（从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一-2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一 答案解析 一、填空题 1．下列漂亮的花型图案是由基本的菱形摆成的。 如果我们要摆三朵花型图案，需要 个基本菱形，如果摆n个又需要 个基本菱形。 【答案】10 1＋3n 【解题思路】可以想象原来就有1个菱形，再每增加3个菱形就增加1朵花型图案，所以摆3朵花型图案需要1＋3×3＝10（个）菱形，摆n个花型图案就需要（1＋3n）个基本菱形。 【详细解答】据分析可知：摆3朵花型图案需要1＋3×3＝10（个）菱形，摆n个花型图案就需要（1＋3n）个基本菱形。 【考点点评】读懂题意，根据图形找出规律是解决此题的关键。 2．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。 （1）从1起，连续8个奇数的和是( )。 （2）从1起，连续n个奇数的和是( )。 【答案】64 n2 【解题思路】利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。 【详细解答】因为从1起，连续n个奇数的和是n2 所以（1）从1起，连续8个奇数的和是82＝64 （2）从1起，连续n个奇数的和是n2 【考点点评】此题主要考查了图形的变化规律，根据已知图形规律得出数字的变化规律是解题关键。 3．计算2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。 (1)观察表格，请把下面的等式补充完整。 ( )×( ) 序号 1 2 3 4 … 图形 … 小圆片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有156个小圆片，序号为n的图形共，有( )个小圆片。 【答案】(1)4 5 (2)12 n（n＋1） 【解题思路】通过观察，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详细解答】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）156＝12×13 2＋4＋6＋......＋2n＝n（n＋1） 若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有156个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 【考点点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 4．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( )个小三角形组成；第n个图形一共有( )个小三角形组成。 【答案】25 n2 【解题思路】观察图形可知，第一个图中有1个三角形，可以写成12；第二个图形有1＋3＝4（个）三角形，可以写成22；第三个图形有1＋3＋5＝9（个）三角形，可以写成32；第四个图形中有1＋3＋5＋7＝16（个）三角形，可以写成42，……，第n个图形有n2个三角形。 【详细解答】根据分析可知： 第一个图中有1个三角形，即12； 第二个图形有1＋3＝4个三角形，即22 第三个图形有1＋3＋5＝9个三角形，即32； …… 所以第n个图形有n2个三角形。 当n＝5时，图中有三角形：52＝25（个）。 【考点点评】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形与小三角形个数之间的关系是解本题的关键。 5．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，如图，可以将算式转化成：( )－( )＝( )；也可以将算式3＋6＋12＋24＋48＋96＋192转化成( )－( )＝( )。 【答案】1 384 3 381 【解题思路】第一个算式通过观察，发现从第二项起每个分数都是前一个分数的，因此可把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消，据此可知，＝，＝，…可知，＝；据此解答。 第二个算式通过观察可以发现每一项为前一项的两倍，3＋6＝6×2－3，3＋6＋12＝12×2－3，3＋6＋12＋24＝24×2－3…，可知3＋6＋12＋24＋48＋96＋192＝192×2－3，据此解答。 【详细解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ 3＋6＋12＋24＋48＋96＋192 ＝192×2－3 ＝384－3 ＝381 可以将算式转化成；也可以将算式3＋6＋12＋24＋48＋96＋192转化成384－3＝381。 【考点点评】本题主要考查了分数和整数的简便运算，掌握“转化”的思想和方法是解答本题的关键。 6．＝( )。 【答案】 【解题思路】把化为，化为，化为，化为，再运用加法结合律进行计算即可。 【详细解答】 ＝＋＋＋ ＝1＋－＋－＋－－ ＝1＋（－）＋（－）＋（－）－ ＝1－ ＝ 7．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。下图是小芳尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第四步中弧所在扇形的半径是( )厘米。按照这样的方法继续画下去，第( )步中弧所在扇形的半径是13厘米。 【答案】3 七 【解题思路】从图中可知，前五步中弧所在扇形的半径依次是1厘米、1厘米、2厘米、3厘米、5厘米；发现规律：从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径的和，据此规律解答。 【详细解答】第一步中弧所在扇形的半径是1厘米； 第二步中弧所在扇形的半径是1厘米； 第三步中弧所在扇形的半径是：1＋1＝2（厘米） 第四步中弧所在扇形的半径是：1＋2＝3（厘米） 第五步中弧所在扇形的半径是：2＋3＝5（厘米） …… 规律：从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径的和。 由此规律可知，弧所在扇形的半径依次是：1，1，2，3，5，8，13，21……。 第四步中弧所在扇形的半径是3厘米。按照这样的方法继续画下去，第七步中弧所在扇形的半径是13厘米。 【考点点评】本题关键是通过给出的前五步推出规律是弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径的和，再根据这个规律解答。 8．，这个算式的整数部分是( )。 【答案】6 【解题思路】分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算；根据式子中每个分数的特点，先把每个分数写成小数的形式，再利用凑整法将算式变为，最后的结果即可轻松得出答案。 【详细解答】 这个算式的整数部分是6。 【考点点评】本题考查了高斯取整的有关计算，解答此题的关键是运用凑整法即可。 9．观察下面各图，发现规律并填空。 ( )    ( )      ( ) 根据上面的规律，计算：( )。 【答案】 【解题思路】第一个式子用图形表示是一个正方形代表1，减去，就是减去1的一半也就是正方形面积的一半，再减去，也就是减去的一半，每次减去的新分数都正好是前一个分数的一半，那么最后剩下的结果就是最后一个分数表示的面积大小，依此观察，用数形结合的方式解决。通过以上式子，我们可以发现一个规律：每次减去一个分数，结果就是最后一个分数的值。因此，最终的答案就是最后一个分数的值。 【详细解答】由分析可知，每个算式的结果都是最后一个分数的值。 【考点点评】本题考查用数形结合的方式解决有规律的算式问题，关键要明白算式是如何转化为图形的来解决问题。 10．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。 (1)( )( )( ) (2)( )( )( ) 【答案】(1)100 10 10 (2)2500 50 50 【解题思路】根据题干中给出的算式可以得到规律是：差是2，首项是1的等差数列的和等于项数乘项数。 【详细解答】（1）根据等差数列中项数＝（末项＋1）÷2可得： （19＋1）÷2 ＝20÷2 ＝10 因此。 （2）根据等差数列中项数＝（末项＋1）÷2可得： （99＋1）÷2 ＝100÷2 ＝50 因此。 【考点点评】仔细观察给出的算式，找到规律是解决本题的关键。 二、选择题 11．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“”计算的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。根据分数的意义，用分数表示出各图形中每个阴影部分，再相加，即可得出结论。 【详细解答】如图： ＋＋； ＋＋＋； ＋＋； 阴影部分表示可以用“”计算的有2个。 故答案为：B 12．如图所示，涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18 【答案】C 【解题思路】观察图形可知，图中涂色部分的面积等于大直角三角形的面积减去左下角空白部分的面积；左下角空白部分的面积等于正方形面积减去半径是6厘米的圆的面积；根据三角形、正方形和圆的面积计算公式即可解题。 【详细解答】左下角空白部分的面积： 6×6－3.14×62÷4 ＝6×6－3.14×36÷4 ＝36－113.04÷4 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 涂色部分的面积： （6＋6）×6÷2－7.74 ＝12×6÷2－7.74 ＝72÷2－7.74 ＝36－7.74 ＝28.26（平方厘米） 所以，涂色部分的面积是28.26平方厘米。 故答案为：C 【考点点评】本题考查了用转化方法求涂色部分的面积，注意观察图形是由哪几个部分组成的。 13．下图中长方形草坪长20米，宽16米，被4条2米宽的小路分成了9块，草坪的面积是（    ）平方米。 A．320 B．192 C．252 【答案】B 【解题思路】由图可知，将小路平移，可得下图： 则实际草坪面积为图示右上角阴影部分，这部分是一个长方形，长20－4＝26（米），宽16－4＝12（米），代入面积公式计算即可。 【详细解答】（20－2×2）×（16－2×2） ＝（20－4）×（16－4） ＝16×12 ＝192（平方米） 故答案为：B 【考点点评】考查了巧用平移求面积的实际应用。此题有一定的难度，需要理解。 14．可以用（    ）简便计算。 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】算式是计算从1到25一共13个单数的和。 可以先从简单数据着手找规律：1＝1×1 1＋3＝4＝2×2 1＋3＋5＝9＝3×3 1＋3＋5＋7＝16＝4×4 …… 可以发现，连续n个奇数的和＝n2＝n×n；据此解答即可。 【详细解答】从1到25一共13个单数，由分析可得，＝13×13； 故答案为：B 【考点点评】解答此类问题要认真观察，根据数字特点进行分析，从而达到巧算的目的。 15．在甲组图形的四个图中，每个图是由四中简单图A、B、C、D（不同的线段或圆）中的某两个图形构成的，例如由A、B组成的图形记为A*B，在乙组图形的（a）（b）（c）（d）四个图中，表示“A*D”和“A*C"的是（    ）。 A．（a）和（b） B．（b）和（c） C．（c）和（d） D．（b）和（d） 【答案】D 【解题思路】根据图形发现规律：由甲组的A*B，B*C，B*D可知，B为较大的圆，A为竖线，C为横线，D为较小的圆，据此解答。 【详细解答】根据图意，由甲组的A* B， B*C， B* D可知，B为较大的圆，A为竖线，C为横线，D为较小的圆，所以： A* D为b， A* C为d，所以答案为： D。 【考点点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 16．再加上（    ）后，结果就是1。 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用1减去几个加数的和进行解答。1－＝，－＝，－＝……－＝，据此把1－（）改写为－即可解答。 【详细解答】1－（） ＝1－－－－－－－ ＝－ ＝ 故答案为：C 【考点点评】根据算式的规律，把复杂的算式转化成－是解题的关键。 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 【答案】48cm2 【解题思路】 把左边阴影部分移动中间空白部分，如图：，阴影部分的面积＝上底是6cm，下底是10cm，高是6cm的梯形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详细解答】（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 阴影部分面积是48cm2。 18．求下图中涂色部分的面积。 【答案】6.28平方厘米；8平方厘米 【解题思路】第一幅图，三角形内角和180°，3个涂色部分可以拼成一个半圆，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可； 第二幅图，通过对称，2个涂色部分可以拼成一个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详细解答】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 涂色部分的面积分别是6.28平方厘米、8平方厘米。 19．计算 提示：可利用“数形结合”的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。 图形 …… 算式 …… 【答案】12816 【解题思路】观察图形和算式，可以发现长方形的长等于这一列数的最后一个数和倒数第二个数相加的和，长方形的宽等于这一列数最后一个数，那么求这一列数的平方和就相当于求长方形的面积，而长方形面积＝（最后一个数＋倒数第二个数）×最后一个数，所以求这一列数的平方和根据此规律解答即可。 【详细解答】 ＝89×（89＋55） ＝89×144 ＝12816 【考点点评】本题重点考查数与形解决问题，把求这一列数的平方和转化为求长方形的面积是解答此题的关键。 20．计算时，可以这样考虑：，，，，所以：。 计算： 【答案】 【解题思路】由题意可知：＝1－＋－＋－＋－＝1－，由此可得规律：一个连加算式，第一个加数是，之后每个加数都是前一个加数的一半，这个算式的结果就是1减去最后一个加数所得的差。即的和等于1减去最后一个分数。据此规律计算即可。 【详细解答】 21．能简算的要简算。 ①            ②        ③ 【答案】①0；②；③ 【解题思路】①运用“带着符号搬家”的方法和减法的性质简算； ②根据减法的性质去掉括号，再从左往右依次计算； ③＋＝，＋＝，＋＝，＋＝…，据此把原式转化为，再运用加法结合律计算。 【详细解答】① ＝   ＝     ＝1－1 ＝0      ② ＝      ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ＝ 四、解答题 22．下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【答案】2.5平方厘米 【解题思路】观察可知，阴影部分右边的半圆的半径是0.5厘米，图形左边的圆的直径是1厘米，根据半径等于直径除以2，（厘米），可知右边的半圆与左边圆的一半是相等的，通过平移的方法，把右边的半圆平移到阴影部分的左边，则阴影部分的面积等于一个长是厘米，宽是1厘米的长方形的面积，根据，代入数据计算即可。 【详细解答】 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.5平方厘米。 23．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【解题思路】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【详细解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 24．下图中正方形的边长是2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分的面积。 【答案】9.42平方厘米 【解题思路】通过重新组合阴影部分得出阴影部分的面积就是3个圆的面积，根据题意，正方形的边长是2厘米，相当于圆的两个半径，即圆的半径就是1厘米，根据圆的面积＝得出一个圆的面积，再乘3即可。 【详细解答】3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 答：涂色部分的面积是9.42平方厘米。 25．（1）计算下面各题，并找到其中的规律。 （    ）         （    ） （    ）         （    ） （    ）         （    ） （    ）         （    ） 我发现：，（a为非0自然数）。 （2）利用以上规律简便计算。 【答案】（1）； ； ； ； ； （2） 【解题思路】（1）异分母分数加法的计算法则，先通分，然后按照同分母分数的加法进行计算。 根据异分母分数加法的计算法则算出各算式的得数，再从中找出规律。 （2）利用上一题的规律可知，，，，，据此把原式改写成，再去掉括号进行简算。 【详细解答】（1）                                   规律：两个分数的分子都是1，分母是大于2的相邻的两个整数，它们相加，和的分子等于两个分母之和，和的分母等于两个分母之积的分数； 两个分数的分子都是1，分母是大于2的相邻的两个整数，它们相减，差的分子等于1，差的分母等于两个分母之积的分数。 我发现：，，（a为非0自然数）。 （2） 26．“转化”是解决问题的策略之一，画图可以帮助我们找到转化方法：借助图1，可以将算式转化为（    ）－（    ）＝（    ）；还可以把不规则图形转化成规则图形，比如图2，可以把阴影部分转化成一个（    ），那么阴影部分的面积是（    ）平方厘米。（在图中用合适的方法表示出来） 【答案】1；；；梯形；12000 【解题思路】由图1可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝； 由图2可知，将左下角的扇形B通过旋转到A的位置，阴影部分就变成了一个直角梯形，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，代入数据解答即可。 【详细解答】（1） ＝1－ ＝ （2）由分析可知，可以把阴影部分转化成一个梯形 阴影部分面积： 200×（60＋60）÷2 ＝200×120÷2 ＝12000（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是12000平方厘米。 【考点点评】本题主要考查利用转化的策略解决问题，意在培养分析能力、推理能力。 27．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： 2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6 …… （1）根据表中的规律猜想，用n的式子表示s的公式为S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____。 （2）根据上题的规律计算①2＋4＋6＋8＋…＋28 ②104＋106＋108＋…＋200 【答案】（1）n（n＋1）；（2）①210；②7448。 【解题思路】（1）根据和等于加数的个数乘首尾两个加数和的一半列式计算即可得解； （2）①因为28＝2×14，即n＝14，根据S与n之间的关系：S＝n（n＋1），再把n＝14代入计算即可； ②结合上述规律，只需加上2＋4＋…＋102，按公式计算出结果再减去2＋4＋…＋102即可。 【详细解答】（1）根据和等于加数的个数乘首尾两个加数和的一半列式为： S＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（＋1）× ＝（n﹣1＋1）（n＋1） ＝n（n＋1）； （2）①因为28＝2×14，即n＝14，根据S与n之间的关系：S＝n（n＋1）， 所以2＋4＋6＋8＋…＋28 ＝14×（14＋1） ＝14×15 ＝210； ②104＋106＋108＋…＋200 ＝（2＋4＋6＋…＋198＋200）﹣（2＋4＋6＋…＋102） ＝100×101﹣51×52 ＝10100﹣2652 ＝7448。 【考点点评】本题主要考查了规律型问题：数字的变化，解题时注意根据所给的具体式子观察结果和数据的个数之间的关系；认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一 一、填空题 1．下列漂亮的花型图案是由基本的菱形摆成的。 如果我们要摆三朵花型图案，需要 个基本菱形，如果摆n个又需要 个基本菱形。 2．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。 （1）从1起，连续8个奇数的和是( )。 （2）从1起，连续n个奇数的和是( )。 3．计算2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。 (1)观察表格，请把下面的等式补充完整。 ( )×( ) 序号 1 2 3 4 … 图形 … 小圆片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有156个小圆片，序号为n的图形共，有( )个小圆片。 4．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( )个小三角形组成；第n个图形一共有( )个小三角形组成。 5．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，如图，可以将算式转化成：( )－( )＝( )；也可以将算式3＋6＋12＋24＋48＋96＋192转化成( )－( )＝( )。 6．＝( )。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。下图是小芳尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第四步中弧所在扇形的半径是( )厘米。按照这样的方法继续画下去，第( )步中弧所在扇形的半径是13厘米。 8．，这个算式的整数部分是( )。 9．观察下面各图，发现规律并填空。 ( )    ( )      ( ) 根据上面的规律，计算：( )。 10．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。 (1)( )( )( ) (2)( )( )( ) 二、选择题 11．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“”计算的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 12．如图所示，涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18 13．下图中长方形草坪长20米，宽16米，被4条2米宽的小路分成了9块，草坪的面积是（    ）平方米。 A．320 B．192 C．252 14．可以用（    ）简便计算。 A． B． C． D． 15．在甲组图形的四个图中，每个图是由四中简单图A、B、C、D（不同的线段或圆）中的某两个图形构成的，例如由A、B组成的图形记为A*B，在乙组图形的（a）（b）（c）（d）四个图中，表示“A*D”和“A*C"的是（    ）。 A．（a）和（b） B．（b）和（c） C．（c）和（d） D．（b）和（d） 16．再加上（    ）后，结果就是1。 A． B． C． D． 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 18．求下图中涂色部分的面积。 19．计算 提示：可利用“数形结合”的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。 图形 …… 算式 …… 20．计算时，可以这样考虑：，，，，所以：。 计算： 21．能简算的要简算。 ①            ②        ③ 四、解答题 22．下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 23．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 24．下图中正方形的边长是2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分的面积。 25．（1）计算下面各题，并找到其中的规律。 （    ）         （    ） （    ）         （    ） （    ）         （    ） （    ）         （    ） 我发现：，（a为非0自然数）。 （2）利用以上规律简便计算。 26．“转化”是解决问题的策略之一，画图可以帮助我们找到转化方法：借助图1，可以将算式转化为（    ）－（    ）＝（    ）；还可以把不规则图形转化成规则图形，比如图2，可以把阴影部分转化成一个（    ），那么阴影部分的面积是（    ）平方厘米。（在图中用合适的方法表示出来） 27．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： 2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6 …… （1）根据表中的规律猜想，用n的式子表示s的公式为S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____。 （2）根据上题的规律计算①2＋4＋6＋8＋…＋28 ②104＋106＋108＋…＋200 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 8 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一 一、填空题 1．下列漂亮的花型图案是由基本的菱形摆成的。 如果我们要摆三朵花型图案，需要 个基本菱形，如果摆 n个又需要 个基本菱 形。 2．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。 （1）从 1起，连续 8个奇数的和是( )。 （2）从 1起，连续 n个奇数的和是( )。 3．计算 2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数 形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。 (1)观察表格，请把下面的等式补充完整。 2 1 2  2 4 2 3   2 4 6 3 4    2 4 6 8    ( )×( ) 序号 1 2 3 4 … 图形 … 小圆片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … 2 / 8 (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有 156 个小圆片，序号为 n的图形共， 有( )个小圆片。 4．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( ) 个小三角形组成；第 n个图形一共有( )个小三角形组成。 5．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，如图，可以 将算式 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       转化成：( )－( )＝( )；也可以将算 式 3＋6＋12＋24＋48＋96＋192 转化成( )－( )＝( )。 6． 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5        ＝( )。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是 90°的弧组成的。下 图是小芳尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是 1厘米，第四步中弧所在扇形的半径 是( )厘米。按照这样的方法继续画下去，第( )步中弧所在扇形的半径是 13 厘米。 8． 9 99 999 9999999 10 100 1000 10000000 ＋ ＋ ＋ ＋ ，这个算式的整数部分是( )。 9．观察下面各图，发现规律并填空。 3 / 8 1 11 2 4    ( ) 1 1 11 2 4 8     ( ) 1 1 1 11 2 4 8 16      ( ) 根据上面的规律，计算： 1 1 1 1 1 11 2 4 8 16 32 64       ( )。 10．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形 的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下 面的算式。 1 3 4 2 2    1 3 5 9 3 3     1 3 5 7 16 4 4      1 3 5 7 9 25 5 5       (1)1 3 5 7 9 19      … ( )( )( ) (2)1 3 5 7 9 99      ( )( )( ) 二、选择题 11．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“ 1 1 1 2 4 8   ”计算的有（ ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 12．如图所示，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18 13．下图中长方形草坪长 20 米，宽 16 米，被 4条 2米宽的小路分成了 9块，草坪的面积是（ ） 平方米。 4 / 8 A．320 B．192 C．252 14．1 3 5 7 9 11 23 25        可以用（ ）简便计算。 A．12 12 B．13 13 C．14 14 D．15 15 15．在甲组图形的四个图中，每个图是由四中简单图 A、B、C、D（不同的线段或圆）中的某 两个图形构成的，例如由 A、B组成的图形记为 A*B，在乙组图形的（a）（b）（c）（d）四个图 中，表示“A*D”和“A*C"的是（ ）。 A．（a）和（b） B．（b）和（c） C．（c）和（d） D．（b）和（d） 16． 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       再加上（ ）后，结果就是 1。 A． 1 32 B． 1 64 C． 1 128 D． 1 256 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 18．求下图中涂色部分的面积。 5 / 8 19．计算 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89          提示：可利用“数形结合”的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。 图 形 …… 算 式 2 21 1 2 2 21 1 2  2 2 2 21 1 2 3   2 2 2 2 21 1 2 3 5    …… 20．计算 1 1 1 1 2 4 8 16    时，可以这样考虑： 1 11 2 2   ， 1 1 1 4 2 4   ， 1 1 1 8 4 8   ， 1 1 1 16 8 16   ，所以： 1 1 1 1 2 4 8 16     1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8 8 16                               11 16   15 16。 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024           21．能简算的要简算。 ① 5 3 3 2 8 5 8 5    ② 8 4 1 9 9 3       ③ 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     6 / 8 四、解答题 22．下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取 3） 23．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场 地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为 2米/秒，如沿赛道跑 一周需要多长时间？ 24．下图中正方形的边长是 2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分 的面积。 7 / 8 25．（1）计算下面各题，并找到其中的规律。 1 1 2 3  （ ） 1 1 3 4  （ ） 1 1 4 5  （ ） 1 1 5 6  （ ） 1 1 2 3  （ ） 1 1 3 4  （ ） 1 1 4 5  （ ） 1 1 5 6  （ ） 我发现：        1 1 a a 1 ，        1 1 a a 1 （a为非 0自然数）。 （2）利用以上规律简便计算。 1 1 1 1 6 12 20 30 + + + 26．“转化”是解决问题的策略之一，画图可以帮助我们找到转化方法：借助图 1，可以将算 式 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       转化为（ ）－（ ）＝（ ）；还可以把不规则图形转化成规 则图形，比如图 2，可以把阴影部分转化成一个（ ），那么阴影部分的面积是（ ）平方厘 米。（在图中用合适的方法表示出来） 8 / 8 27．从 2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： 2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6 …… （1）根据表中的规律猜想，用 n的式子表示 s的公式为 S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____。 （2）根据上题的规律计算①2＋4＋6＋8＋…＋28 ②104＋106＋108＋…＋200 1 / 21 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一 答案解析 一、填空题 1．下列漂亮的花型图案是由基本的菱形摆成的。 如果我们要摆三朵花型图案，需要 个基本菱形，如果摆 n个又需要 个基本菱 形。 【答案】10 1＋3n 【解题思路】可以想象原来就有 1个菱形，再每增加 3个菱形就增加 1朵花型图案，所以摆 3 朵花型图案需要 1＋3×3＝10（个）菱形，摆 n个花型图案就需要（1＋3n）个基本菱形。 【详细解答】据分析可知：摆 3朵花型图案需要 1＋3×3＝10（个）菱形，摆 n个花型图案就 需要（1＋3n）个基本菱形。 【考点点评】读懂题意，根据图形找出规律是解决此题的关键。 2．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。 （1）从 1起，连续 8个奇数的和是( )。 （2）从 1起，连续 n个奇数的和是( )。 【答案】64 n2 【解题思路】利用第 1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从 1开始连续奇数的和 等于数的个数的平方，由此写出规律即可。 【详细解答】因为从 1起，连续 n个奇数的和是 n2 所以（1）从 1起，连续 8个奇数的和是 82＝64 （2）从 1起，连续 n个奇数的和是 n2 2 / 21 【考点点评】此题主要考查了图形的变化规律，根据已知图形规律得出数字的变化规律是解题 关键。 3．计算 2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数 形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。 (1)观察表格，请把下面的等式补充完整。 2 1 2  2 4 2 3   2 4 6 3 4    2 4 6 8    ( )×( ) 序号 1 2 3 4 … 图形 … 小圆片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有 156 个小圆片，序号为 n的图形共， 有( )个小圆片。 【答案】(1)4 5 (2)12 n（n＋1） 【解题思路】通过观察，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数 加 1的积，据此解答。 【详细解答】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）156＝12×13 2＋4＋6＋......＋2n＝n（n＋1） 若按此规律继续摆，则序号为 12 的图形共有 156 个小圆片，序号为 n的图形，共有 n（n＋1） 个小圆片。 3 / 21 【考点点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 4．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( ) 个小三角形组成；第 n个图形一共有( )个小三角形组成。 【答案】25 n2 【解题思路】观察图形可知，第一个图中有 1个三角形，可以写成 12；第二个图形有 1＋3＝4 （个）三角形，可以写成 22；第三个图形有 1＋3＋5＝9（个）三角形，可以写成 32；第四个 图形中有 1＋3＋5＋7＝16（个）三角形，可以写成 42，……，第 n个图形有 n2个三角形。 【详细解答】根据分析可知： 第一个图中有 1个三角形，即 12； 第二个图形有 1＋3＝4个三角形，即 22 第三个图形有 1＋3＋5＝9个三角形，即 32； …… 所以第 n个图形有 n2个三角形。 当 n＝5时，图中有三角形：52＝25（个）。 【考点点评】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形与小三角形个数之间的关系是解本题 的关键。 5．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，如图，可以 将算式 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       转化成：( )－( )＝( )；也可以将算 式 3＋6＋12＋24＋48＋96＋192 转化成( )－( )＝( )。 【答案】1 1 128 127 128 384 3 381 【解题思路】第一个算式通过观察，发现从第二项起每个分数都是前一个分数的 1 2 ，因此可把 4 / 21 每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消，据此可知， 1 1 2 4  ＝1 1 4 － ， 1 1 1 2 4 8   ＝ 11 8 － ，…可知， 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ＝ 11 128 － ；据此解答。 第二个算式通过观察可以发现每一项为前一项的两倍，3＋6＝6×2－3，3＋6＋12＝12×2－3， 3＋6＋12＋24＝24×2－3…，可知 3＋6＋12＋24＋48＋96＋192＝192×2－3，据此解答。 【详细解答】 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 128                                               － － － － － － － ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 128 － － － － － － －      ＝ 11 128 － ＝ 127 128 3＋6＋12＋24＋48＋96＋192 ＝192×2－3 ＝384－3 ＝381 可以将算式 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       转化成 1 1271 128 128 － ＝ ；也可以将算式 3＋6＋12＋24＋48＋ 96＋192 转化成 384－3＝381。 【考点点评】本题主要考查了分数和整数的简便运算，掌握“转化”的思想和方法是解答本题 的关键。 6． 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5        ＝( )。 【答案】 4 5 【解题思路】把 1 1 2 化为 11 2  ， 1 2 3 化为 1 1 2 3  ， 1 3 4 化为 1 1 3 4  ， 1 4 5 化为 1 1 4 5  ，再运用加法结 合律进行计算即可。 【详细解答】 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5        ＝ 11 2  ＋ 1 1 2 3  ＋ 1 1 3 4  ＋ 1 1 4 5  ＝1＋ 1 2 － 1 2 ＋ 1 3－ 1 3＋ 1 4－ 1 4－ 1 5 5 / 21 ＝1＋（ 1 2 － 1 2 ）＋（ 1 3－ 1 3）＋（ 1 4－ 1 4）－ 1 5 ＝1－ 1 5 ＝ 4 5 7．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是 90°的弧组成的。下 图是小芳尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是 1厘米，第四步中弧所在扇形的半径 是( )厘米。按照这样的方法继续画下去，第( )步中弧所在扇形的半径是 13 厘米。 【答案】3 七 【解题思路】从图中可知，前五步中弧所在扇形的半径依次是 1厘米、1厘米、2厘米、3厘 米、5厘米；发现规律：从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径 的和，据此规律解答。 【详细解答】第一步中弧所在扇形的半径是 1厘米； 第二步中弧所在扇形的半径是 1厘米； 第三步中弧所在扇形的半径是：1＋1＝2（厘米） 第四步中弧所在扇形的半径是：1＋2＝3（厘米） 第五步中弧所在扇形的半径是：2＋3＝5（厘米） …… 规律：从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径的和。 由此规律可知，弧所在扇形的半径依次是：1，1，2，3，5，8，13，21……。 第四步中弧所在扇形的半径是 3厘米。按照这样的方法继续画下去，第七步中弧所在扇形的半 径是 13 厘米。 【考点点评】本题关键是通过给出的前五步推出规律是弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所 在扇形的半径的和，再根据这个规律解答。 6 / 21 8． 9 99 999 9999999 10 100 1000 10000000 ＋ ＋ ＋ ＋ ，这个算式的整数部分是( )。 【答案】6 【解题思路】分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算；根据式 子中每个分数的特点，先把每个分数写成小数的形式，再利用凑整法将算式变为        1 0.1 1 0.01 1 0.001 1 0.0000001        ，最后的结果即可轻松得出答案。 【详细解答】 9 99 999 9999999 10 100 1000 10000000    0.9 0.99 0.999 0.9999999           1 0 1 1 0 01 1 0 001 1 0 0000001. . . .         1 0 1 1 0 01 1 0 001 1 0 0000001. . . .            1 1 1 1 1 1 1 0.1 0.01 0.001 0.0000001           7 0.1111111  6.8888889 这个算式的整数部分是 6。 【考点点评】本题考查了高斯取整的有关计算，解答此题的关键是运用凑整法即可。 9．观察下面各图，发现规律并填空。 1 11 2 4    ( ) 1 1 11 2 4 8     ( ) 1 1 1 11 2 4 8 16      ( ) 根据上面的规律，计算： 1 1 1 1 1 11 2 4 8 16 32 64       ( )。 【答案】 1 4 1 8 1 16 1 64 【解题思路】第一个式子用图形表示是一个正方形代表 1，减去 1 2 ，就是减去 1的一半也就是 正方形面积的一半，再减去 1 4，也就是减去 1 2 的一半，每次减去的新分数都正好是前一个分数 的一半，那么最后剩下的结果就是最后一个分数表示的面积大小，依此观察，用数形结合的方 式解决。通过以上式子，我们可以发现一个规律：每次减去一个分数，结果就是最后一个分数 的值。因此，最终的答案就是最后一个分数的值。 7 / 21 【详细解答】由分析可知，每个算式的结果都是最后一个分数的值。 1 11 2 4    1 4 1 1 11 2 4 8     1 8 1 1 1 11 2 4 8 16      1 16 1 1 1 1 1 11 2 4 8 16 32 64        1 64 【考点点评】本题考查用数形结合的方式解决有规律的算式问题，关键要明白算式是如何转化 为图形的来解决问题。 10．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形 的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下 面的算式。 1 3 4 2 2    1 3 5 9 3 3     1 3 5 7 16 4 4      1 3 5 7 9 25 5 5       (1)1 3 5 7 9 19      … ( )( )( ) (2)1 3 5 7 9 99      ( )( )( ) 【答案】(1)100 10 10 (2)2500 50 50 【解题思路】根据题干中给出的算式可以得到规律是：差是 2，首项是 1的等差数列的和等于 项数乘项数。 【详细解答】（1）根据等差数列中项数＝（末项＋1）÷2可得： （19＋1）÷2 ＝20÷2 ＝10 因此1 3 5 7 9 19 100 10 10        … 。 （2）根据等差数列中项数＝（末项＋1）÷2可得： 8 / 21 （99＋1）÷2 ＝100÷2 ＝50 因此1 3 5 7 9 99 2500 50 50        。 【考点点评】仔细观察给出的算式，找到规律是解决本题的关键。 二、选择题 11．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“ 1 1 1 2 4 8   ”计算的有（ ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分 数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。根据分数的意义，用分数表示出各图形 中每个阴影部分，再相加，即可得出结论。 【详细解答】如图： 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8； 1 2 ＋ 1 4＋ 1 8＋ 1 16； 1 2 ＋ 1 4＋ 1 8； 阴影部分表示可以用“ 1 1 1 2 4 8   ”计算的有 2个。 故答案为：B 12．如图所示，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 9 / 21 A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18 【答案】C 【解题思路】观察图形可知，图中涂色部分的面积等于大直角三角形的面积减去左下角空白部 分的面积；左下角空白部分的面积等于正方形面积减去半径是 6厘米的 1 4圆的面积；根据三角 形、正方形和圆的面积计算公式即可解题。 【详细解答】左下角空白部分的面积： 6×6－3.14×62÷4 ＝6×6－3.14×36÷4 ＝36－113.04÷4 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 涂色部分的面积： （6＋6）×6÷2－7.74 ＝12×6÷2－7.74 ＝72÷2－7.74 ＝36－7.74 ＝28.26（平方厘米） 所以，涂色部分的面积是 28.26 平方厘米。 故答案为：C 【考点点评】本题考查了用转化方法求涂色部分的面积，注意观察图形是由哪几个部分组成的。 13．下图中长方形草坪长 20 米，宽 16 米，被 4条 2米宽的小路分成了 9块，草坪的面积是（ ） 平方米。 10 / 21 A．320 B．192 C．252 【答案】B 【解题思路】由图可知，将小路平移，可得下图： 则实际草坪面积为图示右上角阴影部分，这部分是一个长方形，长 20－4＝26（米），宽 16－4 ＝12（米），代入面积公式计算即可。 【详细解答】（20－2×2）×（16－2×2） ＝（20－4）×（16－4） ＝16×12 ＝192（平方米） 故答案为：B 【考点点评】考查了巧用平移求面积的实际应用。此题有一定的难度，需要理解。 14．1 3 5 7 9 11 23 25        可以用（ ）简便计算。 A．12 12 B．13 13 C．14 14 D．15 15 【答案】B 【解题思路】算式是计算从 1到 25 一共 13 个单数的和。 可以先从简单数据着手找规律：1＝1×1 1＋3＝4＝2×2 1＋3＋5＝9＝3×3 1＋3＋5＋7＝16＝4×4 …… 可以发现，连续 n个奇数的和＝n2＝n×n；据此解答即可。 【详细解答】从 1到 25 一共 13 个单数，由分析可得，1 3 5 7 9 11 23 25        ＝13×13； 故答案为：B 11 / 21 【考点点评】解答此类问题要认真观察，根据数字特点进行分析，从而达到巧算的目的。 15．在甲组图形的四个图中，每个图是由四中简单图 A、B、C、D（不同的线段或圆）中的某 两个图形构成的，例如由 A、B组成的图形记为 A*B，在乙组图形的（a）（b）（c）（d）四个图 中，表示“A*D”和“A*C"的是（ ）。 A．（a）和（b） B．（b）和（c） C．（c）和（d） D．（b）和（d） 【答案】D 【解题思路】根据图形发现规律：由甲组的 A*B，B*C，B*D 可知，B为较大的圆，A为竖线，C 为横线，D为较小的圆，据此解答。 【详细解答】根据图意，由甲组的 A* B， B*C， B* D 可知，B为较大的圆，A为竖线，C为 横线，D为较小的圆，所以： A* D 为 b， A* C 为 d，所以答案为： D。 【考点点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 16． 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       再加上（ ）后，结果就是 1。 A． 1 32 B． 1 64 C． 1 128 D． 1 256 【答案】C 【解题思路】用 1减去几个加数的和进行解答。1－ 1 2 ＝ 1 2 ， 1 2 － 1 4＝ 1 4， 1 4－ 1 8＝ 1 8…… 1 64 － 1 128 ＝ 1 128，据此把 1－（ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ）改写为 1 64 － 1 128即可解答。 【详细解答】1－（ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ） ＝1－ 1 2 － 1 4－ 1 8－ 1 16－ 1 32 － 1 64 － 1 128 ＝ 1 64 － 1 128 ＝ 1 128 故答案为：C 12 / 21 【考点点评】根据算式的规律，把复杂的算式转化成 1 64 － 1 128是解题的关键。 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 【答案】48cm2 【解题思路】 把左边阴影部分移动中间空白部分，如图： ，阴影部分的面积 ＝上底是 6cm，下底是 10cm，高是 6cm 的梯形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）× 高÷2，代入数据，即可解答。 【详细解答】（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 阴影部分面积是 48cm2。 18．求下图中涂色部分的面积。 【答案】6.28 平方厘米；8平方厘米 【解题思路】第一幅图，三角形内角和 180°，3个涂色部分可以拼成一个半圆，根据半圆面 积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可； 13 / 21 第二幅图，通过对称，2个涂色部分可以拼成一个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，列 式计算即可。 【详细解答】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 涂色部分的面积分别是 6.28 平方厘米、8平方厘米。 19．计算 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89          提示：可利用“数形结合”的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。 图 形 …… 算 式 2 21 1 2 2 21 1 2  2 2 2 21 1 2 3   2 2 2 2 21 1 2 3 5    …… 【答案】12816 【解题思路】观察图形和算式，可以发现长方形的长等于这一列数的最后一个数和倒数第二个 数相加的和，长方形的宽等于这一列数最后一个数，那么求这一列数的平方和就相当于求长方 形的面积，而长方形面积＝（最后一个数＋倒数第二个数）×最后一个数，所以求这一列数的 平方和根据此规律解答即可。 【详细解答】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89          ＝89×（89＋55） ＝89×144 ＝12816 【考点点评】本题重点考查数与形解决问题，把求这一列数的平方和转化为求长方形的面积是 解答此题的关键。 20．计算 1 1 1 1 2 4 8 16    时，可以这样考虑： 1 11 2 2   ， 1 1 1 4 2 4   ， 1 1 1 8 4 8   ， 1 1 1 16 8 16   ，所以： 14 / 21 1 1 1 1 2 4 8 16     1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8 8 16                               11 16   15 16。 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024           【答案】 102355 1024 【解题思路】由题意可知： 1 1 1 1 2 4 8 16    ＝ 1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8 8 16                               1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 4＋ 1 4 － 1 8＋ 1 8－ 1 16＝1－ 1 16，由此可得规律：一个连加算式，第一个加数是 1 2 ，之后每个加数都是前 一个加数的一半，这个算式的结果就是 1减去最后一个加数所得的差。即 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     …的 和等于 1减去最后一个分数。据此规律计算即可。 【详细解答】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024            1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024                         11 10 5 1 1024          （ ） 102311 5 1024    102355 1024   102355 1024  21．能简算的要简算。 ① 5 3 3 2 8 5 8 5    ② 8 4 1 9 9 3       ③ 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     【答案】①0；② 1 9 ；③ 31 32 【解题思路】①运用“带着符号搬家”的方法和减法的性质简算； ②根据减法的性质去掉括号，再从左往右依次计算； ③ 1 32 ＋ 1 32 ＝ 1 16， 1 16＋ 1 16＝ 1 8， 1 8＋ 1 8＝ 1 4， 1 4＋ 1 4＝ 1 2 …，据此把原式转化为 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 32       ，再运用加法结合律计算。 【详细解答】① 5 3 3 2 8 5 8 5    ＝ 5 3 3 2 8 8 5 5    ＝ 5 3 3 2 8 8 5 5              15 / 21 ＝1－1 ＝0 ② 8 4 1 9 9 3       ＝ 8 4 1 9 9 3   ＝ 4 1 9 3  ＝ 1 9 ③ 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     ＝ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 32       ＝ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 32          ＝ 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 16 32     ＝ 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 16 32          ＝ 1 1 1 1 1 2 4 8 8 32    ＝ 1 1 1 1 1 2 4 8 8 32         ＝ 1 1 1 1 2 4 4 32   ＝ 1 1 1 1 2 4 4 32        ＝ 1 1 1 2 2 32   ＝1－ 1 32 ＝ 31 32 四、解答题 22．下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取 3） 【答案】2.5 平方厘米 16 / 21 【解题思路】观察可知，阴影部分右边的半圆的半径是 0.5 厘米，图形左边的圆的直径是 1 厘米，根据半径等于直径除以 2，1 2 0.5  （厘米），可知右边的半圆与左边圆的一半是相等的， 通过平移的方法，把右边的半圆平移到阴影部分的左边，则阴影部分的面积等于一个长是  2 0.5 厘米，宽是 1厘米的长方形的面积，根据 长方形的面积＝长 宽，代入数据计算即可。 【详细解答】  2 0.5 1  2.5 1  2.5 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是 2.5 平方厘米。 23．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场 地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为 2米/秒，如沿赛道跑 一周需要多长时间？ 【答案】39.25 平方米；15.7 秒 【解题思路】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的 空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以 10 米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆 的面积，再除以 2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以 10 米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两 条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度， 再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以 2， 即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【详细解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 17 / 21 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备 39.25 平方米草皮；沿赛道跑一周需要 15.7 秒。 24．下图中正方形的边长是 2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分 的面积。 【答案】9.42 平方厘米 【解题思路】通过重新组合阴影部分得出阴影部分的面积就是 3个圆的面积，根据题意，正方 形的边长是 2厘米，相当于圆的两个半径，即圆的半径就是 1厘米，根据圆的面积＝ 2r 得出 一个圆的面积，再乘 3即可。 【详细解答】3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 答：涂色部分的面积是 9.42 平方厘米。 25．（1）计算下面各题，并找到其中的规律。 1 1 2 3  （ ） 1 1 3 4  （ ） 1 1 4 5  （ ） 1 1 5 6  （ ） 1 1 2 3  （ ） 1 1 3 4  （ ） 1 1 4 5  （ ） 1 1 5 6  （ ） 我发现：        1 1 a a 1 ，        1 1 a a 1 （a为非 0自然数）。 （2）利用以上规律简便计算。 1 1 1 1 6 12 20 30 + + + 【答案】（1） 5 6 ； 7 12 18 / 21 9 20； 11 30 1 6 ； 1 12 1 20 ； 1 30 2a 1 a a  （ 1） ； 1 a a （ 1） （2） 1 3 【解题思路】（1）异分母分数加法的计算法则，先通分，然后按照同分母分数的加法进行计算。 根据异分母分数加法的计算法则算出各算式的得数，再从中找出规律。 （2）利用上一题的规律可知， 1 1 1 1 6 2 3 2 3     ， 1 1 1 1 12 3 4 3 4     ， 1 1 1 1 20 4 5 4 5     ， 1 1 1 1 30 5 6 5 6     ， 据此把原式改写成 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6       （ ）（ ）（ ）（ ），再去掉括号进行简算。 【详细解答】（1） 1 1 3 2 5 2 3 6 6 6     1 1 4 3 7 3 4 12 12 12     1 1 5 4 4 5 20 20 9 20     1 1 6 5 11 5 6 30 30 30     1 1 3 2 1 2 3 6 6 6     1 1 4 3 1 3 4 12 12 12     1 1 5 4 1 4 5 20 20 20     1 1 6 5 1 5 6 30 30 30     规律：两个分数的分子都是 1，分母是大于 2的相邻的两个整数，它们相加，和的分子等于两 个分母之和，和的分母等于两个分母之积的分数； 两个分数的分子都是 1，分母是大于 2的相邻的两个整数，它们相减，差的分子等于 1，差的 分母等于两个分母之积的分数。 我发现：     1 1 2a 1 a a 1 a（a+1） ，    1 1 1 a a 1 a（a+1） ，（a为非 0自然数）。 （2） 1 1 1 1 6 12 20 30 + + + 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6         1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6        （ ）（ ）（ ）（ ） 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6         1 1 2 6   19 / 21 3 1 6 6   1 3  26．“转化”是解决问题的策略之一，画图可以帮助我们找到转化方法：借助图 1，可以将算 式 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       转化为（ ）－（ ）＝（ ）；还可以把不规则图形转化成规 则图形，比如图 2，可以把阴影部分转化成一个（ ），那么阴影部分的面积是（ ）平方厘 米。（在图中用合适的方法表示出来） 【答案】1； 1 128； 127 128 ；梯形；12000 【解题思路】由图 1可知，把正方形看成一个边长是 1的正方形，那么先平均分成两份，那么 另外一份占 1 2 ，再把第一份平均分成两份，其中一份占 1 4，再把 1 4 分为两份，其中一份是 1 8， 依次类推，可分到 1 128份，所以最终可得到： 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ，即 1－ 1 128＝ 127 128 ； 由图 2可知，将左下角的扇形 B通过旋转到 A的位置，阴影部分就变成了一个直角梯形，根据 梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，代入数据解答即可。 【详细解答】（1） 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128       ＝1－ 1 128 ＝ 127 128 （2）由分析可知，可以把阴影部分转化成一个梯形 阴影部分面积： 200×（60＋60）÷2 20 / 21 ＝200×120÷2 ＝12000（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是 12000 平方厘米。 【考点点评】本题主要考查利用转化的策略解决问题，意在培养分析能力、推理能力。 27．从 2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： 2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6 …… （1）根据表中的规律猜想，用 n的式子表示 s的公式为 S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____。 （2）根据上题的规律计算①2＋4＋6＋8＋…＋28 ②104＋106＋108＋…＋200 【答案】（1）n（n＋1）；（2）①210；②7448。 【解题思路】（1）根据和等于加数的个数乘首尾两个加数和的一半列式计算即可得解； （2）①因为 28＝2×14，即 n＝14，根据 S与 n之间的关系：S＝n（n＋1），再把 n＝14 代入 计算即可； ②结合上述规律，只需加上 2＋4＋…＋102，按公式计算出结果再减去 2＋4＋…＋102 即可。 【详细解答】（1）根据和等于加数的个数乘首尾两个加数和的一半列式为： S＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（ 2 2 2 n  ＋1）× 2 2 2 n ＝（n﹣1＋1）（n＋1） ＝n（n＋1）； （2）①因为 28＝2×14，即 n＝14，根据 S与 n之间的关系：S＝n（n＋1）， 所以 2＋4＋6＋8＋…＋28 ＝14×（14＋1） ＝14×15 ＝210； 21 / 21 ②104＋106＋108＋…＋200 ＝（2＋4＋6＋…＋198＋200）﹣（2＋4＋6＋…＋102） ＝100×101﹣51×52 ＝10100﹣2652 ＝7448。 【考点点评】本题主要考查了规律型问题：数字的变化，解题时注意根据所给的具体式子观察 结果和数据的个数之间的关系；认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法。 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 解决问题的策略奥数思维训练一 参考答案 1．10 1＋3n 2．64 n2 3．(1)4 5(2)12 n（n＋1） 4．25 n2 5．1 384 3 381 6． 7．3 七 8．6 9． 10．(1)100 10 10(2)2500 50 50 11．B 12．C 13．B 14．B 15．D 16．C 17．（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 阴影部分面积是48cm2。 18．3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 涂色部分的面积分别是6.28平方厘米、8平方厘米。 19． ＝89×（89＋55） ＝89×144 ＝12816 20． 21．① ＝   ＝     ＝1－1 ＝0      ② ＝      ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ＝ 22． （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.5平方厘米。 23．（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 24．3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 答：涂色部分的面积是9.42平方厘米。 25．（1）                                   规律：两个分数的分子都是1，分母是大于2的相邻的两个整数，它们相加，和的分子等于两个分母之和，和的分母等于两个分母之积的分数； 两个分数的分子都是1，分母是大于2的相邻的两个整数，它们相减，差的分子等于1，差的分母等于两个分母之积的分数。 我发现：，，（a为非0自然数）。 （2） 26．（1） ＝1－ ＝ （2）可以把阴影部分转化成一个梯形 阴影部分面积： 200×（60＋60）÷2 ＝200×120÷2 ＝12000（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是12000平方厘米。 27．（1）根据和等于加数的个数乘首尾两个加数和的一半列式为： S＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（＋1）× ＝（n﹣1＋1）（n＋1） ＝n（n＋1）； （2）①因为28＝2×14，即n＝14，根据S与n之间的关系：S＝n（n＋1）， 所以2＋4＋6＋8＋…＋28 ＝14×（14＋1） ＝14×15 ＝210； ②104＋106＋108＋…＋200 ＝（2＋4＋6＋…＋198＋200）﹣（2＋4＋6＋…＋102） ＝100×101﹣51×52 ＝10100﹣2652 ＝7448。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$