8.6.2直线与平面垂直第一课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直（第一课时 判定） 新课引入 “倾斜的” “竖直的” 与地面垂直 与地面不垂直 “一条直线不向平面的任何一面倾斜，则直线与平面垂直.” —— 克莱罗《几何基础》 新课引入 旗杆与底面 桥柱与桥面 直线与平面垂直该如何定义呢？ 日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面，大型桥梁的桥柱与桥面等，都给我们以直线与平面垂直的形象． 新知讲解—直线与平面垂直的定义 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆所在直线始终与影子所在直线垂直．也就是说，旗杆所在直线与地面上任意一条过点的直线垂直． 观察 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面影子．随着时间的变化， 影子的位置在不断的变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 那不过点的直线呢，与旗杆是否也垂直？ 旗杆所在直线与地面上任意一条不过点的直线垂直． 旗杆所在直线与地面上任意一条直线垂直． 新知讲解—直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作． 直线 l 叫做平面的垂线， 平面叫做直线 的垂面． 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足． 垂线 垂足 垂面 注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示． 很难利用定义证明线面垂直，能否找到充分条件判定直线与平面垂直？ 新知讲解—直线与平面垂直的判定 2、若直线与平面内的2条直线垂直，则直线垂直于平面. （ ） 3、若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面. （ ） 1)一条直线和平面内两条平行直线垂直，不能确保线面垂直； 2)一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 直线的条数和方向 判断：1、若直线与平面内的1条直线垂直，则直线垂直于平面. （ ） 新知讲解—直线与平面垂直的判定 2)一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 新知讲解—直线与平面垂直的判定 如图，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（，与桌面接触）. 观察 （1）折痕与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 新知讲解—直线与平面垂直的判定 如图，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（，与桌面接触）. 观察 （1）折痕与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 当折痕是上的高时 此时，直线与平面内的两条相交直线都垂直. 新知讲解—线面垂直的判定定理 线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． （1）图形语言 （2）符号语言 （3）作用 由线线垂直（两次） 得到线面垂直 （4）本质 判定线面垂直 l m α n P 五个条件 缺一不可 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？ 典例分析 例1.下列命题中，正确的序号是________. ①若直线与平面内的无数条直线垂直，则； ②若直线与平面内的一条直线垂直，则； ③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线； ④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 学以致用 训练1.(多选)下列说法，正确的是（ ） A.若直线垂直于，则直线垂直于内任一直线 B.若直线垂直于平面，则与平面内的直线可能相交、可能异面也可能平行 C.若，，，则 D.若，b⊥α，则 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的； 而D中，a可能在α内，所以D错误. 典例分析——证明线面垂直 例2.如图所示，所在平面外有一点，且，点为斜边的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. (1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS， ∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC. (2)∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又由(1)知SD⊥BD. 又∵ SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC. 学以致用——证明线面垂直 训练2.如图所示，在正方体中， （1）⊥平面； （2）若分别与平面、平面交于点，求证：是三等分点. 典例分析—证明线面垂直 例3.如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面. 符号语言：如图，已知，，求证： 学以致用—证明线面垂直 训练3.三棱锥中，，，为的中点， (1)求证：⊥平面； (2)求异面直线所成角. D B C A M O 典例分析—异面直线所成角的应用 例4.如图，在中，，平面，于点， 求证：平面. 典例分析—异面直线所成角的应用 例4.如图，在中，，平面，于点， 求证：平面. 新知讲解—直线与平面所成的角 垂线PO 斜线PA 斜线在底面的射影AO 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影. 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上. 思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（线面角）. 典例分析—线面角 例4.如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 学以致用—线面角 训练4.如图所示，在中，斜边，它在平面上的射影长为，，求与平面所成角的正弦值. 课堂小结 1.线面垂直的定义 2.线面垂直的判定定理 3.直线与平面所成的角 l m α n P $$