微专题04 对勾函数、飘带函数、 V 形函数、高斯函数（4大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题04 对勾函数、飘带函数、 V 形函数、高斯函数 【题型归纳目录】 题型一：对勾函数 题型二：V形函数 题型三：飘带函数 题型四：高斯函数 【知识点梳理】 1、对勾函数 2、V形函数 3、飘带函数 4、高斯函数，记表示不超过实数的最大整数. 【典型例题】 题型一：对勾函数 【典例1-1】当时，函数的最大值为 ． 【答案】3 【解析】由， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故答案为：. 【典例1-2】当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 【变式1-1】已知，若对任意，都有，则实数的值是 ． 【答案】9 【解析】若对任意，都有， 则在处取得最小值，则 由基本不等式得： 当且仅当时，即时取等号, 则即 故答案为：9. 【变式1-2】 ，，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 【变式1-3】函数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 题型二：V形函数 【典例2-1】若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意，可得，令，即. ①当时，，有，则，不符合题意，舍去. ②当时，由，可得或，， 即函数与函数，有唯一公共点， 当时，则，则， 即整理得， 当时，即，即， 当时，或（正值舍去） 当时，或，有两个解，不符合题意，舍去， 综上所述，当时，方程在时有唯一解，因此，当时，方程在时无解， 当，且时，由函数关于对称， 令，可得或，且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，即， 故时，图象为双曲线右支在轴上方部分向右平移所得， 由双曲线的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； ②当时，则 ， 即函数与函数，有唯一公共点， 由，可得或 当时，则，则， 即整理得， 当时，即，即， 当时，（负值舍去）或 当时，或，有两个解，不符合题意，舍去， 综上所述，当时，方程在时有唯一解，因此，当时，方程在时无解， 当，且时，由函数关于对称， 令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：故时，图象为双曲线左支在轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 综上所述： 故答案为： 【典例2-2】设函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的值为 . 【答案】或或 【解析】由方程，可得，即， 令，，可得的顶点为在上， 又由与的交点坐标为，， 联立方程组，整理得， 由，解得. 作出函数的图象，如图所示， 要使得有两个不同的解，则函数过时，显然符合，此时 ， 由此实数的取值范围是或或 . 故答案为：或或 . 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得， 令则， 当时，则在上单调递增， 当时，则在[0，2)上单调递减，在上单调递增， 作出函数h(x)的大致图像如图所示，则有当或时，原方程恰有2个不同的实根， 令，，当单调递减且恒小于0，，当时函数单调递增，且， 故实数a的取值范围为. 故选：C 【变式2-2】等差数列，满足 ，则（    ） A．n的最大值是50 B．n的最小值是50 C．n的最大值是51 D．n的最小值是51 【答案】A 【解析】不妨设，，由对称性可得：.则，. ，， ∴ ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，∴. ∴n的最大值为50. 故选：A. 题型三：飘带函数 【典例3-1】（多选题）已知函数，则该函数（    ） A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为 【答案】AC 【解析】先整理函数，由函数的单调性，可知本题函数的单调性，利用单调性知函数没有最小值，在时，函数取得最大值，判断选项即可.因为，所以， 令，下面证明在单减，单增， 任取，且，则 ，，，， ，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数. 故知在上是减函数，在上是增函数. 所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为，没有最小值. 故选：AC 【典例3-2】（2025·高三·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，，此时A满足； 当时，当时，为增函数；当时，， 其中为对勾函数的一部分，此时D满足； 当时，当时，为对勾函数的一部分； 当时，为减函数，此时B满足； 故选：C 【变式3-1】已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】令，定义域为， ，得，且在，，单调递增， 所以函数图象如下： 则的图象如下： 当，则， 在同一坐标系中作出的图象，如下： 则的图象如下： 显然最小值为2，不合题意； 当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下： 画出的图象如下： 显然函数在点取得最小值，令，解得， 令，解得， 当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下： 画出的图象如下： 显然函数在点取得最小值，令，解得， 令，解得， 综上，． 故选：B． 【变式3-2】函数的大致图象为（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】易得函数的定义域为，恒成立，即函数在，，上均单调递减，由此可知只有D选项中的图象符合题意，故选D． 题型四：高斯函数 【典例4-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，，已知函数，若函数的值域集合为，则下列集合不是的子集的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，， 当且仅当取等号，此时函数值域为， 由题知函数的定义域为， ， 所以为偶函数，即值域为，所以， 故选：A. 【典例4-2】（2025·高三·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，则，即， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 综上，函数的值域为. 故选：C. 【变式4-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．的最小值为0 D．在上的值域为 【答案】C 【解析】对于A，，，所以，A错； 由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1； 绘制函数图象如图所示， 对于B，由图可知，当，没有最大值，B错； 对于C，由图可知，当，的最小值为0，C对； 对于D，由图可知，在上的值域为，D错. 故选：C 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如.已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故，即， 而由题意可知，当时，函数的值域为， 故选：C. 【专题训练】 1．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】对于A：当时，，当时，， 即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，则， 因此函数，的值域为，故C正确； 对于D：由，得，解得， 而，则，因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选题）对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（   ） A．若，则 B．对，有成立 C．不等式的解集为 D．若函数，则 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，则 ，故A错误 对于B，设， 则 ， 故为周期函数且周期为1，下面考虑时的值， 当时，对确定的，，， ，，而， 故此时， 综上，时，故时，， 所以，故B正确； 对于C，由得或， 所以不等式的解集为，故C正确 对于D.函数， 因为是整数，所以，即函数，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选题）（2025·高三·江苏扬州·开学考试）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如已知函数，函数则下列说法中正确的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称 C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根 【答案】BCD 【解析】， 所以函数在区间上不是单调递增，A错误； 当为奇数时，， ， 此时， 当为偶数时，， ， 此时， 所以， 所以函数图象关于直线对称，B正确； 由题可得， 所以， 所以当时， 当时， 当时， 所以函数的值域是，C正确； 若，则方程，即， 但，所以此时无解； 若，则方程，即， 但， 因为，所以，所以， 满足题意， 若，则方程，即， 但，不满足题意， 所以方程只有一个实数根为，D正确， 故选:BCD. 4．（多选题）高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ） A． B．的值域为 C．在上有5个零点 D．，方程有两个实根 【答案】BD 【解析】，选项A错误； 当时，， 当时，，； 当时，， ……以此类推，可得的图象如下图所示， 由图可知，的值域为，选项B正确； 由图可知，在上有6个零点，选项C错误； ，函数与的图象有两个交点，如下图所示， 即方程有两个根，选项D正确． 故选：BD 5．高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].如记函数 ，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 在同一坐标系中画出与的图象， 因为 有两个零点，故需与的图象有两交点， 由图象知，当时，函数与的图象有两个交点， 即函数有两个零点， 故实数a的取值范围为, 故答案为： 6．（2025·全国·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，．已知实数满足，，则 ． 【答案】0 【解析】，又， 构造函数为单调递增函数，，， 所以．又． 因为，所以，， 设，，，，所以函数在上单调递减， 所以，所以． 故答案为：0 7．已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为 ；当时，的最大值为 . 【答案】 【解析】由，即，解得， 又表示不超过的最大整数，故； 当时，，则， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为. 故答案为：；. 8．函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 / 【解析】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 9．函数的值域为 . 【答案】 【解析】， ，设， 因在上单调递增，则， 故， 故函数的值域为. 故答案为：. 10．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】设，则， 因为，所以． 函数可化为，， 因为当时是减函数，又， 所以函数在上是减函数， 于是，即， 所以函数的值域是． 故答案为：. 11．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，有函数值域为. 故答案为：. 12．（2025·高三·浙江宁波·期中）设函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合 ． 【答案】. 【解析】. 由，解得，或3. 当时，时有两个根或3， 因为方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，所以另一个根为-5. 即，且，解得，满足题意； 当时，时有两根，设为，时有一根为3，且有. 即的两根为.有， 解得,因为，所以； 当时，最多有两个根，不符合题意. 综上实数的取值构成的集合为. 13．（2025·上海浦东新·一模）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 【答案】 【解析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解.由得有两个不同的解， 令， 的顶点在上， 而与的交点坐标为， 联立得， 由，解得或， 数形结合，要使得有两个不同的解， 则实数的取值范围是或或. 故答案为： 14．已知函数，，若方程恰有3个互异的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】将方程化简并参变分离，转化为两图象交点问题求解参数范围.方程恰有3个互异的实数根，则有3个互异的实数根； 当时方程成立，故当时有2个不同实根， 则有两个不同非零实根； 设和，则要求两图象有2个不同交点，且横坐标均不为0 分别作图如下： 由图可知且时，两图象有2个不同交点，且横坐标均不为0. 故答案为： 15．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】． 【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为 与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或． （方法二）显然，∴．令，则 ∵，∴．结合图象可得或． 考点：方程的根与函数的零点． 16．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 【答案】 【解析】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，，则： 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 17．（上海市上海中学2024-2025学年高三期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为 ； 【答案】50 【解析】{an}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|an|， ＝|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|， ＝|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|， ＝|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|， 则：数列{an}中的项一定满足或， 且项数n为偶数， 设n＝2k，等差数列的公差为d，首项为a1， 不妨设， 则：a1＜0，d＞0， 且：ak+3＜0， 由， 可得d＞3， 所以：|a1|+|a2|+..+|an|＝﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣ak+ak+1+ak+2+…+a2k， ＝﹣2（a1+a2+a3+…+ak）+（a1+a2+a3+…+ak+ak+1+…+a2k） ＝﹣2（）+（）， ＝k2d＝2018， 由于：d＞3， 所以：k2d＝2018＞3d2， 解得：k2＜672， 故：k≤25， 故：n≤50． 故答案为50． 18．（上海市控江中学2024-2025学年高三12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是 . 【答案】 【解析】易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数. 不妨设,设公差为,则此时,且. 又 .故. 故有 . 因为,故.因为 故, 故答案为： 19．（2025·高三·江西鹰潭·期中）高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称.用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，已知函数. (1)证明：； (2)已知函数，命题，使得成立；命题在区间上有零点.若中至少有一个是真命题，求正实数的取值范围； (3)定义：函数的定义域为，函数，若存在，使得，则称点为函数的一个高斯点.记上的第个高斯点和第个高斯点连线的斜率为，证明：. 【解析】（1）令，当为奇数时，，当为偶数时，， 故对任意，故， 设函数， 当时，；当时，， 故，即，所以. （2）记函数，则， 所以单调递增，， 由（1）知，即， 故在上恒成立，故，即在恒成立. 所以命题为假命题，又因为中至少有一个为真命题，故命题为真命题， 可转化为与在上至少有一个交点， 由（1）知：当时，， 当时，， 故在上的值为零，在上的值为2026， 所以解得. （3）分析可得第个高斯点的坐标为，第个高斯点的坐标为， 故，要证明原不等式，只需证明， 即证，代入可得， 对左边放缩可得， 只需证，令，即证. 令，故在上单调递减， 所以，即，即. 20．（2025·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【解析】（1）由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以. （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，则当时，，设， 此时，即； 当时，，设， 此时，即， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以. ②由，得，则为递增数列，， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 对勾函数、飘带函数、 V 形函数、高斯函数 【题型归纳目录】 题型一：对勾函数 题型二：V形函数 题型三：飘带函数 题型四：高斯函数 【知识点梳理】 1、对勾函数 2、V形函数 3、飘带函数 4、高斯函数，记表示不超过实数的最大整数. 【典型例题】 题型一：对勾函数 【典例1-1】当时，函数的最大值为 ． 【典例1-2】当时，则函数的最大值为 ． 【变式1-1】已知，若对任意，都有，则实数的值是 ． 【变式1-2】 ，，则的值域为 ． 【变式1-3】函数的最大值为 . 题型二：V形函数 【典例2-1】若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 【典例2-2】设函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的值为 . 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】等差数列，满足 ，则（    ） A．n的最大值是50 B．n的最小值是50 C．n的最大值是51 D．n的最小值是51 题型三：飘带函数 【典例3-1】（多选题）已知函数，则该函数（    ） A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为 【典例3-2】（2025·高三·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式3-2】函数的大致图象为（ ） A．B． C．D． 题型四：高斯函数 【典例4-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，，已知函数，若函数的值域集合为，则下列集合不是的子集的是（ ）. A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高三·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．的最小值为0 D．在上的值域为 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如.已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【专题训练】 1．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 2．（多选题）对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（   ） A．若，则 B．对，有成立 C．不等式的解集为 D．若函数，则 3．（多选题）（2025·高三·江苏扬州·开学考试）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如已知函数，函数则下列说法中正确的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称 C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根 4．（多选题）高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ） A． B．的值域为 C．在上有5个零点 D．，方程有两个实根 5．高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].如记函数 ，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为 . 6．（2025·全国·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，．已知实数满足，，则 ． 7．已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为 ；当时，的最大值为 . 8．函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 9．函数的值域为 . 10．函数的值域为 ． 11．函数的值域为 ． 12．（2025·高三·浙江宁波·期中）设函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合 ． 13．（2025·上海浦东新·一模）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 14．已知函数，，若方程恰有3个互异的实数根，则实数的取值范围为 . 15．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． 16．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 17．（上海市上海中学2024-2025学年高三期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为 ； 18．（上海市控江中学2024-2025学年高三12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是 . 19．（2025·高三·江西鹰潭·期中）高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称.用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，已知函数. (1)证明：； (2)已知函数，命题，使得成立；命题在区间上有零点.若中至少有一个是真命题，求正实数的取值范围； (3)定义：函数的定义域为，函数，若存在，使得，则称点为函数的一个高斯点.记上的第个高斯点和第个高斯点连线的斜率为，证明：. 20．（2025·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$