18.2.2 菱形 同步练习 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

18.2.2 菱形 同步练习 　班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 菱形 (１)定义:有一组邻边 相等 的平行四边形叫做菱形． (２)性质:①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对 角． (３)菱形的面积:菱形的面积等于对角线乘积的 一半 ． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．如图18－Z－6，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　) 21cnjy.com 　图18－Z－6 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 3．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）版权所有 A. 12m B. 20m C. 22m D. 24m 4．如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（ ） A. a=4b B. a=2b C. a=b D. b=4a 5．若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（ ） A. 1cm B. cm C. 3cm D. 4cm 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（　　） A. 5cm B. 10cm C. 14cm D. 20cm 7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 12 B. 36 C. 24 D. 60 8．已知菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则较短的对角线BD的长度为( ) A. 8 B. 2 C. 4 D. 4.5 二、填空题 9．9．如图，在菱形ABCD中， E、F分别是DB、DC的中点，若AB=10，则EF=______. 10．已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为10cm、24cm，且AE⊥BC， AE=　　　　　　cm． 11．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长是____________。 12．如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积最大为　 　．www.21-cn-jy.com 13．如图,菱形ABCD的边长为20,∠ABC=60°，求对角线AC和BD的长(结果保留根号)． 14．已知菱形ABCD的边长为6,∠A＝60º,如果点Ｐ是菱形内一点,且PB=PD=,那么AP的长为___【来源：21·世纪·教育·网】 三、解答题 15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）21·世纪*教育网 16．如图，菱形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，且CM=CN，求证： (1)△ABM≌△AND； (2)∠AMN＝∠ANM. 17．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）若四边形DBFE是菱形，∠A=65°，求∠B的度数． 19．如图，在中， ,, 是由 绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点. (1)求证: ; (2)当四边形为菱形时，求的长. 参考答案 1．C 【解析】试题解析：作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P. ∴EP+FP=EP+F′P. 由两点之间线段最短可知：当E. P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.21·cn·jy·com ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3. ∴EP+FP的最小值为3. 故选C. 2．B 【解析】试题解析：∵菱形ABCD的对角线 根据勾股定理， 设菱形的高为h， 则菱形的面积 即 解得 即菱形的高为cm． 故选B． 3．B 【解析】试题解析：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出 为正三角形，以的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 故选B． 4．A 【解析】设菱形的两条对角线分别为2m,2n,则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.2·1·c·n·j·y 5．B 【解析】如图,因为AE垂直平分BC于E,所以AB=BC=2BE,∠AEB=90°,所以AE=BE,则BE=,所以BC=,故选.www-2-1-cnjy-com 6．D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm， OB=BD=×8=4cm， 根据勾股定理得，AB==5cm， 所以，这个菱形的周长=4×5=20cm， 故选D． 7．A 【解析】由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD的长，菱形ABCD的面积=AC×BD，即可得出结果． 21*cnjy*com 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD， ∴OB==， ∴BD=2， ∴菱形ABCD的面积=AC×BD=×12×2=12. 故选A. 8．C 【解析】根据题意可知：菱形的边长为4，根据∠A=60°可得：较短的对角线与菱形的两边构成等边三角形，则BD的长度为4.2-1-c-n-j-y 故选C. 9．5 【解析】试题解析：由菱形的性质可知：BC=AB=10， 又∵E、F分别是DB、DC的中点， ∴ (三角形的中位线定理). 故答案为：5. 点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半. 10． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=10cm，BD=24cm， ∴∠BOC=90°，BO=12cm，OC=5cm，S菱形ABCD=AC·BD=120cm2， ∴BC=（cm）， ∴AE=120×BC=120÷13=（cm）. 故答案为： . 点睛：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半. 11．20 【解析】解：解：菱形的对角线为6、8，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20．故答案为：20．【来源：21cnj*y.co*m】 [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/8/1919871023538176/1920958422310912/EXPLANATION/b26ba84bd3d84353a867d949f51d0dca.png] 点睛：本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．【出处：】 12． 【解析】如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF=∠D=60°， ∴∠BAC=∠ACF=∠B=60°，AB=BC， ∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，△ABC是等边三角形， ∴∠BAE=∠CAF，AB=AC， ∴△ABE≌△ACF， ∴AE=AF，S△ACF=S△ABE， ∴△CEF是等边三角形，S四边形AECF=S△ABC， ∴S△CEF=S△ABC-S△AEF， ∵AB=8，△ABC是等边三角形， ∴S△ABC=， ∴当AE⊥BC，S△AEF的面积最小时，S△CEF最大， ∵当AE⊥BC时，AE=， ∴S△AEF最小=， ∴S△CEF最大=. 故答案为： . 13．AC=20，BD= 【解析】试题分析:根据菱形的性质可得: AC⊥BD, ∠ABO=∠ABC=×60°=30°,再根据30度直角三角形的性质,30度所对直角边等于斜边的一半即可求解,再根据根据勾股定理计算.原创作品 试题解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2AO,BD=2BO,∠ABO=∠ABC=×60°=30°,∴Rt△ABO中,AO=AB=×20=10m,∴BO=cm,∴AC=2AO=20m, BD=2BO=. 14．或 【解析】连接BD，因为∠A=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以∠DAO=30°，DO=3，AO=，因为PB=PD=,所以点P在BD的垂直平分线上，由勾股定理得OP=，如图一，当点P在线段AO上时，AP=AO-PO==；如图二，当点P在线段OC上时，AP=AO+PO==，故答案为或.21*cnjy*com 15．菱形ABCD的面积是22.7cm²，梯形DEBC的中位线长是3.7cm. 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=AB， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∵∠A=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4， 由勾股定理得，AD=， ∴AB=， ∴菱形ABCD的面积为DE×AB=4×=≈22.7cm²， ∵BE=-4，CD=AD=， ∴梯形DEBC的中位线长（-4+）÷2=-2≈3.7cm. 答：菱形ABCD的面积是22.7cm²，梯形DEBC的中位线长是3.7cm. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】整体分析： （1）根据菱形的性质，用SAS证明△ABM≌△AND；（2）由（1）△ABM≌△AND得，AN=AM，根据等角对等边证明.【版权所有：21教育】 证明：⑴∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC 又∵CM＝CN ∴BC－CM＝DC－CN即BM＝DN ∵AB＝AD，∠B＝∠D，BM＝DN ∴△ABM≌△ADN（SAS） ⑵∵△ABM≌△ADN ∴AM＝AN ∴∠AMN＝∠ANM 17．（1）证明见解析（2）等边三角形 【解析】试题分析：（1）由菱形ABCD的边长为2，BD=2，易得BD=BC，∠C=∠BDE=60°，又由AE+CF=2，易得DE=CF，则可证得：△BDE≌△BCF； （2）由△BDE≌△BCF，易得BE=BF，∠EBF=60°，则可证得△BEF是等边三角形． 试题解析：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，∴BC=BD=CD=AD=2，∴∠C=∠CDB=60°．∵∠BDE=∠BDC，∴∠BDE=∠C．∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2，∴DE=CF．在△BDE和△BCF中，∵BD=BC，∠BDE=∠C，DE=CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：等边三角形．理由如下： ∵△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠CBF=∠DBE．∵∠CBF+∠DBF=60°，∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°，∴△BEF是等边三角形． 点睛：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定．注意证得DE=CF，∠BDE=∠C是关键． 18．（1）证明见解析；（2）50°. 【解析】整体分析： (1)由三角形的中位线定理得DE∥BC，结合EF∥AB即可；(2)由四边形DBFE是菱形得DA=DE，求得∠ADE的度数，根据DE∥BC，证∠ADE=∠B. (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC， ∵EF∥AB， 所以四边形DBFE是平行四边形； (2)解：∵四边形DBFE是菱形， ∴DE=DB=DA， ∴∠A=∠AED， ∴∠ADE=180°-65°-65°=50°， ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B， ∴∠B=50°. 19．（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD； （2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE-DE求解． 试题解析：（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE=CF； （2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE-DE=-1． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$