高一数学月考卷（北师大版2019，测试范围：必修第二册第一章～第五章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版2019必修第二册第一章~第五章. （第一章 三角函数、第二章 平面向量及其应用、第三章 数学建模活动（二）、第四章 三角恒等变换、第五章 复数） 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正切型函数的性质知，最小正周期为，故选B 2．在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数对应的向量，则， 所以，故选A 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，故选A 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上的投影向量是， 故选B. 5．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选A 6．已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选C. 7．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以，故选A． 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，在中，， 在中，, 则， 由正弦定理，，故得, 在中，，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【解析】对于A，设，当时，， 得，得，即，故A正确； 对于B，令，可知，故B错误； 对于C，令， 可知，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选AD 10．已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（   ） A． B．和在上都是增函数 C．和的图象都关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合 【答案】ABD 【解析】由题知， 对于选项A，因为，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，， 由的性质知，和在上都是增函数，所以选项B正确， 对于选项C，因为，， 所以和的图象均不关于直线对称，故选项C错误， 对于选项D，因为，向右平移个单位长度后得到， 又，所以选项D正确， 故选ABD. 11．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为的重心 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以， 所以为钝角三角形，故A正确； 对于B，因为，取的中点，连接， 则有，所以，所以， 所以为的重心，故B正确； 对于C，因为，， 所以点在线段上，如图所示： 取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为， 连接，则有∥且, 所以的高是的高的， 所以，故C错误； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面坐标系，如图所示： 易知直线的方程为， 设，因为， 所以， 所以，， 又因为，所以当时，取最小值，为； 当时，取最大值，为； 所以， 即，故D正确，故选ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是关于的方程的一个根，则 . 【答案】0 【解析】由复数是关于的方程的一个根， 则该方程的另一根为，于是，解得， 所以. 13．某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位：    【答案】40 【解析】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，    设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 14．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ， 因为，所以， 又因为在区间上是单调函数， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，求． 【解】（1）因为，所以， 所以， …………………………3分 所以 .…………………………6分 （2）， 所以， …………………………9分 ……13分 16．（本小题满分15分）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【解】（1）由题意.………3分 （2）由（1）得若，则， …………………………5分 所以. …………………………8分 （3）由（1）得若，， 则，， …………………………10分 所以，， 所以， …………………………12分 又因为，所以，， 所以. …………………………15分 17．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 【解】（1）因为， 所以， 即， …………………………3分 由正弦定理得， 中，所以， …………………………6分 又，所以； …………………………7分 （2）由余弦定理得， …………………………10分 即，解得（负值舍去）， …………………………12分 所以． …………………………15分 18.(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 【解】（1）由图可得，解得， ………………………2分 所以函数， 又由图， 所以，则， …………………………5分 又因为，所以， 则函数的解析式为. …………………………7分 （2）因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， …………………………9分 且当时，；当时，；当时，， 所以，， 故在上的最大值为；最小值为. …………………………12分 （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的可得的图象， 再向左平移个单位得到的图象， 即， …………………………14分 令， 解得，可得的减区间为. ……………………17分 19．(本小题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 【解】（1）由已知中， 即， 故， …………………………2分 由正弦定理可得， 故直角三角形，即. …………………………4分 （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， …………………………5分 设， 由得： ……………………7分 整理得， 则 . …………………………9分 （3）点为的费马点，则， 设， 则由得； …………………………10分 由余弦定理得， ， ， …………………………13分 故由得， 即，而， 故， …………………………15分 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. …………………………17分 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版2019必修第二册第一章——第五章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 6．已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 7．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 10．已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（   ） A． B．和在上都是增函数 C．和的图象都关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合 11．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为的重心 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是关于的方程的一个根，则 . 13．某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位：    14．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，求． 16．（本小题满分15分）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 17．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 18.(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 19．(本小题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版2019必修第二册第一章——第五章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 6．已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 7．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 10．已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（   ） A． B．和在上都是增函数 C．和的图象都关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合 11．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为的重心 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是关于的方程的一个根，则 . 13．某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位：    14．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，求． 16．（本小题满分15分）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 17．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 18.(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 19．(本小题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B A C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0 13．40 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，求． 【解】（1）因为，所以， 所以， …………………………3分 所以 .…………………………6分 （2）， 所以， …………………………9分 ……13分 16．（本小题满分15分）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【解】（1）由题意.………3分 （2）由（1）得若，则， …………………………5分 所以. …………………………8分 （3）由（1）得若，， 则，， …………………………10分 所以，， 所以， …………………………12分 又因为，所以，， 所以. …………………………15分 17．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 【解】（1）因为， 所以， 即， …………………………3分 由正弦定理得， 中，所以， …………………………6分 又，所以； …………………………7分 （2）由余弦定理得， …………………………10分 即，解得（负值舍去）， …………………………12分 所以． …………………………15分 18.(本小题满分17分） 【解】（1）由图可得，解得， ………………………2分 所以函数， 又由图， 所以，则， …………………………5分 又因为，所以， 则函数的解析式为. …………………………7分 （2）因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， …………………………9分 且当时，；当时，；当时，， 所以，， 故在上的最大值为；最小值为. …………………………12分 （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的可得的图象， 再向左平移个单位得到的图象， 即， …………………………14分 令， 解得，可得的减区间为. ……………………17分 19．(本小题满分17分） 【解】（1）由已知中， 即， 故， …………………………2分 由正弦定理可得， 故直角三角形，即. …………………………4分 （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， …………………………5分 设， 由得： ……………………7分 整理得， 则 . …………………………9分 （3）点为的费马点，则， 设， 则由得； …………………………10分 由余弦定理得， ， ， …………………………13分 故由得， 即，而， 故， …………………………15分 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. …………………………17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$