专题一 随机事件与概率-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

第十章 概率 专题一 随机事件与概率 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.以下事件是随机事件的是 A.下雨屋顶湿 B.秋后柳叶黄 C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大 2.有两个事件，事件A:367人中至少有2人生日相同；事件B:抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点 数为偶数.下列说法正确的是 A.事件A、B都是确定事件 B.事件A、B都是不确定事件 C.事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D.事件A是确定事件，事件B是不确定事件 3.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A,“向上的面的点数是2或3”为事件B,则(） A.ACB B.A=B C.A+B表示向上的面的点数是1或2或3 D.AB表示向上的面的点数是1或2或3 4.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率是 0.32,那么质量在[4.8,4.85)内的概率是 ( ) A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68 的 部 5.已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与C对立，且PA)=0.3,P(C)=0.6,则P(A十B)=( A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9 6.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往 省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先 放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为 () 好 A号 B号 c D号 戡 2.随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为号，则事件A,B同时发生的概率的取 值范围是 A[层号 c品 层周 8.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是 “和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1,2,3,4,5中任取两个 数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为 A品 B号 c品 3 0.20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”，事件Q 表示“取出的都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”.则下列结论错误的是() A.P与R是互斥事件 B.P与Q是对立事件 C.Q与R是对立事件 D.Q与R是互斥但不对立事件 89 10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为α，第二次出现的点数记为b,则 下列事件发生的概率为后的是 () A.a+=6 B.a>2b C.logza>b D.方程ax2十bx十3=0有实数解 11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是 () A.取出的3个球颜色相同的概率为号 B.取出的3个球颜色不全相同的概率为号 C,取出的3个球颜色全不相同的概率为号 D取出的3个球无红球的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知事件A,BC两两互斥，若P(A)=号，P(AUB)=是，P(AUC)=品，则P(BUC) 13.先后两次抛掷同一个骰子（表面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的小正方体），将得到的点数分 别记作a,b,则号为整数的概率是 14.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个 人站起来的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)甲、乙两名飞行员进行飞机着陆训练，A表示事件“甲降落至指定地点”，B表示“乙降 落至指定地点”.试用符号表示下列事件： (1)甲或乙降落至指定地点： (2)甲和乙都降落至指定地点； (3)甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点； (4)甲、乙两人都没有降落至指定地点： (5)甲、乙至少有一人降落至指定地点. 90 16.(15分)某服务热线，打进的电话响1声被接的概率是0.1：响2声被接的概率是0.2；响3声 被接的概率是0.3：响4声被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响第5声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 17.(15分)某商场进行有奖销售，购物每满100元得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开 奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的 分别为事件A,B,C,求： (1)P(A),P(B),P(C): (2)1张奖券中奖的概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. -91 18.(17分)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相 同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a,放回后乙 再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b,记录摸球结果(a,b),如果a十b>5,算甲赢，否 则算乙赢. (1)求a+b=5的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由. 19.(17分)2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反 ↑频率 法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民 组距 积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随 0.04 机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩m(50≤m≤ 100),制成了如图所示的频率分布直方图： (1)求出图中x的值： 0.016 (2)求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数； 0.008 0.004 (3)若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市 0V5060708090100成绩份) 民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市 民至少有一人获得90分及以上的概率. 92 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第十章 概率 专题一随机事件与概率 姓名 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码： 涂 ■ 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用05毫米黑色签字笔书写，字体 样 错误填涂 事 工整，笔迹清楚： 例 刀● ■▣0○ 项 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 5.[A][B][C[D] 8.[A]B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.[A][B][C][D] 1o.[A][B[C][D] 11.[A][B][CD] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 93 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -94- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -95- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -96-(3)当租用方式为“按时计费”时,一个月总费用约为 解得一2③<e2③,且eZ,因此e的最大值为3, $2.584×2×21-528.528(元). 则x5最大为3十7一10,所以丙在一轮比赛中的最高得 .528.528 2350..',采用“按时计费”更省钱 分为30. 18.【解】 (1)这40个用户评分按从小到大排列如下:63, 第十章 $66.72,73,74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79,79,80 概率 81.81.81,82,82,83,83,84,84,85,85,86,86.88,88,89 89,91,92,93,95,95.97. 专题一 随机事件与概率 05 5.×40-38,可知这40个用户评分 100 1.C 由题意得A,B,D的概率为1,所以是必然事件; 的第25,95百分位数分别为第10项和第11项数据的平 C的概率不为0,也不为1,所以它是随机事件,故C正确。 均数,第38项和第39项数据的平均数,分别为76.5 故选:C. 95.据此估计该地区所有用户评分的第25,95百分位数 2.D 事件A:一年最多有366天,所以367人中至少有2人 分别约为76.5,95. 生日相同,是确定事件; (2)- 事件B:抛掷一枚均匀的毂子,朝上的面点数为1、2、3、4、 5、6共6种精况. 89)-83. 点数为偶数是不确定事件. 故选:D. 3.C 设A-(1,2),B-(2,3,则AOB-2,AUB-(1 83)2+(89-83)2+(74-83)2+(83-83)2+(78-83)+ 2,3...A+B表示向上的面的点数是1或2或3.故 (77-83)+(89-83)-33 选C. (3)由题意知,评分在(83一\33,83十33),即(77.26 4.B 由题意知,质量在[4.8,4.85)内的概率是1一(0.3十 88.74)内的满意度等级为“A级”,样本中评分在(77.26 0.32)-0.38.故选B. 88.74)内的有5人,则可估计该地区满意度等级为“A 5.C .P(C)=0.6.事件B与C对立...P(B)=0.4.又 P(A)=0.3,A与B互斥..P(A+B)=P(A)+P(B) 6+6+8+7+8 0.3十0.4-0.7.故选C. 19.【解】 (1)由乙比甲平均少投中2次,得 5 6.C 根据题意,所有可能的客车通过顺序的情况为(上, 中,下),(上,下,中),(中,上,下),(中,下,上),(下,中 5 上),(下,上,中),共6种,其中该人可以乘坐上等车的情 甲投中次数的平均数为7,乙投中次数的平均数为5. 况有(中,上,下),(中,下,上),(下,上,中),共3种,则其 2 故选:C. 所以一 (2)因投中一球计三分,丙的平均得分为21,方差为27, 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)<1. 等价于丙平均投中7次,方差为3,不妨设x x。 x 15,又P(A) rr. 则+十g+x+r7 P(B). 5 则当B二A时,P(AB)-P(B)-2. (x-7)2+(x-7)+(r-7)2+(x-7)2+(x-7)2 3 5 . 所以事件A,B同时发生的概率的取值范围是 -3. 设x-7,x-7.x-7.x-7,r-7分别为a,b.c,d. 故选:C. 8.B 由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三 e(a.b.c.d.eEZ). a十b十c十十e-0 角形上的数字之和恰为26-20-6.从1,2,3,4,5中任取 于是 ,设f(x)一(r-a)十 l?+b+c2+d2+2-15 两个数字的样本空间0一((1,2),(1,3),(1,4),(1,5) (-b)十(x-c)?十(x-d)2 (2.3),(2,4),(2,5),(3,4).(3,5),(4,5)),共10个样本 点,设事件A一“两个数字之和为6”,则A一[(1,5),(2 -4r?-2(a+b+c+d)x+(a2+b?+c2+d?)-4r2+ 2ex十15-2. 由f(x)>0恒成立,得判别式△<0,即4e②-4×4(15- e2)0. 142 9.ABD由题意得,取球的情况共有如下几种:①取出的两 12.7 因为事件A,B,C两两互斥, 个球都是黑球;②取出的两个球都是白球:③取出的两个 球一黑一白,事件R包括①③,.'.事件R包含事件P,故 所以P(AUB)=P(A)+P(B)= 8 15 A不正确;事件P与事件Q互斥,但不是对立事件,故B 不正确:事件O与事件R互斥且对立,故C正确,D不正 又因为P(A)一 5 确.故选ABD. 一1 10.BCD 先后抛掷一枚殿子两次,得到基本事件总数有 所以P(B)= 36种. 对于选项A,满足a十b-6的有(1,5),(2,4),(3,3). (4.2),(5,1),共5种, 所以P(BUC)=P(B)+P(C)= 故答案为:2 7 对于选项B,满足a>25的有(3,1),(4,1),(5,1). (6.1),(5,2),(6,2),共6种, 先后两次抛掷同一个毂子,出现的所有情况有: (1.1).(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,D),(2,2) 对于选项C,满足logab,即a>2的有(3,1) (2.3),(2,4).(2,5).(2,6).(3,1),(3,2),(3:3),(3,4) (4.1),(5,1),(6,1),(5,2). (3.5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6). (5.1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2). (6,3),(6,4).(6,5).(6,6). 对于选项D,方程ar^{②}十hx十3-0有实数解,则△一h2- 基本事件共36个. 12a>0.即?二12a. 符合题意的有(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6). (3,6),共6种,故概率为士,故D正确. (2,2).(3,1),(3,3),(4.1).(4,2). (4,4),(5,1),(5.5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,6). 故选:BCD 11.BC 设取得黄、红、白球分别为1,2,3. 有放回地取球3次,共(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1),(1,2,3), (1,3,2),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,3),(3,1,2), 14.16 四个人坐着或站起来的情形共有16种,没有相邻 (2,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(2,3,1),(2,2,1). (3.3.1),(2,22),(3,3,3),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2). 的两个人站起来,即硬币为正面的不能相邻,有以下几 (3,3,2),(3,2,3),(2,3,3)共27种等可能结果,其中 种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正 颜色相同的结果有(1,1,1),(2,2.2),(3.3,3)3种,其 反反,正反反反,反反反反,共7种,由古典概型概率公 式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为 颜色不全相同的结果有24种, 15.【解】(1)甲或乙降落至指定地点可表示为AB (1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1). (2)甲和乙都降落至指定地点可表示为AB. (3.1,1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3), (3)甲降落至指定地点,但乙没有降落至指定地点可表 (2,1,3),(3,1,2),(2,1,2),(3,1,3),(3,2,1). 示为AB. (2,3,1),(2,2,1),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2). (4)甲、乙两人都没有降落至指定地点可表示为AB. (5)甲、乙至少有一人降落至指定地点可表示为(AB) (AB)U(AB). 16.【解】 (1)设“打进的电话响k声被接”为事件A( 颜色全不相同的结果有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3). N*),那么事件A,间两两互斥,设“打进的电话在响第5 声之前被接”为事件A,根据互斥事件的概率加法公式, 故C正确; 得P(A)-P(A UAUAUA)-P(A )+P(A)+P(A 无红球的结果有(1,1,1),(1,1,3),(1,3,1), +P(A)-0.1+0.2+0.3+0.35-0. 95. (3.1,1),(1,3,3),(3,3,3),(3,1,3),(3,3,1)共8 (2)由题意及(1)知,事件“打进的电话响4声而不被接” 是事件A的对立事件,记为A 根据对立事件的概率公式,得P(A)一1-P(A)一1- 故选:BC. 0.95-0.05. 143 1 17.【解】 (1)P(A)- 有4人成绩在90分以上,记为B,B。,B,B.$ 1000' 从“优秀市民”中任选两名参加座谈会,用集合{n,”表 10 1 P(B)一 1000100' 示这个试验的一个样本点, 50 P(C)-100020 1 因此该试验的样本空间为2-{m,nn,nA A,A,AA,A,A,A.B .B,B,B. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1 其中n(2)-66. 张奖券中奖”为事件M,则M一AUBC. 事件M一“两名市民至少有一人获得90分及以上”,则 .A,B,C两两互斥, M=m,n)Im,n(A,A,A,A,A,A,A ..P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)= A,其中n(M)-28. 1+10+5061 1000 -1000' .P(M)-1-(M) -1-2819 n(2) 61 故1张奖券中奖的概率为1000 6633 专题二 事件的相互独立性,频率与概率 (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则 事件N与“1张奖券中特等奖或一等奖”为对立事件, 1.B 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事 1000' 件,故A错误,B正确; 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1900 989 互斥事件一定不能同时发生,而独立事件可以同时发生, 所以互斥事件一定不是独立事件,独立事件可能互斥也 18.【解】 (1)摸球结果(a,b)全部可能的结果是(1,1),(1 可能不互斥,故C,D均错误。 2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3).(2,4),(2 故选:B. 5).(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4. 2.B 两辆车不同时出现故障的概率为1一(1一){②-2 3).(4,4).(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共 一/2. 25种, 故选:B. 其中a+b-5的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4 3.A 对于选项A,由题意得事件A的发生与否对事件B 种,故由古典概型的概率计算公式可得P(a十b-5)= 25. 没有影响,.',A与B相互独立,.A正确,对于选项B,C. 由于事件A与B可以同时发生,.,事件A与B不互斥, (2)这种游戏规则不公乎,理由如下, 'B.C不正确,对于选项D,由于A与B相互独立,因此 设甲赢为事件A,乙赢为事件B,则A,B为对立事件, 由题意事件A包含的基本事件(1,5).(2,4),(2,5),(3. 3).(3,4).(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5. 4.B 对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同,故整 2).(5,3).(5,4),(5,5),共15个. 个城市明天的平均降雨概率不一定为50%,故A错误; 由古典概型的概率计算公式可得P(A)一 对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大, 故B正确; ..P(B)-1-P(A)= 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨,故C ·.P(A)P(B),故这种游戏规则不公乎 错误: (1)由频率分布直方图可知:0.004×10十10x十 19.【解】 对于D,降雨量并不取决于降雨概率,反而是降雨时长以 0.04×10+0.016×10+0.008×10-1 及有效覆盖面积(即下雨的区域在该所参考区域的面积) .x-0.032. 会影响降雨量,故D错误 (2)由文-xp.得:x=0.04×55+0.32×65+0.4×75 故选:B. +0.16×85+0.08×95-74.2. 5.D 设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A,B. 设市民竞赛成绩的上四分位数为a, 事件“至少有一人命中”为事件C.P(C)一P(AB十AB十 则 0.08+0.16<0.25.0.08+0.16+0.40.25 AB)-P(AB)+P(AB)+P(AB) .7080 =P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B) ..(80-a)×0.04+0.08+0.16-0.25. -0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8-0.98. .a-79.75. 故选:D. (3)由频率分布直方图可知:50名市民中有“优秀市民” 6.C 由30组随机数,采用三局两胜制得到B获胜满足的 12人. 基本事件有;698,959,共2个,用频率估计B获胜的概率 其中8人成绩不高于90分,记为A,A。,A,A.,A A.A.As. 144