微专题01 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式妙解最值问题（7大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题01 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式妙解最值问题 【题型归纳目录】 题型一：配凑法 题型二：“1”妙用 题型三：三角换元法 题型四：待定系数法 题型五：整体换元、比值换元法 题型六；柯西不等式 题型七：权方和不等式 【知识点梳理】 1、基本不等式：设是正实数，则 当且仅当时，等号成立．（即：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数．） 2、权方和不等式：设与均是正实数，， 则， 当且仅当时，等号成立． 3、柯西不等式：设与，则 ， 当且仅当时，等号成立． 【典型例题】 题型一：配凑法 【典例1-1】已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【典例1-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【变式1-1】已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 【变式1-2】已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 【变式1-3】已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 又因为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值. 故选：C. 【变式1-4】（2025·高三·天津滨海新·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】C 【解析】，且，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C． 题型二：“1”妙用 【典例2-1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 【典例2-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】C 【解析】由题意可知，为增函数，为减函数，且零点分别为，， 因对任意恒成立， 则函数与有相同的零点， 则，即， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最大值为. 故选：C． 【变式2-1】（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【变式2-2】（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 【变式2-3】已知，则 的最大值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【解析】 , , 当即当时取得等号， 所以， 故选：C. 题型三：三角换元法 【典例3-1】（2025·高三·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，令且， 所以，显然的最小值为， 当且仅当，即时取最小值. 故选：D 【典例3-2】（2025·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 【变式3-1】已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果. 令 ，等号在时取到． 故选：A 题型四：待定系数法 【典例4-1】设是正实数，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， ，， 当，得， 则，得， 得或（舍）， 所以 所以的最大值为. 故答案为： 【典例4-2】已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意实数，，不全为0， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 【变式4-1】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【解析】，，，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为16. 故选：A． 【变式4-2】若已知均为正数，则的最小值为 【答案】 【解析】 ,当且仅当 取等号,. 的最小值为   故答案为: 【变式4-3】已知，，为正数，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】∵，， ∴． 即．当且仅当时，等号成立． ∴. 故答案为： 题型五：整体换元、比值换元法 【典例5-1】（2025·高三·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故选：D． 【典例5-2】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 【变式5-1】已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正数满足， 故， 由于，故，即，等价于， 解得， ， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，即，等号成立. 故选：C 【变式5-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 题型六；柯西不等式 【典例6-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【解析】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 【典例6-2】 的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 故答案为：. 【变式6-1】设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由柯西不等式得， 所以，当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 题型七：权方和不等式 【典例7-1】 的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例7-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 【变式7-3】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【专题训练】 1．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【解析】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 3．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 4．已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 5．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为点在直线上，可得. 则 因，则，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最小值为. 故选：C. 6．（2025·高三·广东·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得且， 所以， 当且仅当，即时,即时等号成立. 故选：C 7．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 两边平方得：， ， ， ， 当且仅当，等号成立，故的最小值为 故选：B 8．已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 9．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 10．（多选题）已知，满足，，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为0 【答案】ACD 【解析】因为， 所以，等号显然可以取到．故选项A对，选项B错． 由，，可知． 设，则，，是关于的方程的三个实根． 令，求导可得与为其极大值与极小值， 于是， 所以，等号显然可以取到．故选项C和D都对． 故选：ACD 11．（2025·天津·一模）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，且，可得： ， 结合可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 12．（2025·天津南开·三模）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】解析1：由已知条件可得： ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 解析2：，即，当且仅当，即时等号成立， 于是，即，当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是. 故答案为： 14．已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由条件得，则， 于是 当且仅当，且，即时取等号． 故答案为： 15．（2025·浙江·模拟预测）已知实数，，不全为，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【解析】由，当且仅当时取等号， 得，当且仅当时取等号； 又，当且仅当，时等号成立. 故答案为：，. 16．设，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 令或（舍去） 所以 故答案为： 17．已知 ，，则 的最小值为 ． 【答案】10 【解析】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 18．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 19．已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答案】 【解析】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 20．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式妙解最值问题 【题型归纳目录】 题型一：配凑法 题型二：“1”妙用 题型三：三角换元法 题型四：待定系数法 题型五：整体换元、比值换元法 题型六；柯西不等式 题型七：权方和不等式 【知识点梳理】 1、基本不等式：设是正实数，则 当且仅当时，等号成立．（即：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数．） 2、权方和不等式：设与均是正实数，， 则， 当且仅当时，等号成立． 3、柯西不等式：设与，则 ， 当且仅当时，等号成立． 【典型例题】 题型一：配凑法 【典例1-1】已知函数，则的最小值是 ． 【典例1-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式1-4】（2025·高三·天津滨海新·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 题型二：“1”妙用 【典例2-1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【典例2-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 【变式2-1】（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【变式2-3】已知，则 的最大值为（    ） A． B．15 C． D． 题型三：三角换元法 【典例3-1】（2025·高三·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【典例3-2】（2025·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 题型四：待定系数法 【典例4-1】设是正实数，则的最大值为 . 【典例4-2】已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式4-2】若已知均为正数，则的最小值为 【变式4-3】已知，，为正数，则的最小值为 ． 题型五：整体换元、比值换元法 【典例5-1】（2025·高三·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式5-1】已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六；柯西不等式 【典例6-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【典例6-2】 的最小值为 ． 【变式6-1】设，若，则的最小值为 ． 题型七：权方和不等式 【典例7-1】 的最小值为 . 【典例7-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【变式7-1】已知为锐角，则的最小值为 . 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【专题训练】 1．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 3．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2025·高三·广东·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 7．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 8．已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知，满足，，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为0 11．（2025·天津·一模）已知，且，则的最小值为 . 12．（2025·天津南开·三模）已知，，，则的最小值为 ． 13．已知正数满足，则的最小值为 . 14．已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ． 15．（2025·浙江·模拟预测）已知实数，，不全为，则的最小值是 ，最大值是 ． 16．设，则的最大值为 . 17．已知 ，，则 的最小值为 ． 18．已知正数，，满足，则的最小值为 19．已知正实数、且满足，求的最小值 . 20．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$