说法是否正确,并说明理由; (2)小亮认为:MN可以平分。ABC的面积,请判断他的说法是否正确,并说明理由. 11. 如图,在。ABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C开始沿边C4运 动,速度为lem/s,与此同时,点E从点B开始沿边BC运动,速度为2cm/s,当点E到达点 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 C时,点D,E同时停止运动,连接AE,DE,设运动时间为ts,AADE的面积为Sem}. cm;CE= (1)用含:的代数式表示CD= cm; (3)在点D运动过程中,S.cn:的值可能为5吗?通过计算说明 12. 综合与实践 如图1,在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=4cm;动点P,O分别以2cm/s,1cm/s的速度 从点A,B同时出发,点P沿着AD→DC→CB运动到点B时停止,点O沿着B4运动到点 A时停止,设运动时间为ts ###{# 图1 图2 图 (1)当点P在AD上运动时,AP= Cm,AO= cm;(用含:的代数式表 示) (2)在(1)的条件下,当Sao=7cm2时,求:的值; (3)如图2、图3,点P沿着DC→CB运动到点B的过程中、当△PAO的面积为lcm2时,求 :的值.多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 一元二次方程动态几何问题 中等题 1.B 【分析】本题考查一元二次方程的应用一几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题 的关键。 运动x秒后，PB=6-x,BQ=2x,根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可. 【详解】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2,由题意得， 6-0-2x=8, 2 解得：=2,3=4， 故选：B. 2.D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用.设运动时间为t秒，则BP=1,CQ=21,求出 CP=5-1,再根据Sm=CP.CQ得出-+5=4，求解即可。 2 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得：BP=t,CQ=2t, .'CP=BC-BP =5-t, 5m0pcQ5-小2=-f+g=4, 解得：t=1或t=4, .7÷2=3.5, .0<t<3.5, ∴.t=4不符合题意， ∴.当△PCQ的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D. 命学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 3.1秒 【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm,根据三角形面积公式建立等量关系，列出 方程求解即可. 【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2,由题意可得： 4x（6-x）+2=10, 解得x=1,x=5(不合题意舍去). 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm",找到等 量关系是解决问题的关键， 4.点P出发3秒后，PA=5PC 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键： 由题意得PA=tcm,PB=(4-t)cm,在RtaPBC中，由勾股定理求得PC2;再由PA=√3PC, 得到关于t的一元二次方程，解方程即可. 【详解】解：由题意得PA=tcm,PB=(4-t)cm, 在RtePBC中，∠B=90°，BC=√2cm, 由勾股定理得PC2=BC2+PB2=2+(4-t)2=t2-8t+18; :PA=V5PC,即P42=3PC2, .f2=3t2-8t+18), 整理得：t2-121+27=0, 解得：5=3,2=9； .·4÷1=4(s),且9>4， .t=3; 即点P出发3秒后，PA=PC. 5.2s 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据aCPQ的面积为12cm列方程求解即可. 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 【详解】解：由题意，得PC=(8-t)cm,CQ=2tcm, .5.cnopc.gc-2-12, 2 t(8-t)=12, 整理，得t2-8t+12=0 解得5=2,5=6， 8÷1=8(s),6÷2=3(s),则t≤3， .1=2, .经过2s,△CPQ的面积为12cm2. 6、需要经过秒 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用.根据勾股定理列出方程是解题的关 键. 设经过S,P、Q之间的距离等于4W2cm,先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度， 进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过s,P、Q之间的距离等于4W2cm, 由己知可得。<号 .AP=1xx=x,BO=2x, ∴.BP=AB-AP=6-x, ..BP2+BO2=PO2, (6-x+(2x=42, 解得：号x=2不合超意。舍去。 r=2 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 答：需要经过秒， 7.C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等 知识，从函数图象中正确获取信息是解题关键.连接AE,先根据当x=0时，y=1可得 BA-BE=1,再确定当点P与点E重合时，y取得最大值AE,从而可得AE=5,然后设 BE=a(a>0),则BA=a+1,BC=2a,利用勾股定理求出a的值，由此即可得 【详解】解：如图，连接AE, D B E 由函数图象可知，当x=0时，y=1, .当点P在点B处时，y=PA-PE=BA-BE=1, .BA=BE+1, 由三角形的三边关系得：y=PA-PE≤AE(当点P与点E重合时，等号成立)， .y的最大值为AE, 由函数图象可知，y的最大值为5， .AE=5, ,矩形ABCD中，点E为BC的中点， .∠B=90°，BC=2BE, 设BE=a(a>0),则BA=a+1,BC=2a, 在Rt△4ABE中，AB2+BE2=AE2,即(a+1+a2=52, 解得a=3或a=-4<0(不符合题意，舍去)， .∴.BC=2×3=6, 故选：C. 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 困难题 8.(1)=-4r2+24(0<t<6),t=3 (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积 等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键。 (1)根据路程=速度×时间，可得BP、BQ的长，从而得出△PBQ的面积，可得答案； (2）由（1)得，列方程为2-2)x和=32，解-元二次方程即可，注意本题x的取值范 围 (3)根据勾股定理可列方程为：(12-2)+(4r}=122,解出x即可 【详解】（(1)解，s关于1的函数解折式为：S=PB-BQ=2-2)x=-4r+24: 所以t的取值范围是：0<t<6. 对于S=-4r2+24t,当t=3时，s有最大值； (2)设经过t秒，△PBQ的面积为32mm2. 列方程为2-2)x4=32 解得：5=2,12=4 答：设经过2秒或4秒，△PBQ的面积为32mm2. (3)设t秒后，PQ的长度等于12mm,列方程为：(12-2)2+(4)2=122， 解得5=0（舍去)，53=2.4， 答：出发2.4秒后，PQ的长度等于12m. 9.(1)4 2能， 169 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 3能，1s或7s 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性 质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键 (1)根据当BP=CQ时，四边形PBCQ为矩形，列出方程，求出解即可； (2)根据当BQ=DQ时，四边形PBQD为菱形，在Rt△BC中，根据勾股定理列出方程， 求出解即可； (3)先作出辅助线，表示PE,再根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】(1)解：，点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同. ∴.PA=CQ=tcm, ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=∠C=90°，BP∥CQ,AB=CD=8cm, ∴.则BP=DQ=(8-t)cm, 根据题意得， B ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=∠C=90°，BP∥CQ, ∴.当BP=CQ时，四边形PBCQ为矩形， 8-t=t, 解得t=4, 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 .t=4秒时，四边形PBCQ为矩形， 故答案为：4； (2)解：运动过程中，四边形PBQD可以为菱形， 连接BQ、PD, 点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同， .'PA=cO, .四边形ABCD为矩形， .AB∥CD,AB=CD .PB∥DO,PB=DQ, ∴.四边形PBQD为平行四边形， ∴.当BQ=DQ时，四边形PBQD为菱形 在Rt△BCQ中，CQ=tcm,DQ=(8-t)cm,BC=3cm ..co2+BC2=B02 即r+32=(8-t 解得一铝。 ÷运动时间为3s时，四边形PBQD为楚形。 16 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 (3)点P和点Q的距离可以是3W5cm, 过点Q作QE⊥AB于点E, D E B 则四边形EBCQ为矩形， ∴.CQ=BE=tcm,AP=tcm, .PE=AB-AP-BE =(8-2t)cm, 在Rt△PEQ中，有PE2+QE2=PQ2, 即(8-2)°+32=35. 解得1=1，t2=7. ,∴.当运动时间为1s或7s时，点P和点Q的距离是3√5cm, 10.(1说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1)根据动点M以1cm/s的速度移动动点N以2cm/s的速度移动，运动时间为ts, 则BM=tcm,CM=(8-t)cm,CN=2tcm,AN=AC-CN=(6-2r)cm,根据题意， 点N运动6÷2=3(s)停止运动，点M运动8÷1=8(s)停止运动，根据题意，MN平分△ABC 的周长，得到AB+BM+AN=CM+CN,构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定 说法正确，反之错误。 多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 （2)根据题意，Suc=C4c3=24em8aa-CMcv=4s-em),若0 平分△4BC的面积，得(8-)-×24，解方程解答即可。 【详解】(1)解：MN可以平分△ABC的周长说法错误，理由如下： .∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm, .4B=C42+CB2 =10cm: .动点M以lcm/s的速度移动动点N以2cm/s的速度移动运动时间为ts, .'BM=tcm,CM=(8-t)cm,CN=2tem,AN=AC-CN=(6-2t)cm, 根据题意，点N运动6÷2=3(s)停止运动，点M运动8+1=8(s)停止运动， 根据题意，N平分△ABC的周长， ∴.AB+BM+AN=CM+CN, .∴.10+1+6-2t=8-1+2t, 解得1=4， 大于了3秒. 故MN平分△ABC的周长的说法是错误的. (2)解：N平分△ABC的面积说法正确.理由如下： 根据题意，得3e=c4cB=24(em).Soa=cMcw=r(3-em)。 若N平分a4BC的面积，得(8-)=2x24, 解得1=2,52=6（舍去）. 故当t=2s时，N平分△ABC的面积， 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次 方程，熟练解方程是解题的关键 11.(1)t,(8-2t): 多学科同·子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 1 2)当CD=3cm时，S=。SLABC 8 (③)S△coE的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： (1)根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； (2)利用三角形的面积公式列方程求解即可； (3)利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】(1)解：：点D从点C开始沿C4A运动，速度为lcms, .∴.CD=tcm, .·BC=8cm,点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s, ∴.CE=(8-2t)cm, 故答案为：t,(8-21); (2)解：由题意可知，：的最大值为8=46)，即0≤1≤4， 2 '.AC=6cm,BC=8cm, 11 :.S=- 8 ×6x8=3cm2, 2 由题意可知，CD=t,BE=2t,CE=8-2t,AD=6-t, S=14DCE=号(6-)8-20=3， 解得：t=3s,t=7s(舍去)， ∴.当CD=3cm时，S=。S8ci P (3)解：S△cpE的值不可能为5：理由如下： 由题意可得， S.co=CD.CE-1(8-2)--+4