精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题

陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题 命题人：宋小伟 审题人：程亚娟 总分值：150分 试题范围：必修2+必修3至第七章 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 9种 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（ ） A. B. C. D. 8. ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 13. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 14. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，各项的系数之和为729. （1）求的值； （2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）若有2个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题 命题人：宋小伟 审题人：程亚娟 总分值：150分 试题范围：必修2+必修3至第七章 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 2. 已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据离散型随机变量分布列的期望公式计算，再利用期望的线性性质列方程求． 【详解】解：由表可得， 又， 可得， 解得4． 故选A． 3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 9种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可得到答案. 【详解】依题意，每个人选择方案都有3种，所以两个人不同的选择方案有种， 故选：D． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 7. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可． 【详解】，，所以. 故选：D. 8. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性比较的大小后可得结论． 【详解】设，则， 时，，单调递减， ，则， 所以，即，， 所以，即． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，分，讨论，判断各选项. 【详解】因为数列为等差数列， 由，所以. 所以，故B正确； 当时，由，所以，，所以，故C正确； 当时，由，所以，，所以，即，故D错误； 当时，时，取最小值；当时，时，取最大值.故A错误. 故选：BC 11. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，所以， 解得. 13. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可. 【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为， 所以． 故答案为：. 14. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，各项的系数之和为729. （1）求的值； （2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 【答案】（1）6； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）写出的展开式的通项，令的幂指数等于2即可求解. 【小问1详解】 的展开式中，各项的系数之和为729， 令，得，解得. 【小问2详解】 的展开式的通项为， 若存在含的项，则， 解得. 所以展开式中存在含的项，此项为. 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解； （2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为函数在处有极值，且， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）得：，， 又， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增 故的最大值是或， 而，， 故函数的最大值是2. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】（1）3班进入决赛的可能性最大 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）若有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）． 【解析】 【分析】（1）只需证明在上恒成立，利用导函数与单调性、最值的关系证明即可； （2）将问题转化为方程有两个不等的实数根，利用导数与单调性、最值的关系，作出的图象，数形结合求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $