微专题02 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性（7大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题02 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 【题型归纳目录】 题型一：奇偶性的判断与证明 题型二：已知奇偶性求参数、求表达式、求值 题型三：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型四：函数对称性与周期性综合应用 题型五：类周期与倍增函数 题型六：中值模型 题型七：函数的对称性拓展 【知识点梳理】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 6、导函数与对称性 （1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数． （2）推广：若的图象关于点对称，则其导函数的图象关于直线对称；若的图象关于直线对称，则其导函数的图象关于点对称． 【典型例题】 题型一：奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【典例1-2】（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二：已知奇偶性求参数、求表达式、求值 【典例2-1】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 题型三：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【典例3-1】（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：函数对称性与周期性综合应用 【典例4-1】（多选题）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 【典例4-2】（多选题）（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【变式4-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 【变式4-2】（多选题）（2025·西藏拉萨·二模）已知定义在上的函数，满足，，且．则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 【变式4-3】（多选题）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 题型五：类周期与倍增函数 【典例5-1】（2025·上海·二模）已知函数是定义在上的函数，且，则函数在区间上的零点个数为 . 【典例5-2】（多选题）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【变式5-1】设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型六：中值模型 【典例6-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【典例6-2】函数在上的最大值和最小值分别为，则 ． 【变式6-1】已知关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为 . 【变式6-2】（2025·高三·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 题型七：函数的对称性拓展 【典例7-1】若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【典例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最大值为 ． 【变式7-1】若满足,满足，则 . 【变式7-2】（2025·重庆·三模）已知函数满足.若是方程的两根，则= . 【专题训练】 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·二模）已知是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．若函数为偶函数，则实数（   ） A．1 B． C．－1 D． 4．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南大理·模拟预测）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（2025·四川遂宁·三模）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·福建福州·期中）已知实数满足，（其中是自然对数的底数），则（       ） A． B． C． D． 12．（多选题）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 13．（多选题）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的最大值为0 D．在区间上单调递增 14．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 15．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 【题型归纳目录】 题型一：奇偶性的判断与证明 题型二：已知奇偶性求参数、求表达式、求值 题型三：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型四：函数对称性与周期性综合应用 题型五：类周期与倍增函数 题型六：中值模型 题型七：函数的对称性拓展 【知识点梳理】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 6、导函数与对称性 （1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数． （2）推广：若的图象关于点对称，则其导函数的图象关于直线对称；若的图象关于直线对称，则其导函数的图象关于点对称． 【典型例题】 题型一：奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【解析】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【典例1-2】（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 【变式1-1】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 题型二：已知奇偶性求参数、求表达式、求值 【典例2-1】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 【典例2-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【答案】C 【解析】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故C正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 又当从左侧趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 所以当时，函数的值域为， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 又当从右侧趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 所以当时，函数的值域为， 当时，， 所以，都有， 所以D不正确. 故选：C. 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由奇函数性质可得，（）的定义域关于原点对称，由，即且， 故，解得. 又，故， 此时，满足，函数为奇函数， 故， 故选：A. 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立， 可得，故. 故选：C 题型三：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【典例3-1】（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，， 当时，；当时，， 由当时，，当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 【典例3-2】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【变式3-1】（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，若，则； 当时，，成立； 当时，因为为偶函数，所以，即，； 综上：， 故选：B. 【变式3-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式3-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 题型四：函数对称性与周期性综合应用 【典例4-1】（多选题）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 【答案】ABC 【解析】令，则，解出，故A正确； 令，则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 因为所以令可得， 即， 又因为是偶函数所以，即， 整理可得：， 令，可得，即， 整理得，所以是函数的一个周期，故C正确； 因为所以令可得， 又因为是偶函数且周期为，所以， 因为， 当为奇数，根据周期性可知， 当为偶数，根据周期性可知，故，故D错误. 故选:ABC 【典例4-2】（多选题）（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【答案】BCD 【解析】对于A，因为是偶函数，所以， 所以，即的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数， 设的最小正周期为，由，得，故B正确； 对于C，由，得， 又是偶函数，所以， 所以，则的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由C项可知，， 因为是奇函数，所以，即， 则，所以， 因此的图象关于点对称，且， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 【变式4-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】BCD 【解析】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 等价于，所以的图象关于点对称， 由，得到，又， 所以，则，所以的周期为， 又当时，，则时，，时，， 时，，的部分图象如图所示. 对于选项A，因为，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，又， 所以，则， 所以的周期为，，又，所以， 则，故选项B正确， 对于选项C，由图象知，当时，由得到， 又的周期为，则时，，，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，故选项D正确， 故选：BCD. 【变式4-2】（多选题）（2025·西藏拉萨·二模）已知定义在上的函数，满足，，且．则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【解析】在①中，用代替，得， 因，则②， ①②两式相加可得， 因此的图象关于点对称，故A正确； 由A选项可知， 又为偶函数，则，所以， 可得，则， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，则， 又，所以， 则，故C错误； 对于D，因， 则 ，故D正确． 故选：ABD． 【变式4-3】（多选题）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】由是偶函数，得，即， 则（为常数），由于， 取，得，于是， 对于A，由函数是R上偶函数，得， 由，得，即， 于是，函数图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，即， 由，得，于是， 即，因此，函数是周期为4的周期函数，B正确； 对于C，由，，得， 则， ，因此，C错误； 对于D，由，得，， ，， 因此，D正确. 故选：ABD 题型五：类周期与倍增函数 【典例5-1】（2025·上海·二模）已知函数是定义在上的函数，且，则函数在区间上的零点个数为 . 【答案】11. 【解析】令函数，得到方程， 当时，函数先增后减，在时取得最大值1，而在时也有； 当时，在处，函数取得最大值， 而，在时，也有， 当时，在处，函数取得最大值， 而，在时，也有， ， 当时，在处，函数取得最大值， 而，在时，也有， 综合以上分析，将区间 分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点. 故答案为: 11. 【典例5-2】（多选题）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 【变式5-1】设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图， 当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【变式5-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】当时，， 所以， 所以当时，，最大值为：， 所以的最小值为1， 故选：C 题型六：中值模型 【典例6-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【解析】由  ， 令，则， 所以函数在上为奇函数，则， 即，所以． 故答案为：2. 【典例6-2】函数在上的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】2 【解析】， 令，,为奇函数，所以关于对称, 所以关于对称， 所以． 故答案为：2. 【变式6-1】已知关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为 . 【答案】2 【解析】由题意，， 设，易知其定义域R关于原点对称， 且， 则是奇函数，所以的对称中心为， 所以的最大值与最小值之和为，因此，即. 故答案为：2. 【变式6-2】（2025·高三·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【解析】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 题型七：函数的对称性拓展 【典例7-1】若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 【典例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】，则， 等号成立条件为，，显然等号不能同时取到，则， 故在上单调递增， 由， 以及得，， 则， 欲求其最大值，故，则， 等号成立时，，故的最大值为. 故答案为： 【变式7-1】若满足,满足，则 . 【答案】 【解析】由和得和.故是函数与交点的横坐标，是与交点的横坐标.由于与的图像关于对称，故与的图像关于对称.画出图像如下图所示，其中，由解得，即对称中心点的横坐标为，故. 故填：. 【变式7-2】（2025·重庆·三模）已知函数满足.若是方程的两根，则= . 【答案】0 【解析】法一：令，则， 于是，则，即， 又是方程的两根，所以， 故. 法二：是方程的两根，所以， 设，则可取， 于是. 故答案为：0 【专题训练】 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为是偶函数，所以， 即①， 因为是奇函数，所以， 即②， ①②联立得，所以. 故选：A. 2．（2025·辽宁辽阳·二模）已知是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】当时，，则， 因为是奇函数，所以， 即时，，则． 故选：D 3．若函数为偶函数，则实数（   ） A．1 B． C．－1 D． 【答案】D 【解析】由函数为偶函数，可得，即， 解之得，则， ， 故为偶函数，符合题意. 故选：D. 4．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得． 故选：D． 5．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 6．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，定义域为，所以为奇函数， ，因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 又单调递增，所以，即解集为. 故选：A. 7．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 8．（2025·云南大理·模拟预测）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，， 故选：B． 9．已知函数则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】由可得， 故函数的零点个数即函数与的图象交点的个数， ， 可将函数的定义域分段为，并且在上的图象是将在上图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的后得到， 作出与的图象，如图所示， 由图象可知，共有5个交点，故函数函数在上零点个数为5个， 故选：B 10．（2025·四川遂宁·三模）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,两边取对数得：，又，两式相加得： ，即， 令，故上式变为，易知在上单调递增， 故，故， 故选：A 11．（2025·高三·福建福州·期中）已知实数满足，（其中是自然对数的底数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,两边取对数得：，又，两式相加得： ，即， 令，故上式变为，易知在上单调递增， 故，故， 故选：A. 12．（多选题）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】由为奇函数，得，即， 则，由为偶函数，得，则， 于是，函数是周期函数，一个周期为4， 由，得，由，得， 由，得，于是，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，为偶函数，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 13．（多选题）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的最大值为0 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】由得，所以函数的定义域为，关于原点对称， 由，得为偶函数， 所以的图象关于y轴对称，所以A错误，B正确； 对于C，当时，因为为减函数，为增函数， 所以为单调递减函数，， 又因为当时，的图象关于y轴对称，所以，故C正确； 对于D，由C知，当时，所以为单调递减函数， 的图象关于y轴对称，所以当时为单调递增函数， 故D错误. 故选：BC. 14．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【解析】因为为偶函数，则，即函数的图象关于直线对称， 因为，则函数的图象关于点对称， 因为，则，所以，， 则，即， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 因为函数的图象关于直线对称，则， 由可得，则， 故，所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，则， 且，所以，，A对； 因为，故函数是周期为的周期函数， 若函数为奇函数，且，则， 从而有，则， 又因为的图象关于直线对称，则，这与矛盾， 故函数不是奇函数，B错； 因为，且，则， 则，且， 所以，，D错. 故选：AC. 15．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 【答案】6 【解析】由题意可知，， 设，的定义域为， 所以， 所以为奇函数，所以， 所以 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$